III. Расчет деталей на прочность.

Одним из основных этапов расчета детали на прочность является оценка наиболее нагружаемого (опасного) сечения. Анализируется эпюр распределения внутренних силовых факторов – сил, моментов. Для этого используется анализ зависимости внутренних усилий от длины детали. Вид эпюра зависит от вида нагружения.

 

Растяжение или сжатие.

Рассмотрим один из простейших видов нагружения – растяжение (или сжатие) (Рис. III.1, а). Решение задачи начинается с оценки и определения реакций связей с помощью уравнений равновесия. Далее отдельно рассматриваются грузовые участки (участки с одинаковым принципом нагружения), в которых определяются внутренние усилия по длине балки методом сечений.

 

 

а) б)

Рис. III.1

Для консольной балки в точке заделки реактивной силой является R, которая определяется из уравнения равновесия:

,

откуда:

.

Рассмотрим 2 грузовых участка - I и II (Рис. 7, б).

Участок I находится в равновесии, т.к. вся балка находится в равновесии, тогда:

,

,

откуда:

.

Продольное усилие N₁ положительно, значит направление силы выбрано правильно и – данная сила является растягивающей, т.е. это случай растяжения.

Рассуждая аналогичным образом, получим для грузового участка II:

,

,

следовательно, усилие N₂ на данном участке сжимающее.

При построении эпюра продольной силы N необходимо учитывать правило знаков, согласно которому на эпюре проекция N положительна, если вектор силы направлен от сечения, т.е. N растягивающая, если N сжимающая, то ее проекция на эпюре отрицательна.

Деформация ∆l балки рассчитывается по закону Гука. Эпюр ∆ l строится с учетом того, что в точке заделки деформация балки равна 0.

Данная эпюра позволяет сделать вывод, что наиболее опасное сечение располагается в точке приложения силы F₂.

 

Кручение.

Кручение – деформация балки под действием момента, работающего в вертикальной поперечной плоскости (Рис. III.2).

Рассмотрим пример кручения жестко заделанной консольной балки (Рис. III.3, а). Разбив балку поперечными сечениями на грузовые участки и отбросив более нагруженные части, с помощью метода сечений построим эпюр крутящих моментов.

На участке I (Рис. III.3, б) равновесие будет обеспечиваться при взаимодействии внешнего и внутреннего моментов:

,

Учитывая правило знаков, согласно которому внутренний крутящий момент положительный, если, глядя на сечение, внутренний крутящий момент поворачивает сечение против часовой стрелки, получим:

или:

.

Для участка II:

.

Пусть M₁=1 кН·м, M₂=3 кН·м, тогда:

,

Отсюда следует то, что направление Т ₂ выбрано неправильно.

Изгиб.

Изгиб является наиболее сложным видом нагружения. Изгиб – деформация балки под действием моментов в вертикальной продольной или горизонтальной плоскостях (Рис. III.4).

Рис. III. 4

Рассмотрим изгиб консольно заделанной балки (Рис. III.5).

 

Рис. III.5

 

Изгибающий момент создается под действием концентрированной силы F. На балку действуют шарнирные опоры А и В, в связи с чем возникают реакции связей – R_Аy и R_Вy (Рис. III.6).

Расчет балки на прочность сводится к построению эпюров внутренних силовых факторов – поперечной силы Q и изгибающего внутреннего момента М_х. Решение задачи начинается с определения всех реакций связей. Очевидно, что:

.

Используя метод сечений, мысленно рассечем балку сечениями и, откинув более нагруженную часть грузового участка (l₁ или l₂), рассмотрим I и II участки.

 

Рис. III. 7

Рассмотрим участок I (Рис. III.7). Равновесие участка обеспечивается, если воздействию внешней реактивной силы R_Ay будет противостоять внутренняя сила Q₁. Образованная пара сил создает момент, который должен быть скомпенсирован изгибающим моментом M_x1.

 

Тогда:

Условием неопрокидывания (неповорачивания) является нулевая сумма моментов внешних и внутренних сил относительно точки сечения:

,

тогда:

Если z =0, то М_х1 =0, если z = l ₁, то М_х1 = R_Ay · l ₁. Пусть l ₁=1 м, тогда М_х1 = R_Ay · l ₁=1·1=1 кН·м. Внутренний момент М_х1 не является постоянным на участке, в связи с увеличением z, и его проекция на эпюре – наклонная линия.

Аналогичные рассуждения проводятся для участка II (Рис. III.8) и для любых балок с любым видом нагружения.

 

Рис. III.8

 

Правила знаков.

Внутреннее поперечное усилие Q положительно, если справа от сечения вектор Q направлен вниз, а слева от сечения – вверх, в противном случае Q принимает отрицательное значение (Рис. III.9, а).

 

 

а) б)

Рис. III.9

Если внутренний изгибающий момент М изгибает балку вниз, то на эпюре его проекция положительна, если вверх – отрицательна (Рис. III.9, б).

Замечание. Данное правило определения знака М применимо только при построении эпюра, при составлении уравнений равновесия используется зависимость знака М от направления вращения момента.

 

Рассмотрим случай нагружения балки распределенной силой q (Рис. III.10).

 

Рис. III.10

 

Очевидно, что:

.

 

Рассмотрим участок слева от сечения (Рис. III.11).

Рис. III. 11

Условием вертикального равновесия является уравнение:

,

откуда:

если z =0, то Q =- R_Ay, из чего следует то, что направление вектора Q выбрано неправильно. При увеличении z величина Q изменяется, проекция Q является наклонной линией.

Условие неопрокидывания:

,

,

если z =0, то М_х =0.

Из рис. III.10 видно, что балка максимально изогнется в середине балки и, следовательно, опасное сечение – середина балки, тогда как в точках А и В деформации минимальны, тогда:

если z = , то М_х =max

если z = , то М_х =min.

 

Правила проверки коррекции построения эпюр.

1. В местах приложения концентрированных внешних силовых факторов на соответствующих эпюрах наблюдаются переходы, равные величине внешних факторов.

2. При наличии концентрированных внешних сил эпюр поперечного усилия Q – горизонталь, а изгибающего момента М – наклонная линия.

3. Если внешняя нагрузка распределена по длине балки, то проекция Q на эпюре – наклонная линия, изгибающего момента М – парабола, причем выпуклость параболы – против направления распределенного усилия.

4. Поскольку

,

,

 

то знак производной от М_х соответствует знаку поперечного усилия Q.