Взаимное расположение прямых

 

Если две прямые лежат на плоскости, то возможны три случая их взаимного расположения: 1) пересекаются (т.е. имеют общую одну точку); 2) параллельны (не пересекаются и не совпадают); 3) совпадают.

Прямые совпадают в случае, когда соответствующие коэффициенты в уравнениях прямых совпадают или пропорциональны.

.

Если прямые и параллельны, то = , следовательно k ₁= k ₂, т.е.параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.

Условие параллельности прямых

k ₁= k ₂ или (18)

Если прямые Ах₁+Ву₁+С₁=0 и Ах₂+Ву₂+С₂=0 пересекаются в некоторой точке М(х; у), то ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Следовательно, чтобы найти координаты точки М, надо решить систему уравнений.

Прямые пересекаются, если имеют различные угловые коэффициенты.

, т.е. .

Если прямые и перпендикулярны, то угол межу ними равен 90⁰, т.е. . Тогда или .

Условие перпендикулярности прямых

. (19)

Пример. Написать уравнения прямых, проходящих через начало координат а) параллельно и б) перпендикулярно прямой у =2 x – 4.

а) По формуле (18) k ₁= k ₂=2. Тогда по формуле (13) или. у =2 x.

б) По формуле (19) . Тогда или у = –0,5 x.

Упражнения

 

1. Определите, какие из точек А (2; 0), В (7; 4) и С (3; 2) лежат на прямой у= 0,8 х- 1,6.

2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А и В:

а) А (2; 3), В (4; 5); б) А (4; -2), В (3; -4); в) А (3; 0), В (7; 4); г) А (3; 5), В (0; 4).

3. Напишите уравнение прямой у=kx+b:

а) k= 3, b =2; б) k= -2, b = - 4; в) k= 4, b = - 5; г) k= 0, b =3; д) k= 4, b =0.

4. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М и имеющей угловой коэффициент k:

а) М (0; 2), k= 1; б) М (0; 0), k=- 1; в) М (0; -3), k= 0; г) М (0; 1), k= 0,5;
д) М (1; 1), k= 1; е) М (3; - 2), k=- 1; ж) М (-2; 5), k=- 0,5.

5. Построить прямые и записать общее уравнение прямой:

а) ; б) ; в) ; г) .

6. Напишите уравнение прямой в отрезках, если:

а) а= 2, b =4; б) а= - 7, b =5; в) а= 6, b =-3; г) а= -5, b =-4.

7. Прямая проходит через точки А и В. Напишите уравнение прямой в отрезках:

а) А (0; 2) и В (5; 0); б) А (-3; 0) и В (0;-2); в) А (0; 1) и В (-2; 0).

8. Напишите уравнение прямой в отрезках, найдите угловой коэффициент прямой, постройте эти прямые:

а) 4 х – 6 у+ 12=0; б) 2 х + 3 у+ 12=0; в) - 2 х+ 5 у -10=0; г) 5 х+ 4 у - 20=0.

9. Параллельны ли прямые:

а) и ;

б) и ;

в) и .

10. Перпендикулярны ли прямые:

а) и ;

б) и .

11. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку М параллельно данной прямой:

а) М (2;5), у= 4 х+ 3; б) М (-3;2), у=- 2 х+ 5; в) М (0;-3), у= 6 х - 5; г) М (4;0), у= 3.

12. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку М перпендикулярно данной прямой:

а) М (4;3), у= 2 х+ 3; б) М (-5;1), у=- 2 х+ 7; в) М (2;- 5), у= 5 х +3; г) М (0;-5), у= 3.

13. Найдите тангенс угла между прямыми:

а) 4 х– 6 у+ 2=0 и 2 х+ 4 у+ 5=0; б) 5 х– 3 у+ 8=0 и -5 х+ 8 у- 7=0; в) 4 х+ 2 у =0 и 4 у+ 5=0.

14. Найдите расстояние от точки К до прямой:

а) 2 х+ 5 у+ 1=0, К (2;4); б) 3 х - 2 у - 5=0, К (-1;-2); в) - х+ 2 у+ 3=0, К (3;0).

15. Найти координаты точек пересечения прямой с осями:

а) ; б) ; в) .

16. Найдите координаты точки пересечения двух прямых:

а) и ;

б) и .

17. Определите длины сторон треугольника, если даны уравнения прямых, содержащих его стороны: , и .

 

 

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых могут быть записаны следующим образом:

.

К числу линий второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

 

Уравнение окружности

 

Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Каноническое уравнение окружности

, (20)

где - центр окружности; R – радиус окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, уравнение окружности имеет вид

.

Пример. Написать уравнение окружности радиуса R =3 с центром в точке С (1; 2). По формуле (20) имеем .

 

Уравнение эллипса

 

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F ₁ и F ₂(называемых фокусами эллипса) есть величина постоянная, равная 2 а.

Если ось Ох проходит через фокусы F ₁ и F ₂ (расстояние между фокусами обозначим 2 с), а начало координат находится в середине отрезка F ₁ F ₂ (рис. 4), то фокусы имеют координаты F ₁(-с; 0) и F ₂(с; 0).

По определению и формуле (7) расстояния между точками получаем уравнение эллипса

.

Эллипс пересекает оси координат в четырех точках , которые называют вершинами эллипса Отрезок А ₁ А ₂ называется большой осью эллипса, а отрезок В ₁ В ₂ – его малой осью. Следовательно, а – длина большой полуоси эллипса, b – длина его малой полуоси.

В результате преобразований получено каноническое уравнение эллипса

. (21)

Эксцентриситетом эллипса ε называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси.

Если , то А ₁ А ₂ – большая ось, а В ₁ В ₂ – малая ось эллипса и

и , F ₁(- c; 0)и F ₂(c; 0).

Если , то А ₁ А ₂ – малая ось, а В ₁ В ₂ –большая ось эллипса и

и , F ₁(0; - c)и F ₂(0; c).

Если a=b, то уравнение (21) принимает вид и определяет окружность с центром в начале координат. В этом случае с= 0.

Пример. Привести уравнение к каноническому виду, определить параметры a, b, с и ε.

Разделим уравнение на 576 и приведем уравнение к каноническому виду . Отсюда следует, что а= 8, b =6, с= , .

Уравнение гиперболы

 

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F ₁ и F ₂(называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная, равная 2 а.

Если ось Ох проходит через фокусы F ₁ и F ₂ (расстояние между фокусами обозначим 2 с, причем ), а начало координат находится в середине отрезка F ₁ F ₂ (рис. 5), то фокусы имеют координаты F ₁(-с; 0) и F ₂(с; 0).

По определению и формуле (7) расстояния между точками получаем уравнение гиперболы

.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

, (22)

где – асимптоты гиперболы (продолжение диагоналей прямоугольника 2a´2b); ; – эксцентриситет гиперболы

Если , то при у=0 получают т.е. гипербола пересекает ось Ох в точках А ₁(- а; 0) и А ₂(а; 0), называемых вершинами гиперболы, отрезок А ₁ А ₂ – вещественная ось гиперболы, а – длина действительной полуоси, b – мнимой полуоси; F ₁ (- c; 0) и F ₂ (c; 0).

Если , то при х=0 получают , т.е. гипербола пересекает ось Оу в точках В ₁(0; - b) и B ₂(0; b), отрезок B ₁ B ₂ – вещественная ось гиперболы, т.е. а – длина мнимой полуоси, b – действительной полуоси; F ₁ (0; - c) и F ₂ (0; c).

Если a=b, то гипербола называется равносторонней. Асимптотами служат взаимно перпендикулярные прямые .

Пример. Найти параметры (a, b, с, ε) гиперболы, заданной уравнением . Для этого приведем данное уравнение к каноническому виду . Отсюда следует a =6, b =3, с= , ε = Уравнение асимптот гиперболы , фокусы F ₁(- ; 0)и F ₂(; 0).

 

Уравнение параболы

 

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (называемой фокусом параболы) и от данной прямой l (называемой директрисой параболы).

– фокус параболы; – уравнение директрисы.

Каноническое уравнение параболы

. (23)

. (24)

Если уравнение содержит у ², то график параболы симметричен относительно оси Ох; при p> 0 ветви параболы направлены вправо, при p< 0 – влево.

Если уравнение содержит х ², то ось параболы совпадает с осью Оу; при p> 0 ветви параболы направлены вверх, при p< 0 – вниз.

Пример. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А (9; 3) и симметрична относительно оси Ох. Написать каноническое уравнение. Подставляя координаты точки в уравнение (23), находим, что р =0,5 и .

Пример. Определить координаты фокуса, написать уравнение директрисы параболы у²= 36 х. Из формулы (23) находим р =18, следовательно фокус находится в точке F (9; 0), а х= - 18 – уравнение директрисы.

 

Упражнения

 

1. Написать уравнение окружности с радиусом R и центром в точке С:

а) R= 5, С (2; 5); б) R= 2, С (-4; -1); в) R= 9, С (-8; 0); г) R= 12, С (0; -8).

2. Построить окружность:

а) ; б) ; в) .

3. Составить уравнение окружности, касающейся оси Ох и проходящей через точку А: а) А (2; 3); б) А (7; -1); в) А (-5; 4); г) А (0; -5).

4. Составить уравнение окружности, касающейся оси Оу и проходящей через точку А: а) А (5; 2); б) А (- 4; -2); в) А (3; 4); г) А (6; 0).

5. Написать уравнение окружности, проходящей через точку К, с центром в точке М: а) К (2; 3), М (0;2); б) К (- 4; -1), М (3; - 4); в) К (0; 5), М (0;0).

6. Написать каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси: а) а =3, b =5; б) а =4, b =2; в) а =1, b =7.

7. Какие из точек А (0; 2), В (3; 0), С (1; 2) лежат на эллипсе ?

8. Дан эллипс. Найдите длины осей, координаты вершин, расстояние между фокусами и эксцентриситет: а) ; б) ; в) .

9. Написать уравнение эллипса, если известны координаты двух вершин: а) А ₁(2; 0); В ₁ (0; -3); б) А ₂(-5; 0); В ₂ (0; 2); в) А ₁(6; 0); В ₂ (0; 4).

10. Написать каноническое уравнение эллипса, определить длины полуосей, координаты вершин, расстояние между фокусами и эксцентриситет, постройте линию: а) ; б) .

11. Написать каноническое уравнение гиперболы, если даны полуоси:

а) a =3, b= 2; б) a =5, b= 4; в) a =5, b= 13; г) a =8, b= 10.

12. Напишите каноническое уравнение гиперболы. Найдите оси, координаты вершин, фокусов, расстояние между фокусами, уравнения асимптот и эксцентриситет гиперболы:

а) ; б) ; в) .

13. Написать уравнение гиперболы, если: а) ее фокусы находятся в точках F ₁(-4; 0) и F ₂(4; 0) и длина вещественной оси равна 6; б) ее фокусы находятся в точках F ₁(0; -13) и F ₂(0; 13) и длина мнимой оси равна 10.

14. Напишите уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку К (3;-1).

15. Проверить, лежат ли точки А (2; -2) и В (1; 2) на параболе у²= 2 х.

16. Написать уравнение директрисы и найти координаты фокуса параболы: а) у²= 16 х; б) х²= -10 х; в) у²= - 4 х; г) х²= 12 у.

17. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, для которых директрисами служат прямые: а) x= -2; б) x= 3; в) у= 4.

.