XII. Надежность деталей машин.

 

Устойчивость стержней.

Устойчивость – способность детали сохранять исходную геометрическую форму. Стержнем называют удлиненную деталь.

Наиболее опасным нагружением для стержня является продольный изгиб – изгиб под действием осевой продольной силы F (Рис. XII. 1).

 

Рис. XII. 1

До достижения некоторой величины F_крит сила F сжимает стержень. При ослаблении нагрузки стержень вернется к исходной геометрической форме. С последующим увеличением силы наблюдается изгиб стержня, при этом остаточные деформации не позволяют вернуться к первоначальной форме.

Изгиб стержня осуществляется в сторону минимального момента I_min инерции сечения стержня, т.е. каждое из его поперечных сечений поворачивается вокруг той оси, относительно которой момент инерции минимален (Рис. XII. 2, а):

а) б)

Рис. XII. 2

 

,

,

,

следовательно:

.

Тогда, используя уравнение изогнутой балки:

,

можно описать изгиб стержня (Рис. XII. 2, б):

, (XII. 1)

где у – плечо действия силы F.

Обозначим:

,

тогда из уравнения (XII. 1) получим дифференциальное уравнение второго порядка:

 

общее решение которого:

. (XII. 2)

Наложение граничащих условий позволяет определить величины А и В уравнения (XII. 2). Если z = 0, тогда y = 0 и sin (kz) = 0, следовательно В = 0. Значит:

. (XII. 3)

Аналогично, при z, равном l, частным решением дифференциального уравнения (XII. 2) является уравнение (XII. 3). Однако, синус – функция периодическая, т.е.:

,

где n = 0, 1, 2, 3, …

При n > 1 стержень изгибается по кривой, включающей n полуволн (Рис. XII. 3).

 

Рис. XII. 3

Однако, практический анализ показывает, что эти решения не представляют интереса, т.к. описывают неработоспособные состояния вала (стержня). Наибольший интерес представляет решение:

. (XII. 4)

Исходя из уравнения (XII. 4) получим:

,

тогда критическое значение сжимающей силы F_кр для рассчитываемого стержня определяется по формуле:

. (XII. 5)

 

Рис. XII. 4

На практике величина прогиба у зависит от способа заделки стержня, для чего в формулу (XII. 5) вводится приведенная длина стержня l_прив:

,

где μ – коэффициент приведения длины (Рис. XII. 4),

тогда:

.

 

Величина критического напряжения σ_кр исходя из формулы (XII. 5):

.

Отношение I_min / A называется радиусом инерции I, тогда:

, (XII. 6)

где соотношение μl / I является гибкостью λ стержня,

,

тогда формулу (XII. 6) можно переписать:

. (XII. 7)

Выражение (XII. 7) называется формулой Эйлера.

Для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера справедлива при гибкостях λ > 100, а также при λ > 80 – для чугуна. Обобщение этих данных сводится к построению диаграммы (Рис. XII. 5), связывающей критическое напряжение σ_кр с гибкостью λ вала (или стержня).

 

Рис. XII. 5

Стержни, для которых справедлива формула Эйлера, называются особо гибкими (зона III). Для стальных стержней с гибкостью λ < 100 формула Эйлера несправедлива. Для расчета таких стержней используется полученная в результате обработки опытных данных формула Ясинского:

,

где а и b – величины, характеризующие качество материала, значения которых приводятся в технических справочниках. Для стали средней гибкости (зона II) формула Ясинского приводится к виду:

.

Для стержней, у которых критическое напряжение превышает предел текучести (гибкие стержни), критическое напряжение σ_кр приравнивают пределу текучести σ _т (зона I), т.е. зона I диаграммы определяет состояние текучести материала, потерявшего свою работоспособность. Отсюда следует, что жесткие стержни при продольном нагружении следует рассчитывать на прочность. Гибкие валы рассчитываются на устойчивость, затем в случае необходимости – на прочность. Сам расчет на прочность ведется по предельному напряжению устойчивости [ σ_у ]:

,

где [ n_у ] – коэффициент запаса устойчивости продольно нагруженного стержня.

Как правило:

,

где [ σ ] – предел прочности вала;

φ – величина, зависящая от гибкости λ вала (стержня) (Табл. XII. 1).

 

λ
φ		0,9	0,8	0,65	0,3

 

Табл. XII. 1

Практическое значение этих расчетов заключается в определении компоновки машины, например, шнекового транспортера (Рис. XII. 6).

 

Рис. XII. 6

Основной задачей при конструировании машины является определение положения упорного подшипника. В случае, если подшипник поставить в начале вала, то под действием реактивной силы R вал при вращении будет сжиматься, что может привести к изгибу вала. Если шнек изогнется, то коснется корпуса транспортера. Поэтому рациональнее опорно-упорный подшипник размещать в конце трассы перемещения, тогда вал подвергается растяжению, а не изгибу.