Лекция №1 Расчёт многопролетной неразрезной балки

Задача №1.1

Пример расчёта двухпролётной балки

Врезаем приставные опоры в балку, отбрасывая внутренний момент и заменяя его наперед неизвестными моментами. Нумерацию моментов производим слева направо. Пролёты загружаем фиктивными реакциями.

Величины крайних моментов найдем, исходя из внешней нагрузки:

Знак момента отрицательный, если внешняя нагрузка растянула верхние волокна.

Для определения величины момента найдём значение фиктивных реакций и составим уравнения 3-х моментов.

Подставим полученные реакции и размеры пролётов в равенство

 

 

Значение момента:

Для проверки правильности расчёта, найдём значения поперечных сил, через них определим опорные реакции:

Для линейных эпюр ,

параболических эпюр ,

где и берутся с учётом знака, если момент растягивает верхние волокна, то знак минус, нижние «плюс».

 

 

Задача №1.2

Расчёт балки с построением объемлющей эпюры

Знак момента отрицательный, если внешняя нагрузка растянула верхние волокна.

Для определения моментов: , найдём значение фиктивных реакций и составим уравнения 3-х моментов:

, (1.3)

Т.к. нам неизвестны моменты с номерами 0 и 1, то будем иметь следующую систему:

(1.4)

, т.к. нет нагрузки, а точнее нет пролёта,

Подставим полученные реакции и размеры пролётов в систему (1.4):

(1.5)

Значения моментов:

Построение объемлющей эпюры 2-го пролёта

Загружаем балку временной нагрузкой , начиная с первого пролёта.

Подвес:

Фиктивные реакции:

Подставим полученные значения в систему (1.5)

Значения моментов:

Загружаем 2-ой пролёт

Подвес:

Фиктивные реакции:

Подставим полученные значения в систему (1.5)

Значения моментов:

Загружаем пролёт консоль временной нагрузкой:

Подвес:

Фиктивных реакций нет, т.к. загружена только консоль. Подставим значения в систему (1.5)

 

Чтобы построить объемлющую эпюру второго пролета, занесем данные моментов в таблицу и определим максимальные и минимальные значения:

Точка на эпюре
первый пролёт	Второй пролёт	консоль
Опора №1
Середина 2-го пролёта
Опора №2

Объемлющая эпюра:

 

После построения объемлющей эпюры подбирают сечение балки по максимальному значению величины момента, взятому по модулю.

Замечание

Если жёсткая заделка у балки находится с правой стороны, то основная система будет выглядеть следующим образом (см. следующий пример):

Пример №1.3

Пример №1.4

Лекция №2

Расчёт статически неопределимых рам методом перемещений

Задача №2.1 Пример расчёта рамы методом перемещений

Заданная рама

1. Число неизвестных методом перемещений:

, где - число жестких узлов рамы, не связанных с опорами,

- число степеней свободы условно- шарнирной схемы, т.е. рамы у которой во все узлы врезаны шарниры, в том числе и опорные.

Условно- шарнирная схема: (количество опорных стержней, которые необходимо добавить условно шарнирной схеме, чтобы она стала неподвижной)

2. Таким образом, основная система метода перемещений:       3. Построим единичные эпюры.         Характер деформации:             Характер деформации:     4. Грузовая эпюра (от внешней нагрузки)   5. Каноническая система метода перемещений для определения фактических значений : (2.1) - реакция, возникающая в заделке с номером , снятая с единичной эпюры Мj, - реакция, возникающая в заделке с номером , снятая с грузовой эпюры .   6. Найдем коэффициенты канонической системы:

Подставим полученные коэффициенты в систему (2.1), сократив на

,

Затем, исправляем единичные эпюры на полученные значения .

 

 

7. Окончательная эпюра моментов: .

8. Эпюра поперечных сил по эпюре моментов:

Для линейных эпюр , где - угол наклона эпюры моментов к стержню, при этом знак «плюс», если поворот стержня к эпюре происходит по часовой стрелке на угол меньше . Для параболических эпюр , где и берутся с учётом знака, если момент растягивает верхние волокна, то знак минус, нижние «плюс», при этом необходимо стержень повернуть таким образом, чтобы распределённая нагрузка была направлена сверху вниз.

9. Эпюра продольных усилий (строится методом вырезания узлов).

Задача № 2.2

Пример №2.3 расчёта рамы методом перемещений

Таким образом, имеем следующую задачу:

 

1. Число неизвестных методом перемещений:

, где

- число жестких узлов рамы, не связанных с опорами,

- число степеней свободы условно- шарнирной схемы, т.е. рамы у которой во все узлы врезаны шарниры, в том числе и опорные.

	Условно-шарнирная схема: Дисков пять, одиночных шарниров внутри рамы четыре (шарнир соединяющий три диска двойной), опорных стержней шесть (шарнирно-подвижные опоры по одному, неподвижные опоры по два).
2. Основная система метода перемещений данной рамы:

3. Единичные эпюры от

Значения моментов находим по таблице №2 приложения №1.

4. Грузовая эпюра от внешней нагрузки:

Значения моментов находим по таблице №3 приложения №1. Под сосредоточенной силой: Под распределённой нагрузкой:

5. Каноническая система метода перемещений для определения фактических значений :

Найдем коэффициенты канонической системы:

,	,

Подставим полученные коэффициенты в систему, сократив на

Чтобы получить одинаковые коэффициенты, например при , умножим второе равенство на 32,5 и перенесём грузовые слагаемые вправо:

Сложим равенства и получим значения неизвестных:

, .

6. Исправим единичные эпюры на фактические значения , а так как они получились отрицательными, то отложим эпюры на противоположных волокнах.

	Значения моментов:
Значения моментов:

7. Окончательная эпюра моментов:

Моменты изгибающие: 5,312+15,312-7,5=13,05 21,164-5,902=15,262 21,164-2,951=18,213 10,582+18=28,582 9-5,921=3,709. Для проверки посмотрим равновесие узла:

8. Эпюра поперечных сил:

Рассмотрим расчёт поперечных сил по участкам. Для линейных эпюр: , где - угол наклона эпюры к стержню.

; ;

; ; .

Для параболических эпюр , где

моменты идут с учётом знака отрицательные моменты вверху:

9. Эпюра продольных усилий (строится методом вырезания узлов)

	Вырежем узлы и изобразим значения поперечных сил с учётом знака, положительные поперечные силы поворачивают стержень относительно ближайшего узла по часовой стрелке.
Теперь скомпенсируем поперечные силы продольными усилиями, таким образом, чтобы каждый угол находился в равновесии. Учитывая, что стержни на шарнирно подвижных опорах горизонтально удерживать не могут, т.к. реакции в опорах вертикальные.

 

Пример № 3.1

Рисунок 3.2

Дано: , схема рамы на Рисунке 3.2. Найти значение критической силы Решение: Выберем основную систему метода перемещений , а стержни вдоль которых приложены силы пронумеруем.

Т.к. силы приложены вдоль стержней, то грузовая эпюра будет нулевой, а соответствующие ей грузовые слагаемые: . Построим единичные эпюры. Стержни 1 и 2 являются сжато изогнутыми и эпюры на них строятся по специальным таблицам для расчёта на устойчивость методом перемещений (таблица №4 Приложения). Они носят криволинейных характер и ординаты зависят от параметра влияния продольных сил. В остальных стержнях по таблице №3 Приложения.

Основная система:   Рисунок 3.3

Каноническая система метода перемещений: (3.1) Система уравнений (3.1) является однородной, необходимо найти и , что возможно только при условии линейной зависимости уравнений. Математически это означает, что определитель составленный из коэффициентов равен нулю.

или

(3.2)

для более сложных рам определитель будет более высокого порядка.

 

Рисунок 3.4	Строим единичные эпюры от в основной системе (Рисунок 3.3) получаем схему Рисунка 3.4. Значения функций определяется численно методом подбора по таблице №5 Приложения.
Рисунок 3.5	Единичная эпюра от (Рисунок 3.5), построенная в основной системе (Рисунок 3.3).

Значение коэффициентов определителя найдем путём вырезания узлов, как в обычном методе перемещений. Данные для коэффициентов берём из Рисунков 3.4 и 3.5, методом вырезания узлов.

Подставим полученные коэффициенты в определитель (3.2) и вынесем общий множитель 0,5 EJ, тогда

, (3.4)

выразим параметры и через общий параметр , тогда учитывая, что , то для заданных стержней:

,

за единицу измерения примем стержень №2, тогда .

Равенство (3.4) примет вид:

Решим его численно методом подбора, занося данные в таблицу:

	0,53
5,8	3,1	0,0424	-2,7777	1,496
5,9	3,13	0,0424	-3,6878	-0,362

Так как искомое решение находится между полученными значениями, а промежуточных параметров V в таблице функций нет, решение необходимо уточнить. Воспользуемся графической интерпретацией.

 

Из подобия треугольников: , значение параметра:

Найдём значение критической силы по формуле Эйлера: (в формулу подставляем длину того стержня, который брали за единицу измерения)

.

Пример №3.2

Рисунок 3.6

Дано: Для схемы Рисунка 3.6 ,

Найти значение критической силы.

Решаем задачу методом перемещений

Основная система Рисунок 3.7

Стержни, вдоль которых приложены силы, будут иметь криволинейные эпюры. А т.к. эти силы разные, то необходимо стержни пронумеровать.

Выразим параметры стержней друг через друга

, то

Обозначим , тогда

Найдём коэффициенты определителя, построив единичные эпюры в основной системе (Рисунок 3.7) от и по таблицам № 3,4 Приложения и методом вырезания узла и ригеля определим коэффициенты определителя устойчивости (3.2).

 

Тогда определитель устойчивости (3.2) примет вид:

Чтобы упростить равенство, умножим его на

Решим полученное уравнение численно, методом подбора (как в предыдущей задаче):

	4,4	-0,4772	-1,6040	-21,781	0,4793	-2,128
5,1	4,5	-0,6100	-1,7155	22,105	0,4520	-2,154
	2,64	0,6560	0,0893	-1,9473	0,8393	-5,572
2,5	2,2	0,7720	0,3701	-0,9931	0,8909	-2,236
2,2	1,94	0,8237	0,5131	-0,5542	0,9164	-0,348
	1,76	0,8590	0,5980	-0,2457	0,9313	0,933
2,1	1,85	0,8437	0,5565	-0,3951	0,9240	0,308
2,15	1,9	0,8356	0,5351	-0,4736	0,9203	-0,0117

Как видно из расчёта, функции входящие в равенство не линейные, например сравните значения при и они практически одинаковы. Однако значение определителя при выпадает из этого диапазона, поэтому по двум далеко отстоящим значениям параметра интерполировать решение нельзя.

Значение критической силы найдем по формуле Эйлера:

 

Задача №3.3

Рисунок 3.8

Дано: Для схемы Рисунка 3.8 ,

Решаем задачу методом перемещений.

 

Число неизвестных методом перемещений:

, где

- число жестких узлов рамы, не связанных с опорами,

- число степеней свободы условно- шарнирной схемы, т.е. рамы у которой во все узлы врезаны шарниры, в том числе и опорные (Рисунок 3.9).

 

Условно шарнирная система:   Рисунок 3.9

Определим линейные неизвестные, создав условно шарнирную схему, тогда Следовательно (полученная рама не может двигаться).

Т.к. в раме два жёстких узла, то .

 

Основная система

Стержни, вдоль которых приложены силы, будут иметь криволинейные эпюры. А т.к. эти силы разные, то необходимо стержни пронумеровать. Каноническая система:

Рисунок 3.10

Чтобы решение канонической системы было ненулевым запишем определитель устойчивости .

Т.к. нагружение рамы простое, т.е. , то выразим параметры стержней друг через друга .

Найдем коэффициенты определителя, построив единичные эпюры в основной системе (Рисунок 3.10).

Найдём коэффициенты определителя вырезая узлы из единичных эпюр:

Тогда определитель устойчивости примет вид:

 

 

Решим уравнение численно:

				D

 

 

Значение критической силы найдем по формуле Эйлера:

 

Лекция № 4

Степеней свободы

В качестве системы с конечным числом степеней свободы рассмотрим невесомую балку с сосредоточенными массами (Рисунок 4.5). Перемещение любой -ой массы при действии на балку нагрузки , являющейся функцией времени, можно представить в следующем виде:

, (4.1)

где - сила инерции -ой массы; ;

 

Рисунок 4.5

- перемещение -ой массы от единичной силы, приложенной к -ой массе; - перемещение -ой массы от внешней нагрузки.

Составляя уравнения, аналогичные равенству (4.1), для каждой массы, получим систему дифференциальных уравнений, общее решение которой указывает на сложный апериодический характер движения масс.

Особый интерес представляют такие частные решения указанной системы уравнений, которым соответствуют синхронные равночастотные колебания масс. Такой случай возможен при определенных начальных условиях, если внешняя нагрузка отсутствует, т.е. система совершает свободные колебания. Эти свободные колебания называются собственными или главными.

Система с конечным числом степеней свободы в этом случае подобна системе с одной степенью свободы, так как все её точки колеблются с одинаковой частотой , и их перемещения следуют гармоническому закону:

, (4.2)

где - амплитуда колебаний -ой массы;

- частота свободных колебаний;

- начальная фаза колебаний.

Возникающие при этом силы инерции связаны с перемещениями масс и частотой следующей зависимостью:

. (4.3)

Подстановка , как это следует из (4.3), в (4.1) приводит к системе однородных уравнений при :

(4.4)

где .

Условием ненулевого решения системы (4.4) является характеристическое (вековое) уравнение

(4.5)

Из (4.5) находятся собственные числа , частоты , а из (4.4) – собственные векторы, характеризующие главные (собственные) формы колебаний. Частоты , расположенные в порядке возрастания, образуют спектр частот.

Колебания всех масс системы могут происходить с одинаковой частотой и при установившихся вынужденных колебаниях от действия нагрузки меняющейся по гармоническому закону, например:

, (4.6)

где - частота вынужденных колебаний.

Перемещения всех масс следуют этому же закону:

. (4.7)

Силы инерции определяются по формуле:

. (4.8)

Подстановка (4.8) в (4.1) приводит к следующей системе уравнений:

(4.9)

где

. (4.10)

Уравнения (4.9) служат для определения сил инерции при вынужденных колебаниях. Как правило, представляют наибольший интерес амплитудные значения этих сил, в этом случае в (4.9) представляет собой перемещение -ой массы от амплитудного значения возмущающей силы.

После определения сил инерции могут быть найдены динамические усилия, в частности моменты , возникающие в системе,

. (4.11)

Зависимости (4.9) и (4.11) по форме аналогичны соответствующим зависимостям при расчёте статически неопределимых систем методом сил. Это позволяет назвать такой способ изложения и решения динамической задачи также методом сил.