Колебания, которые совершаются под воздействием переменной силы, называются вынужденными.

Рассмотрим колебания под воздействием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:

 

F = F_○соsω _в t. (22)

 

С учетом квазиупругой силы (1) и силы сопротивления (13) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется:

 

. (23)

Разделив правую и левую часть на m, и обозначив: , , , после перегруппировки слагаемых, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (24)

 

Решением этого уравнения будет функция:

 

s = Acos(ω _в t + φ₀). (25)

 

Это уравнение установившихся вынужденных колебаний. Здесь:

, (26)

 

. (27)

 

Как видно из (25), колебания, происходящие под воздействием гармонической вынуждающей силы спустя некоторое время, тоже становятся гармоническими (рис. 6). Их частота равна частоте вынуждающей силы ω _в.

Из выражения (26) для амплитуды видно, что ее значение зависит от соотношения частоты вынуждающей силы ω_в и собственной частоты колебательной системы ω_о. Очевидно, если подкоренное выражение будет минимально, то амплитуда вынужденных колебаний достигнет своего максимального значения. Исследование на экстремум дает: -2(ω₀² – ω_в²) ·2ω_в + 8β²ω_в = 0, ω_в² - ω₀² + 2β² = 0, что будет иметь место, если

 

. (28)

 

Амплитуда при этом достигает значения:

А_рез = . (29)

 

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной сис-темы получило название резонанса, а соответствующая частота вынуждающей силы – резонансной частотой колебаний. Приведенные на рис.7 резонансные кривые, отличаются значением коэффициента затухания, действующего в колебательной системе. С уменьшением значения β, резонансные кривые становятся все острее, а величина А_рез все больше. Теоретически при β → 0 частота ω_рез→ ω₀, а амплитуда А → ∞.

Как показывает сопоставление (22) и (25), вынужденные колебания тела отстают по фазе от колебаний вынуждающей силы на φ₀. График зависимости φ ₀ от ω_в при различных значениях β.

Резонанс может иметь как полезные, так и вредные последствия. В одних случаях он может вызвать разрушение, и это приходится учитывать при конструировании мостов, самолетов, высотных домов. В других случаях, наоборот, стремятся создать условия для резонанса, например, при изготовлении музыкальных инструментов.

Автоколебания (качели, часы, электрический колебательный контур) – незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии. Причем поступление энергии регулируется самой колебательной системой.

Параметрические колебания – это колебания, возбуждаемые путем периодического изменения параметров колебательной системы. Пример: шарик на нити, длина которой периодически меняется.