Расчет детали на скручивание.

Рассмотрим модель горизонтальной жестко заделанной балки и мысленно выделим из нее элементарный участок (Рис. V.4).

 

Рис. V.4

 

Если γ – угол поворота балки – постоянный, то со временем меняется и угол поворота сечения dφ, тогда длина дуги bb ' равна:

,

где ρ – расстояние от оси балки до элементарной площадки сечения (Рис. V.5, а).

а) б)

Рис. V.5

 

Тогда:

.

При использовании формулы (V.1), получим:

. (V.2)

Из закона распределения касательных напряжений следует, что крутящий момент dМ_z в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:

,

где dA – площадь элементарной площадки.

Тогда полный внутренний крутящий момент М_z:

или:

.

Из курса теоретической механики известно:

,

где I_ρ - полярный момент инерции сечения.

Тогда используя формулу (V.2), получим формулу распределения касательного напряжения по сечению:

.

Значение касательного напряжения определяется величиной радиуса ρ от оси балки до элементарной площадки сечения (Рис. V. 6):

 

Рис. V. 6

если ρ =0, то τ =0

если ρ =max= d /2, то τ =max.

Внутренняя зона (ρ ~0) не сопротивляется скручиванию, поэтому валы обычно делают с осевым отверстием, т.е. валы кольцевого сечения.

 

Оценка деформации вала заключается в определении угла поворота φ вала под действием крутящего момента:

,

тогда:

.

Произведение I_ρ · G является механической характеристикой материала и называется жесткостью.

 

I_ρ – геометрическая характеристика сечения, которая показывает закономерность распределения элементарных площадок по всему сечению, при этом описывает способность сечения сопротивляться скручиванию. Размерность полярного момента инерции сечения:

.

Размерность полярного момента выводится из расчета статистического момента сечения,

определяемым интегралом:

,

тогда:

,

для балки прямоугольного сечения основной геометрической характеристикой при расчете на прочность является осевой момент инерции сечения I_x (Рис. V. 5, б):

.

Если радиус ρ разложить по теореме Пифагора:

,

то полярный момент инерции сечения равен:

 

,

тогда для круглого сечения:

 

.

 

 

Часто вместо полярного момента инерции сечения используется полярный момент сопротивления W_ρ:

.

 

VI. Изгиб.

 

Изгиб – деформация тела балки под действием сил в продольных плоскостях. Изгиб бывает поперечный (происходит под действием сил и моментов), чистый (действует только изгибающий момент) или плоский (ось балки прогибается в одной плоскости).

Рассмотрим случай чистого изгиба (Рис. VI.1) – балка изогнута под действием изгибающих моментов.

 

 

 

Рис. VI. 1

 

 

Исходя из характера деформации балки можно установить, что при чистом изгибе происходит поворот поперечных сечений без искажения, тогда как продольные слои балки деформируются (сжимаются и растягиваются) (Рис. VI. 2).

 

 

Рис. VI. 2

 

ρ – радиус кривизны слоя;

θ – угол поворота торца.

Как видно из рис. VI. 2 на выпуклой стороне слои балки растягиваются, что приводит к появлению положительного напряжения (+ σ), а на вогнутой – сжимаются, с возникновением отрицательного напряжения (– σ). В средней зоне, т.е. на оси балки, нет напряжений и нет деформаций – это нейтральный слой (нейтральная ось), длина которого не меняется.

С целью вывода формул для определения нормального напряжения и кривизны балки рассмотрим элементарный участок длиной l (Рис. VI. 3).

Рис. VI. 3

Исходная длина балки – ОО₁, dθ – угол поворота торцевых перемещений, у – расстояние от нейтральной оси до некоторого слоя.

Если из точки О провести линию, параллельную правому торцу, дуга bc будет равна ОО₁, а дуга аb – абсолютному удлинению торцов изгиба, т.е.:

,

тогда относительная деформация равна:

или

,

тогда:

. (VI. 1)

Введем величину k, называемую собственной кривизной и равную:

. (VI. 2)

Из аналитической геометрии следует:

. (VI. 3)

Степень в знаменателе формулы (VI. 3) существенно не влияет на равенство в связи с тем, что деформации жесткой балки малы, т.е. ими можно пренебречь, тогда:

.

Применяя закон Гука:

 

и формулы (VI. 1) и (VI. 2), получим формулу для определения нормального напряжения в любом слое балки (Рис. VI. 4):

.

 

 

Рис. VI. 4

Напряжение σ и его плечо у образует момент, тогда для элементарной площадки можно вывести формулу внутреннего изгибающего момента dM_x:

,

полный внутренний изгибающий момент M_x равен:

или

,

где - осевой момент инерции сечения I_x,

тогда:

,

следовательно:

. (VI. 4)

Формула (VI. 4) позволяет вести расчет на прочность сечения изогнутой балки. Но на практике обычно вместо осевого момента инерции сечения I_x используют осевой момент сопротивления сечения W_x, равный:

.

Физический смысл I_x сводится к тому, что эта величина – геометрическая характеристика сечения, описывающая закономерность распределения элементарных площадок по всему сечению, а так же показывающая способность сечения сопротивляться изгибу. Таким образом, условием статической прочности балки при изгибе является выражение:

.

 

В зависимости от расстояния между элементарной площадкой сечения и осью балки изменяется напряжение при изгибе (Рис. VI. 5): чем дальше элементарная площадка от оси, тем больше величина напряжения (формула (VI. 4)).

 

Рис. VI. 5

В связи с этим рациональным является использование именно балки прямоугольного сечения, называемые двутаврами, средний слой которой не сопротивляется изгибу (Рис. V. 6).

 

Рис. VI. 6

 

 

Деформации изогнутой балки.

Основной целью анализа изгиба балки является определение максимального прогиба у_max и наибольшего угла поворота θ_max изогнутой балки. Пусть на жестко заделанную балку длиной l действует некоторая сила F (Рис. VI.7).

 

Рис. VI. 7

 

Для вывода уравнений, позволяющих определить у_max и θ_max, воспользуемся уравнением изогнутой балки:

 

, (VI. 5)

тогда:

или

,

константа С определяется наложением граничных условий, данных для данной балки, а именно:

- если z =0, то у =0 и θ =0;

- если z = l, тогда y =max и =θ=max,

тогда С =0, а значит:

, (VI. 6)

тогда:

.

 

Проинтегрируем уравнение (VI. 6):

 

,

константа D =0, тогда:

.

 

 

VII. Сложное нагружение.

Гипотезы прочности.

Сложное нагружение возникает в тех случаях, когда элемент конструкции подвергается одновременно нескольким простейшим деформациям. В таком случае полностью корректный расчет детали на прочность мы осуществить не можем. Обычно множество напряжений рассчитываемой детали сводят к простейшим схемам (главным площадкам), в которых работают либо только нормальные, либо только касательные напряжения (Рис. VII. 1), причем принято, что:

 

.

 

 

Рис. VII. 1

 

Для получения расчетных формул для того или иного вида нагружения выдвигаются некоторые гипотезы (теории) прочности, смысл которых заключается в подборе некоторой эквивалентной величины напряжения, которая сравнивается с допускаемым напряжением.

В настоящее время применяют несколько теорий прочности:

1. Эквивалентное напряжение σ_экв принимается равным максимальному нормальному напряжению σ_max, не превышающему допускаемое напряжение [ σ ]:

 

.

 

2. Разрушение детали происходит по мере достижения максимальных деформаций в материале детали:

,

где μ – коэффициент пропорциональности.

Однако эта теорема не применима в связи с расчетом σ₁, σ ₂, σ₃.

3. На любой наклонной площадке структурного материала детали наиболее опасным напряжением для материала является касательное напряжение:

.

4. Энергетическая.

Разрушение детали происходит по мере накопления и распределения энергии в структуре материала детали:

.

Разница между третьей и четвертой теориями прочности сводится к тому, что четвертая теория учитывает меньшее касательное напряжение, а значит, и при расчете обеспечивает прочность при минимальной схеме оборудования, но при этом требует проверочного расчета и дополнительного определения физико-механических характеристик материала. Третья теория обеспечивает прочность детали при большей металлоемкости оборудования и не требует дополнительных расчетов, поэтому весьма широко используется в обычном машиностроении. Четвертая гипотеза более строгая, требует более качественного материала, более точных методов проектирования, изготовления и в основном используется в авиационной технике.

 

Расчет вала.

Рассчитаем вал редуктора зубчатой передачи (Рис. VII. 2).

 

Рис. VII. 2

 

На зубчатое колесо, закрепленное на валу, с силой F действует ответное колесо, наряду с этим на вал действует вращающий момент М. Таким образом, крутящий М_z (Рис. VII. 3, а) и изгибающий M_x (Рис. VII. 3, б) моменты создают кручение с изгибом.

 

 

а) б)

Рис. VII. 3

Для расчета габаритных размеров вала применим третью гипотезу прочности:

,

где касательные τ и нормальные σ напряжения рассчитываются по формулам:

и

,

где W_ρ – полярный момент сопротивления сечения, равный:

,

W_x – осевой момент сопротивления сечения:

.

Тогда:

,

где:

.

Условие прочности вала:

,

тогда:

.

 

Рассчитываемый диаметр d вала:

 

.