ДС.2 Використання теореми про зміну кінетичного моменту для дослідження руху матеріальної системи

Матеріальна система (рис. 2.1-2.5) приводиться до руху моментом М, що прикладений до однорідного тіла 3. Знайти закон руху тіла 1, якщо на тіло 2 діє постійний момент опору М оп.

В початковий момент часу кутова швидкість тіла 3 - w₃₀. Масами пасів та їх ковзанням по шківах знехтувати. Тіла 2 та 3, обертаються навколо горизонтальних осей.

Дані для розрахунку приведені в таблиці 2.1. Де R₂, r₂, R₃ – розміри тіла 2 та 3, і₂ – момент інерції тіла 2 відносно осі обертання, m₁, m₂, m₃ – маси тіл 1, 2 та 3.

 

Таблиця 2.1

Варіант	R2, м	R3, м	r2, м	і2, м	m1, кг	m2, кг	m3, кг		М, Н×м	МОП, Н×м
	0,4   0,3   0,5   0,6   0,55   0,3   0,35   0,25   0,15   0,55	0,25   0,2   0,3   0,5   0,3   0,15   0,25   0,1   0,05   0,4	0,2   0,1   0,2   0,4   0,25   0,2   0,2   0,2   0,2   0,35	0,3   0,2   0,4   0,5   0,35   0,3   0,25   0,2   0,1   0,4	7,5	0,5   1,5   2,5   3,5   4,5	1,0   2,0   3,0       1,5   2,5   3,5   4,5   5,5		65+t   50+t^2   25+4t^2   75+2t^2   65+t   85+6t^2   15+3t   20+7t^2   95+7t   13+9t

 

Рисунок 2.1

 

Рисунок 2.2

 

Рисунок 2.3

 

Рисунок 2.4

 

Рисунок 2.5

 

 

Приклад виконання завдання

 

До вантажу 1 (рис. 2.6) масою m₁=20кг прив’язаний трос, який перекинутий через нерухомий блок 4 і другий кінець якого закріплений на поверхні шківа 2 радіусом r₂ (m₂=2кг). Механічна система приводиться до руху моментом прикладеним до ступінчатого шківа 3 масою m₃=3кг.

Знайти закон руху вантажу 1, якщо на тіло 2 діє момент опору М_ОП = 15 Н×м і при t=0 кутова швидкість тіла 3 - = . Більший радіус у шківа 2, R₂=0,4м, менший – r₂ = 0,2м, радіус інерції – і₂=0,3м. Тіла 3 та 4 мають однакові маси m₃=m₄ і розміри R₃=R₄=0,3м. Тіла 2,3 та 4 обертаються навколо горизонтальних нерухомих осей, а тіло 1 переміщується поступально.

Рисунок 2.6

 

Розв’язання. Розглянемо окремо рух тіл 2 і 3 та рух тіл 1 і 4.

До тіла 3 (рис. 2.7) прикладені зовнішні сили: пара сил з моментом М, сила тяжіння P₃=m₃g, реакції циліндричного шарніра X₃ і Y₃, реакції тіла 2 – колове зусилля S₃ і сила нормального тиску N₃.

Запишемо диференціальне рівняння обертання тіла 3 навколо нерухомої осі враховуючи, що якщо момент зовнішніх сил діє у напрямку руху тіла, тоді записуємо його з додатним знаком.

де - момент інерції тіла відносно осі z, - кутове прискорення тіла 3, - момент зовнішніх сил, прикладених до тіла 3, відносно осі z.

 

Рисунок 2.7

 

. (2.1)

Початкові умови:

при t=0, , . (2.2)

На тіло 2 діють такі зовнішні сили: сила тяжіння P₂=m₂g, реакції циліндричного шарніра X₂ та Y₂, натяг троса S₂ (трос працює тільки на розтяг), реакції тіла 3 – та , які за третім законом Ньютона направлені в протилежні сторони сил S₃ та N₃ (рис. 2.7).

Диференціальне рівняння обертання тіла 2 (рис. 2.8) навколо горизонтальної осі Z.

(2.3)

де - момент інерції тіла 2 відносно осі Z.

Оскільки , то рівняння (2.3) запишеться у вигляді

(2.4)

До тіл 1 та 4 (рис. 2.9) прикладені зовнішні сили: сили тяжіння P₁=m₁g та P₄=m₄g, реакція троса , реакції циліндричного шарніра X₄ та Y₄.

 

 

Рисунок 2.8

 

Теорема про зміну кінетичного моменту для тіл 1 та 4 (рис. 2.9) в проекціях на вісь Z запишеться:

Рисунок 2.9

(2.7)

де l_Z – кінетичний момент системи тіл 1 та 4 відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил.

Кінетичний момент L_Z складається із моменту кількості руху L_Z1 тіла 1 та кінетичного моменту L_Z4 тіла 4 відносно осі Z

Враховуючи, що , а ,кінетичний момент системи L_Z визначимо за формулою

Тепер диференціальне рівняння (2.7) набуває вигляду

 

(2.8)

Якщо до диференціальних рівнянь (2.1), (2.4), (2.8) додати кінематичні співвідношення

(2.9)

тоді отримаємо систему шести рівнянь в які входять невідомі:

Розв’язуючи систему рівнянь (2.1), (2.4), (2.8), (2.9) маємо:

З урахуванням того, що m₁=20кг, m₂=2кг, m₃=m₄=3кг, r₂=0,2м, R₂=0,4м, і₂=0,3м, R₃=R₄=0,3м, М=(16+11t²) , M₀=15 , g=9,81 , отримаємо

. (2.20)

Для визначення закону руху тіла 1, інтегруємо двічи диференціальне рівняння (2.20), беручи до уваги початкові умови (2.2)

Перший інтеграл диференціального рівняння (2.20)

Закон руху тіла 1:

ДС.3 Визначення реакцій в’язей тіла, що обертається навколо нерухомої осі

Тонкий стержень вагою Р (рис. 3.1-3.5) жорстко скріплений з круговим диском (парні варіанти) або тонким кільцем (непарні варіанти) вагою Q та радіусом r. Система обертається навколо горизонтальної осі в вертикальній площині із стану спокою під дією моменту М. Знайти кутове прискорення, кутову швидкість та зусилля в опорах осі при повороті системи на кут .

Стержень, диск, кільце вважати однорідними тілами; тертям в підшипниках знехтувати. Дані для розрахунку приведені в таблиці 3.1.

 

Таблиця 3.1.

Варіант	Р, Н	Q, H	r, м	АВ, м	М, Н м	, град
			0,1   0,3   0,4   0,1   0,2   0,3   0,4   0,1   0,2   0,3	0,3   0,9   1,0   0,4   0,6   1,0   1,2   0,3   0,5   0,8

 

Приклад виконання завдання

 

Система тіл, що складається з стержня 1 вагою Р, однорідного диска 2 та кільця 3, що мають відповідно вагу Q₂ та Q₃ та радіус R, обертається навколо горизонтальної осі О (рис. 3.6.) під дією пари сил з моментом М. Знайти кутове прискорення, кутову швидкість та зусилля в опорах осі при повороті матеріальної системи на кут , якщо в початковий момент часу система знаходилася в спокої.

Прийняти: P=10H; Q₂=20H; M=30Hм; Q₃=10H; R=0,2м; AO=0,8м; =60⁰. Рисунок 3.1

Рисунок 3.2

 

Рисунок 3.3

 

Рисунок 3.4

 

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

Розв’язання. На систему тіл діють активні сили , , та пара сил з моментом М (рис.3.7)

Переміщенню тіл перешкоджає в’язь: циліндричний шарнір О, дію якого на тіло, на підставі аксіоми звільнення від в’язів, замінюємо реакціями в’язей _{0, 0}.

Для визначення сил _{0, 0} запишемо теорему про рух центра мас системи в проекціях на осі Х та Y.

М _с=F_x^е, (3.1)

М _с=F_y^е,

де М=m₁+m₂+m₃- маса системи тіл (m₁= , m₂= , m₃= ), _с і _с-проекція прискорення центра мас системи на осі Х та Y, F_x^е і F_y^е- проекція головного вектора зовнішніх сил системи на осі Х та Y.

F_x^е =Х₀,

F_y^е=Y₀-P-Q₂-Q₃. (3.2)

Тепер із диференціальних рівнянь (3.1) отримаємо

Х₀=М _с,

Y₀=M +P (3.3)

Щоб знайти реакції в’язей необхідно визначити прискорення центра мас системи тіл

(3.4)

де , , -кутова швидкість тіла, - кутове прискорення тіла (системи тіл.)

 

3.1.1 Визначення кутового прискорення системи тіл

Кутове прискорення тіл знайдемо на підставі диференціального рівняння обертального руху тіла навколо осі .

. (3.5)

де I_z – момент інерції системи тіл відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил системи відносно осі Z.

Момент інерції тіл I_Z відносно осі дорівнює сумі моментів інерції тіл 1, 2, 3 відносно осі Z.

= + +

Момент інерції диска 2 відносно осі Z:

 

Момент інерції кільця 3 відносно осі Z:

.

Момент інерції стержня 1 відносно осі Z:

.

Тоді: .

 

Момент зовнішніх сил матеріальної системи (рис.3.7) відносно осі Z

. (3.6)

де OC , OC і OC відстань осі обертання до центра мас відповідного тіла.

Момент сили або момент пари сил беремо з додатним знаком, якщо він діє у напрямку обертання системи тіл.

Диференціальне рівняння (3.5), враховуючи (3.6), запишеться:

.

Звідки:

 

=

(3.7)

При =60⁰,