Свободные незатухающие колебания в LC-контуре

Рассчитаем силу тока в LC контуре (рис.1), который включает индуктивность , емкость и подключен к ЭДС , изменяющейся по гармоническому закону (1) с частотой колебаний

.

(1)

Из закона Ома для полной цепи вытекает второй закон Кирхгофа:

cумма всех ЭДС в контуре с учетом знака равна сумме падений напряжений в нем.

Для LC-контура отсюда следует

, (2)

Подставляя ЭДС самоиндукции и напряжение на конденсаторе , имеем дифуравнение

. (3)

Свободные электромагнитные колебания совершаются при отсутствии в контуре источника ЭДС, т.е. когда . Тогда

. (4)

Здесь . (В действительности наличие источника ЭДС всегда необходимо для выведения системы из состояние равновесия, т.е. для первоначальной зарядки конденсатора зарядом . Свободные колебания возникают в контуре сразу же после отключения ЭДС источника).

Решением однородного линейного дифференциального уравнения второй степени (4) является функция

. (5)

Используя эту функцию для нахождения , и , имеем

,

, (6)

.

Здесь - амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора,

- амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора,

– амплитуда колебаний тока в цепи,

– амплитуда колебаний ЭДС самоиндукции.

Сопоставляя выражения для напряжения и тока , заключаем, что ток в контуре опережает по фазе напряжение на обкладках конденсатора, а также заряд и ЭДС индукции, на π/2. При этом в момент, когда ток достигает максимального значения, напряжение на обкладках конденсатора обращается в нуль, и наоборот. Графики зависимостей и представлены на рисунке 2.

Сравнивая амплитуды колебаний напряжения и тока, замечаем, что

Эту же формулу можно было бы получить, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля должно быть равно наибольшему значению энергии магнитного поля .

Таким образом, в LC контуре наблюдаются незатухающие гармонические колебания с собственной частотой колебаний

.

Выражение для периода собственных колебаний называется формулой Томсона.

ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

Переменным током называется электрический ток, сила которого каким-либо образом меняется со временем. Обычный способ получения переменного тока заключается в том, что при вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает электродвижущая сила, которая по закону Фарадея равна

.

Если рамка вращается в магнитном поле с частотой , то поток вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром рамки, меняется со временем по закону:

,

где – максимальное значение потока вектора индукции через плоскость контура. Возникающая при этом электродвижущая сила равна

.

Величина называется амплитудой электродвижущей силы и представляет ее наибольшее значение.

Электродвижущая сила максимальна, когда угол . В этом положении поток равен нулю, а скорость изменения магнитного потока максимальна. Когда , поток максимален, а электродвижущая сила равна нулю. За один период электродвижущая сила дважды меняет знак. Периодически действующая электродвижущая сила вызывает в замкнутом проводнике переменный ток, также изменяющийся по периодическому закону.

Гармонически изменяющаяся электродвижущая сила – это идеализация. Такой закон изменения электродвижущей силы получается в том случае, когда магнитное поле однородно, а рамка вращается равномерно. Если хотя бы одно из этих условий нарушается, в контуре возникает электродвижущая сила, изменяющаяся по более сложному закону. Однако при равномерном вращении изменение электродвижущей силы происходит всегда по периодическому закону. Теория синусоидальных токов наиболее проста и хорошо разработана. Преимущество этого подхода подтверждается и тем, что все технические генераторы переменного тока имеют электродвижущую силу, изменяющуюся по синусоидальному закону. На этом основании при изучении переменных токов предпочтение отдается теории синусоидальных токов.