Краткие сведения из теории колебаний

Колебание системы с конечным числом

Степеней свободы

В качестве системы с конечным числом степеней свободы рассмотрим невесомую балку с сосредоточенными массами (Рисунок 4.5). Перемещение любой -ой массы при действии на балку нагрузки , являющейся функцией времени, можно представить в следующем виде:

, (4.1)

где - сила инерции -ой массы; ;

 

Рисунок 4.5

- перемещение -ой массы от единичной силы, приложенной к -ой массе; - перемещение -ой массы от внешней нагрузки.

Составляя уравнения, аналогичные равенству (4.1), для каждой массы, получим систему дифференциальных уравнений, общее решение которой указывает на сложный апериодический характер движения масс.

Особый интерес представляют такие частные решения указанной системы уравнений, которым соответствуют синхронные равночастотные колебания масс. Такой случай возможен при определенных начальных условиях, если внешняя нагрузка отсутствует, т.е. система совершает свободные колебания. Эти свободные колебания называются собственными или главными.

Система с конечным числом степеней свободы в этом случае подобна системе с одной степенью свободы, так как все её точки колеблются с одинаковой частотой , и их перемещения следуют гармоническому закону:

, (4.2)

где - амплитуда колебаний -ой массы;

- частота свободных колебаний;

- начальная фаза колебаний.

Возникающие при этом силы инерции связаны с перемещениями масс и частотой следующей зависимостью:

. (4.3)

Подстановка , как это следует из (4.3), в (4.1) приводит к системе однородных уравнений при :

(4.4)

где .

Условием ненулевого решения системы (4.4) является характеристическое (вековое) уравнение

(4.5)

Из (4.5) находятся собственные числа , частоты , а из (4.4) – собственные векторы, характеризующие главные (собственные) формы колебаний. Частоты , расположенные в порядке возрастания, образуют спектр частот.

Колебания всех масс системы могут происходить с одинаковой частотой и при установившихся вынужденных колебаниях от действия нагрузки меняющейся по гармоническому закону, например:

, (4.6)

где - частота вынужденных колебаний.

Перемещения всех масс следуют этому же закону:

. (4.7)

Силы инерции определяются по формуле:

. (4.8)

Подстановка (4.8) в (4.1) приводит к следующей системе уравнений:

(4.9)

где

. (4.10)

Уравнения (4.9) служат для определения сил инерции при вынужденных колебаниях. Как правило, представляют наибольший интерес амплитудные значения этих сил, в этом случае в (4.9) представляет собой перемещение -ой массы от амплитудного значения возмущающей силы.

После определения сил инерции могут быть найдены динамические усилия, в частности моменты , возникающие в системе,

. (4.11)

Зависимости (4.9) и (4.11) по форме аналогичны соответствующим зависимостям при расчёте статически неопределимых систем методом сил. Это позволяет назвать такой способ изложения и решения динамической задачи также методом сил.

Динамические усилия резко возрастают при совпадении частоты вынужденных колебаний с одной из собственных частот спектра. Если не учитывать силы сопротивления, то наступающее при этом явление резонанса характеризуется неограниченным ростом сил инерции, а значит усилий. Силы сопротивления оказывают набольшее влияние на динамические усилия из-за снижения инерционных сил именно в зоне резонанса. Уже на незначительном удалении от этой зоны их влияние ослабевает. Силы сопротивления в тоже время не сильно влияют на значения частот собственных колебаний. Эти обстоятельства позволяют использовать расчёты без учета сил сопротивления при наличии таковых при определении спектра собственных частот свободных колебаний, так и при вычислении динамических усилий в достаточно широком диапазоне частот вынужденных колебаний.

В качестве примера расчёта рассмотрим раму с одной степенью свободы.