Гармонические колебания. Дифференциальное и кинематическое уравнения незатухающего гармонического колебания. Скорость и ускорение тела при гармоническом колебании.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Гармонические колебания. Дифференциальное и кинематическое уравнения незатухающего гармонического колебания. Скорость и ускорение тела при гармоническом колебании.



Получим закон гармонических колебаний на примере механического движения механических колебаний. Это вид колебаний, при котором тело поочерёдно и многократно совершает отклонения от своего положения равновесия в одну и другую сторону.

Рассмотрим колебания пружинного маятника вдоль горизонтальной оси при отсутствии силы сопротивления. Пружинный маятник представляет собой массивный шарик массой m, прикрепленный к пружине с ничтожно малой массой и жесткостью k. Другой конец пружины закреплен неподвижно. Если вывести шарик из равновесия и отпустить, то под воздействием силы упругости деформированной пружины система пружина–шарик придет в колебательное движение. Положение шарика на оси будем определять смещением s, т.е. расстоянием от положения равновесия до шарика (рис.1). Наша цель решить основную задачу механики – найти ответ на вопрос: где будет находиться тело в произвольный момент времени t, т.е. найти вид функции s = f(t)?

Примем за начало отсчета точку 0, в которой находится центр шарика в равновесном состоянии системы, т.е. при отсутствии деформации в пружине. Пусть в момент времени t шарик находится на расстоянии s от положения равновесия. Характер движения в данный момент времени определяется равнодействующей приложенных к шарику сил: . Т.к. трение по условию отсутствует, а сила тяжести перпендикулярна стержню, то характер движения будет определяться только силой упругости деформированной пружины:

 

= ma (1)

В соответствии со 2-ым законом Ньютона эта сила сообщает шарику ускорение , тогда в скалярном виде (1) можно записать:

или . (4)

 

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

s= С1cosω0t + C2sinω0t. (5)

 

Для любых С1 и С2 всегда можно подобрать другие произвольные постоянные А и φ0 такие, что С1 = Аsin φ0,1 а С2 = Аcosφ0,1, Тогда общее решение (5) примет вид:

 

s= А(sin φ0,1·cosω0t + cosφ0,1·sinω0t) = Аsin(ω0t + φ0,1). (6)

 

Если выражения для С1 и C2 поменять местами (С1 = Аcosφ0,2 а С2 = Аsin φ0,2), то общее решение будет иметь вид:

 

s= А(cos φ0,2·cosω0t + sinφ0,2·sinω0t) = Аcos(ω0t + φ0,2). (7)

 

Данные функции (6) и (7) и есть искомые кинематические уравнения гармонического колебания. Аргумент этой функции (w0t + φ0) называется фазой колебания; j0 – постоянная составляющая фазы называется начальной фазой; – собственная циклическая (круговая) частота колебаний данного пружинного маятника ( , , тогда ); А – амплитуда колебаний, в данном случае максимальное значение смещения s. В общем случае, амплитуда А – это наибольшее значение величины, изменение которой с течением времени выбрали для описания изучаемых колебаний. Графики гармонического колебания представляют собой синусоиды (рис.2):

Получим уравнения, описывающие изменения скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания. Пусть s = Аcos(ω0t + φ0), тогда:

 

, (8)

. (9)

 

Как видно, скорость и ускорение тоже изменяются по гармоническим законам, но скорость опережает по фазе смещение на p/2, а ускорение на p (рис.3), т.е. ускорение находится в противофазе со смещением. В целом, тела, на которые действуют равнодейству-ющие вида F = -ks (такие силы называются квазиупругими), будут совершать гармонические колебания.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-12-12; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.204.201.220 (0.007 с.)