Метод координат на плоскости

 

Совокупность координатных осей О_х, О_у (с выбранной единицей масштаба) и их точки пересечения (начало отсчета) называют декартовой прямоугольной (или кратко прямоугольной) системой координат.

Каждой точке на плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у, которые называют координатами точки А (х; у).

Координатные оси О_х и О_у разбивают плоскость на I, II, III и IVквадранты (координатные четверти).

 

Например, на рисунке 1 построены точки А (0; 4), В (3; 2), С (- 4; 0) М (-2;-3).

 

Основные задачи, решаемые методом координат

Расстояние между двумя точками

 

Найдем расстояние между двумя точками М₁ (х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂) (рис. 2).

 

Из прямоугольного треугольника М₁М₂ N по теореме Пифагора находим формулу для вычисления расстояния между точками:

. (7)

Пример. Найти расстояние между точками А (1; 3), В (4; 7).

По формуле (7) имеем

.

 

Деление отрезка в данном отношении. Середина отрезка

 

Требуется найти координаты точки М (х;у), лежащую на отрезке М₁М₂ и делящую его в данном отношении (рис. 3).

 

Еслиизвестны координаты концов отрезка М₁ (х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂), то координаты точки М(х_М;у_М), которая лежит на отрезке М₁М₂ и делит его в данном отношении

; (8)

- координаты точки М(х_М;у_М) – середины отрезка М₁М₂

. (9)

Пример. Вычислить координаты точки С – середины отрезка АВ, если А (1; 3), В (5; 7). По формулам (8) имеем

.

Ответ: С (3; 5).

Пример. Вычислить координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ: МВ =4, если А (10; 2), В (5; 7).

По формулам (9) имеем

.

Ответ: М (6;6).

 

 

Упражнения

 

1. Построить точки A (3; 5), B (- 4; 2), C (1;-3), D (-2;-2), E (-6; 0). K (0; 3).

2. Найдите расстояние между точками:

а) A (-3;-5) и B (2; 7); б) A (2; 7) и B (6; 4); в) A (12; 0) и B (0; -5);
г) A (-4; 0) и B (0; 3); д) A (-2;-7) и B (3; -2); е) О (0; 0) и B (-8; 6).

3. Найдите координаты точки К – середины отрезка АВ:

а) A (3; 7) и B (1; 7); б) A (5;-5) и B (5; 7); в) A (4; 3) и B (8; 1); г) A (-2; 4) и B (6; -7).

4. Найдите координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении:

а) , А (3; 5), В (9; 8); б) , А (3; 5), В (9; 8); в) , А (7; 11), В (2; 1); г) , А (7; 11), В (2; 1).

5. Найдите длины сторон треугольника с вершинами А (3; 2), В (-1; -1) и С (11; -6).

6. Доказать, что треугольник с вершинами О (0; 0), А (3; 1) и В (1; 7) прямоугольный.

7. Найти координаты вершин квадрата, диагональ которого равна 6 единицам длины, точка пересечения диагоналей – в начале координат, диагонали лежат на осях координат.

 

Уравнение прямой на плоскости

 

Общее уравнение прямой

 

В декартовой системе координат всякое уравнение первой степени относительно координат х и у

Ах+Ву+С=0, (10)

где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Уравнение (10) называется общим уравнением прямой на плоскости, где - нормальный (перпендикулярный) вектор данной прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через точку М (х₀;у₀)перпендикулярно вектору , имеет вид

.

Если прямая проходит через точку М (х₀;у₀)параллельно вектору , то

.