RLC-контур. Свободные затухающие колебания.

Рассчитаем силу тока в RLC-контуре, подключенном к источнику ЭДС, изменяющейся по закону (1), и включающем дополнительно к индуктивности L и емкости C еще и сопротивление R (рис. 3).

Воспользуемся вторым законом Кирхгофа: сумма всех ЭДС в контуре равна сумме падений напряжений в нем

, (7)

где ,

, (8)

.

Подставляя (8) в (7), имеем после деления на дифуравнение

. (9)

Свободные электромагнитные колебания совершаются при отсутствии в контуре источника ЭДС, т.е. при условии . Тогда

. (10)

Здесь – коэффициент затухания колебаний. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второй степени (10) различно для двух разных случаев.

В случае (т.е. ) имеем решение, описывающее затухающие колебания заряда

, (11)

где – заряд на обкладках конденсатора в начальный момент времени,

– уменьшающаяся со временем амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора,

– частота свободных затухающих колебаний контура (заметим, что меньше частоты собственных незатухающих колебаний ).

Соответственно для напряжения на обкладках конденсатора имеем представленные графически на рис. 4 затухающие колебания

. (12)

Здесь - напряжение на обкладках конденсатора в начальный момент времени, - уменьшающаяся со временем амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора.

Таким образом, в RLC-контуре наблюдаются свободные затухающие колебания с частотой

(13)

и коэффициентом затухания . (14)

Период затухающих колебаний определяется формулой

. (15)

В случае (т.е. или ) происходит апериодический разряд конденсатора. Колебания при этом не возникают. Омическое сопротивление контура называется критическим .

 

Билет 32

Энергия магнитного поля.

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает в окружающем пространстве магнитное поле, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока.

Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток [см. (126.1)] Ф = LI, причем при изменении тока на dS магнитный поток изменяется на dФ = Ldl. Однако для изменения магнитного потока на величину dФ необходимо совершить работу dA = IdФ — LIdI. Тогда работа по созданию магнитного потока будет

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,

(130.1)

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случаи — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (130.1) выражение (126.2), получим

Поскольку и , то (130.2) где - объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри пего, поэтому энергия [см. (130.2)] заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость B от H линейная, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам

 

Билет 31

Возьмем два контура, расположенные недалеко друг от друга, как это показано на рисунке 5.4.

Рис. 5.4

В первом контуре течет ток . Он создает магнитный поток, который пронизывает и витки второго контура.

, (5.3.1)

При изменении тока во втором контуре наводится ЭДС индукции:

, (5.3.2)

Аналогично, ток второго контура создает магнитный поток, пронизывающий первый контур:

, (5.3.3)

И при изменении тока наводится ЭДС:

, (5.3.4)

Контуры называются связанными, а явление – взаимной индукцией. Коэффициенты и называются взаимной индуктивностью, или коэффициентами взаимной индукции. Причём

Трансформатор является типичным примером двух связанных контуров. Рассмотрим индуктивность трансформатора и найдем коэффициент трансформации.