В. О. Приятельчук, В. І. Риндюк, В. О. Федотов

В. О. Приятельчук, В. І. Риндюк, В. О. Федотов

 

Теоретична механіка

Динаміка матеріальної системи

 

Розрахунково-графічні та контрольні завдання

 

 

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

 

В. О. Приятельчук, В. І. Риндюк, В. О. Федотов

 

Теоретична механіка

Динаміка матеріальної системи

 

 

Розрахунково-графічні та контрольні завдання

 

 

Затверджено Вченою радою Вінницького національного технічного університету як навчальний посібник для студентів напрямів підготовки: 0921 - “Будівництво”; 0902 – “Інженерна механіка”; 0923 – “Зварювання”; 0922 – “Електромеханіка”; 0905 – “Енергетика”; 0906 – “Електротехніка”; 0907 – “Радіотехніка”. Протокол №2 від 30 вересня 2004р.

 

Вінниця ВНТУ 2005

УДК 531 (075)

П 77

 

Рецензенти:

В.Ф. Анісімов, доктор технічних наук, професор

І.О. Сивак, доктор технічних наук, професор

В.І. Савуляк, кандидат технічних наук, професор

 

Рекомендовано до видання Ученою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України

 

 

Приятельчук В.О., Риндюк В.І., Федотов В.О.

П77 Теоретична механіка. Динаміка матеріальної системи. Розрахунково – графічні та контрольні завдання. Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 2005. – 78с.

В посібнику приведені сім завдань із розділу “Основні (загальні) теореми динаміки”. Кожне завдання має триста варіантів з прикладом виконання.

Для студентів денної та заочної форми навчання.

УДК 531(075)

 

 

©, В. Приятельчук, В. Риндюк, В. Федотов, 2005

Зміст

1. Порядок та основні вимоги до виконання роботи...........................4

2. Розрахунково-графічні та контрольні завдання...............................5

ДС.1 Використання теореми про рух центра мас для визначення переміщення тіл.........................................................................5

1.1 Приклад виконання завдання.....................................................11

ДС.2 Використання теореми про зміну кінетичного моменту для

дослідження руху матеріальної системи...............................13

1.2 Приклад виконання завдання.....................................................19

ДС.3 Визначення реакцій в’язей тіла, що обертається навколо

нерухомої осі............................................................................23

3.1 Приклад виконання завдання.....................................................23

3.1.1 Визначення кутового прискорення системи тіл.......30

3.1.2 Визначення кутової швидкості......................................31

3.1.3 Визначення реакції опор.................................................32

ДС.4 Використання теорем про рух центра мас та кінетичного моменту для дослідження руху матеріальної системи........33

4.1 Приклад виконання завдання.....................................................39

4.1.1 Визначення прискорення тіла 3.....................................39

4.1.2 Визначення реакції в’язей циліндричних шарнірів та зусиль між тілами.......................................................43

ДС.5 Визначення прискорення точок та кутових прискорень тіл за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії системи.....................................................................................45

5.1 Приклад виконання завдання.....................................................45

ДС.6 Дослідження планетарного механізму з паралельними осями........................................................................................48

6.1 Приклад виконання завдання.....................................................48

ДС.7 Використання теореми про зміну кінетичної енергії для

вивчення руху матеріальної системи...................................58

7.1 Приклад виконання завдання.....................................................64

ДС.8 Додаткові динамічні реакції в’язей твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі.......................................69

8.1 Приклад виконання завдання.....................................................69

Література...............................................................................................84

 

Розрахунково-графічні та контрольні завдання

ДС.1 Використання теореми про рух центра мас для визначення переміщення тіл

 

Визначити переміщення призми 1 по горизонтальній гладенькій поверхні, якщо центр мас тіла 2 опустився на відстань S відносно призми 1 (вар. 1.1-1.19) або тіло 2 повернулося на заданий кут навколо горизонтальної осі (вар. 1.20-1.30). В початковий момент часу матеріальна система знаходиться у спокої.

Дані для розрахунків приведені в табл. 1.1. ()

 

Таблиця 1.1

Варіант

Рисунок 1-20

Рисунок 21-30

S, м

m , кг

m , кг

m3, кг

град.

R,M

r,M

m , кг

m , кг

m3, кг

град.

l, м

0,3   0,2   0,4   0,1   0,5   0,6   0,7   0,15   0,35   0,25

0,4   0,3   0,2   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45   0,5   0,3

0,3   0,2   0,15   0,05   0,1   0,2   0,3   0,4   0,25   0,15

1.5

0,3   0,4   0,5   0,2   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45   0,55

 

Рисунок 1.1

Рисунок 1.2

Рисунок 1.3

Рисунок 1.4

Рисунок 1.5

Приклад виконання завдання

По похилій площині (рис. 1.6) призми 1 маси m₁=10кг спускається вантаж 2 (m₂=6кг), який тягне за допомогою невагомої вантаж 3 масою m₃=4кг.

Знайти переміщення призми 1 по гладенькій горизонтальній площині, якщо тіло М₂ опустилось по похилій площині на S=0,5м.

Розв’язання. Покажемо зовнішні сили, які прикладені до матеріальної системи, що складається з призми 1 та тіл 2, 3. Такими самими є: P₁=m₁g – сила ваги призми, P₂=m₂g i P₃=m₃g – вага відповідно другого та третього вантажів, N – реакція гладенької горизонтальної поверхні.

Рисунок 1.6

 

Запишемо теорему про рух центра мас матеріальної системи в проекціях на вісь Х:

(1.1)

де , - проекція головного вектора зовнішніх сил на вісь Х.

Оскільки = 0, то = 0. Тоді

В початковий момент часу система знаходилась у спокої і тому . Із формули (1.1) маємо:

.

Таким чином, координата Х_С центра мас матеріальної системи залишається сталою незалежно від переміщень тіл, що входять у систему.

Визначимо положення центра мас системи в початковий момент часу:

(1.2)

Якщо вантаж 2 переміститься на величину , тоді тіло 3 – на , а призма 1 - і положення Х_С центра мас знайдемо за формулою:

. (1.3)

Враховуючи (1.2), із формули (1.3) отримаємо:

. (1.4)

 

Переміщення та складається із відносного по призмі і переносного разом із призмою.

Тепер із формули (1.4) знаходимо переміщення призми.

Знак “мінус” вказує на те, що призма 1 перемістилася в сторону протилежну додатному напрямку осі Х.

 

 

Приклад виконання завдання

 

До вантажу 1 (рис. 2.6) масою m₁=20кг прив’язаний трос, який перекинутий через нерухомий блок 4 і другий кінець якого закріплений на поверхні шківа 2 радіусом r₂ (m₂=2кг). Механічна система приводиться до руху моментом прикладеним до ступінчатого шківа 3 масою m₃=3кг.

Знайти закон руху вантажу 1, якщо на тіло 2 діє момент опору М_ОП = 15 Н×м і при t=0 кутова швидкість тіла 3 - = . Більший радіус у шківа 2, R₂=0,4м, менший – r₂ = 0,2м, радіус інерції – і₂=0,3м. Тіла 3 та 4 мають однакові маси m₃=m₄ і розміри R₃=R₄=0,3м. Тіла 2,3 та 4 обертаються навколо горизонтальних нерухомих осей, а тіло 1 переміщується поступально.

Рисунок 2.6

 

Розв’язання. Розглянемо окремо рух тіл 2 і 3 та рух тіл 1 і 4.

До тіла 3 (рис. 2.7) прикладені зовнішні сили: пара сил з моментом М, сила тяжіння P₃=m₃g, реакції циліндричного шарніра X₃ і Y₃, реакції тіла 2 – колове зусилля S₃ і сила нормального тиску N₃.

Запишемо диференціальне рівняння обертання тіла 3 навколо нерухомої осі враховуючи, що якщо момент зовнішніх сил діє у напрямку руху тіла, тоді записуємо його з додатним знаком.

де - момент інерції тіла відносно осі z, - кутове прискорення тіла 3, - момент зовнішніх сил, прикладених до тіла 3, відносно осі z.

 

Рисунок 2.7

 

. (2.1)

Початкові умови:

при t=0, , . (2.2)

На тіло 2 діють такі зовнішні сили: сила тяжіння P₂=m₂g, реакції циліндричного шарніра X₂ та Y₂, натяг троса S₂ (трос працює тільки на розтяг), реакції тіла 3 – та , які за третім законом Ньютона направлені в протилежні сторони сил S₃ та N₃ (рис. 2.7).

Диференціальне рівняння обертання тіла 2 (рис. 2.8) навколо горизонтальної осі Z.

(2.3)

де - момент інерції тіла 2 відносно осі Z.

Оскільки , то рівняння (2.3) запишеться у вигляді

(2.4)

До тіл 1 та 4 (рис. 2.9) прикладені зовнішні сили: сили тяжіння P₁=m₁g та P₄=m₄g, реакція троса , реакції циліндричного шарніра X₄ та Y₄.

 

 

Рисунок 2.8

 

Теорема про зміну кінетичного моменту для тіл 1 та 4 (рис. 2.9) в проекціях на вісь Z запишеться:

Рисунок 2.9

(2.7)

де l_Z – кінетичний момент системи тіл 1 та 4 відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил.

Кінетичний момент L_Z складається із моменту кількості руху L_Z1 тіла 1 та кінетичного моменту L_Z4 тіла 4 відносно осі Z

Враховуючи, що , а ,кінетичний момент системи L_Z визначимо за формулою

Тепер диференціальне рівняння (2.7) набуває вигляду

 

(2.8)

Якщо до диференціальних рівнянь (2.1), (2.4), (2.8) додати кінематичні співвідношення

(2.9)

тоді отримаємо систему шести рівнянь в які входять невідомі:

Розв’язуючи систему рівнянь (2.1), (2.4), (2.8), (2.9) маємо:

З урахуванням того, що m₁=20кг, m₂=2кг, m₃=m₄=3кг, r₂=0,2м, R₂=0,4м, і₂=0,3м, R₃=R₄=0,3м, М=(16+11t²) , M₀=15 , g=9,81 , отримаємо

. (2.20)

Для визначення закону руху тіла 1, інтегруємо двічи диференціальне рівняння (2.20), беручи до уваги початкові умови (2.2)

Перший інтеграл диференціального рівняння (2.20)

Закон руху тіла 1:

Приклад виконання завдання

 

Система тіл, що складається з стержня 1 вагою Р, однорідного диска 2 та кільця 3, що мають відповідно вагу Q₂ та Q₃ та радіус R, обертається навколо горизонтальної осі О (рис. 3.6.) під дією пари сил з моментом М. Знайти кутове прискорення, кутову швидкість та зусилля в опорах осі при повороті матеріальної системи на кут , якщо в початковий момент часу система знаходилася в спокої.

Прийняти: P=10H; Q₂=20H; M=30Hм; Q₃=10H; R=0,2м; AO=0,8м; =60⁰. Рисунок 3.1

Рисунок 3.2

 

Рисунок 3.3

 

Рисунок 3.4

 

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

Розв’язання. На систему тіл діють активні сили , , та пара сил з моментом М (рис.3.7)

Переміщенню тіл перешкоджає в’язь: циліндричний шарнір О, дію якого на тіло, на підставі аксіоми звільнення від в’язів, замінюємо реакціями в’язей _{0, 0}.

Для визначення сил _{0, 0} запишемо теорему про рух центра мас системи в проекціях на осі Х та Y.

М _с=F_x^е, (3.1)

М _с=F_y^е,

де М=m₁+m₂+m₃- маса системи тіл (m₁= , m₂= , m₃= ), _с і _с-проекція прискорення центра мас системи на осі Х та Y, F_x^е і F_y^е- проекція головного вектора зовнішніх сил системи на осі Х та Y.

F_x^е =Х₀,

F_y^е=Y₀-P-Q₂-Q₃. (3.2)

Тепер із диференціальних рівнянь (3.1) отримаємо

Х₀=М _с,

Y₀=M +P (3.3)

Щоб знайти реакції в’язей необхідно визначити прискорення центра мас системи тіл

(3.4)

де , , -кутова швидкість тіла, - кутове прискорення тіла (системи тіл.)

 

3.1.1 Визначення кутового прискорення системи тіл

Кутове прискорення тіл знайдемо на підставі диференціального рівняння обертального руху тіла навколо осі .

. (3.5)

де I_z – момент інерції системи тіл відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил системи відносно осі Z.

Момент інерції тіл I_Z відносно осі дорівнює сумі моментів інерції тіл 1, 2, 3 відносно осі Z.

= + +

Момент інерції диска 2 відносно осі Z:

 

Момент інерції кільця 3 відносно осі Z:

.

Момент інерції стержня 1 відносно осі Z:

.

Тоді: .

 

Момент зовнішніх сил матеріальної системи (рис.3.7) відносно осі Z

. (3.6)

де OC , OC і OC відстань осі обертання до центра мас відповідного тіла.

Момент сили або момент пари сил беремо з додатним знаком, якщо він діє у напрямку обертання системи тіл.

Диференціальне рівняння (3.5), враховуючи (3.6), запишеться:

.

Звідки:

 

=

(3.7)

При =60⁰,

 

Визначення реакцій опори

 

Знайдемо координати центра мас системи тіл (рис.3.7)

Проекції прискорення центра мас (при ) на натуральні та декартові осі координат.

Осі та : = ,

Осі х та у:

Визначаємо проекції реакції в’язей циліндричного шарніра 0 (рис.3.6) на осі х та у (3.3).

Х н,

Y Н.

Реакція в’язі R шарніра 0.

R= Н.

 

Приклад виконання завдання

Матеріальна система (рис. 4.6) починає рухатись із стану спокою під дією моменту М, що прикладається до тіла 1. Осі тіл 1 та 2 горизонтальні. Коефіцієнт тертя ковзання f. В точках контакту тіл ковзання відсутнє. Масою паса знехтувати. Тіло 1 – однорідний циліндр.

Визначити прискорення тіла 3, натяг S₅ у веденій 5 та ведучій 4 (S₄) частині паса (прийняти S₄=2S₅), зусилля в точці контакту тіл 1 та 2, реакції в’язей циліндричних (нерухомих) шарнірів тіл 1, 2 та 3.

 

Прийняти: R₁=0,25м; R₂=0,45м; r₂=0,15м; i₂=0,4м; L=0,7м; m₁=0,5кг; m₂=5кг; m₃=4кг; M=3t³ H M; t₁=2c; f=0,4.

Розв’язання. Розглянемо окремо рух кожного тіла матеріальної системи (рис. 4.6).

 

Рисунок 4.6

 

Приклад виконання завдання

Матеріальна система (рис. 5.1) рухається під дією моменту М, що діє на тіло 1. Осі тіла 1 та 2 горизонтальні. В точках контакту тіл та паса ковзання відсутнє. Масою тіла знехтувати. Тіло 1 – однорідний циліндр.

Визначити прискорення тіла 3 та кутові прискорення тіл 1 та 2 якщо: R₁=0,25м; R₂=0,45м; r₂=0,15м; i₂=0,4м; l=0,7м; m₁=0,5кг; m₂=5кг; m₃=4кг; М=3t³Hм; t₂=2c.

Рисунок 5.1

Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної системи (рис. 5.1) використаємо теорему про зміну кінетичної енергії в диференціальній формі

, (5.1)

де Т- кінетична енергія системи, N^e – потужність зовнішніх сил системи, Nⁱ – потужність внутрішніх сил системи, Nⁱ = 0 – тіла тверді, а пас абсолютно гнучкий та нерозтяжний.

Кінетична енергія системи складається із кінетичної енергії тіл, що входять в систему

Т=Т₁+Т₂+Т_3.

Тіла 1 та 2 обертаються навколо нерухомих горизонтальних осей і їх кінетична енергія знаходиться за формулами:

, , (5.2)

де , - моменти інерції відповідно тіл 1 та 2, w₁, w₂ – кутові швидкості тіл.

Тіло 3 переміщується поступально із швидкістю V₃, тоді

. (5.3)

Взаємозв’язок між кінематичними характеристиками руху тіл (рис. 5.2)

, . (5.4)

Запишемо кінетичну енергію системи, враховуючи (5.2), (5.3) та (5.4), як функцію швидкості V₃ тіла 3

. (5.5)

 

Рисунок 5.2

 

Знайдемо потужність зовнішніх сил (рис. 5.2) матеріальної системи: сили тяжіння P₁=m₁g, P₂=m₂g, P₃=m₃g моменту М; реакції в’язей нерухомих (циліндричних) шарнірів X₁ , Y₁ , X₂ , Y₂ , N_A , N_B.

Потужність сил X₁ ,Y₁ , P₁ , X₂ , Y₂ , P₂ , N_A i N_B дорівнює нулю тому, що точки прикладення сил не переміщуються. Тоді потужність N^е зовнішніх сил буде складатися із потужності моменту М та сили тяжіння тіла 3 - Р_3.

де ,

.

Або

. (5.6)

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи (5.1) з врахуванням (5.5) та (5.6) запишеться:

 

Оскільки , тоді

. (5.7)

Кутові прискорення тіл

, .

Підставляючи дані умови задачі, отримаємо:

 

 

При t₁=2c, , , .

 

ДС.6 Дослідження планетарного механізму з паралельними осями

 

До вала I планетарного механізму (рис. 6.1 – 6.5), розташованого в горизонтальній площині (вал I вертикальний), прикладений обертальний момент М. Знайти кутову швидкість w вала I при t=t₁. В початковий момент система знаходиться у спокої. Силами тертя знехтувати. Дані для розрахунків приведено в табл. 6.1. Вагою рухомих, нерухомих осей та водила знехтувати. Колеса з рухомими та нерухомими осями вважати однорідними круглими дисками. Радіус r_з зубчастого колеса визначається із схеми механізму (рис. 6.1 – 6.5).

 

Таблиця 6.1

Варіант	Радіус, м	Маса, кг	Момент, Н·м	Час, с
r1	r2	r3	m1	m2	m3	M	t1
	0.15	0.20	0.45	0.5	0.4	0.6	8+3t
	0.30	0.35	0.60	1.0	0.9	0.8	4-wI
	0.35	0.45	0.70	1.5	1.4	1.0	6+zt^2
	0.35	0.40	0.65	1.25	1.2	0.9	5+3wI
	0.45	0.50	0.95	0.75	0.6	0.8	12+5t
	0.30	0.35	0.90	0.8	0.5	0.6	1+6wI
	0.40	0.45	1.00	0.6	0.4	0.5	2+9t^2
	0.45	0.50	1.2	0.7	0.6	0.9	8+wI
	0.20	0.30	0.50	0.4	0.3	0.5	2+3t
	0.50	0.60	1.2	0.3	0.4	0.6	9+2wI

 

Приклад виконання завдання

Вертикальний вал I (рис 6.6) із стану спокою приводиться до руху моментом М=(12-5w) Н·м.

Знайти кутову швидкість вала I (водило) при t₁=2c, якщо r₁=0,4m; r₂=0,2m; r₄=1,0m. Зубчасті колеса з нерухомою віссю 1 та рухомою 2 і 3 – однорідні суцільні диски масами: m₁=1кг, m₂=2кг, m₃=3кг. Силами тертя, масами рухомих осей та водила (вала I) знехтувати.

Розв’язання. Планетарний механізм (рис 6.6) покажемо в площині його руху – горизонтальній (рис 6.7) Механізм рухається під дією зовнішніх сил: обертального моменту М; реакції циліндричного шарніра х₁ та у₁; реакції нерухомого колеса 4 – S_A, N_A, S_B, N_B; сили тяжіння P₁, P₂, P₃ (направлені перпендикулярно до площини рис. 6.7).

Для визначення кутової швидкості водила I застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної системи в диференціальному вигляді

 

Рисунок 6.1

Рисунок 6.2

Рисунок 6.3

Рисунок 6.4

Рисунок 6.5

 

Рисунок 6.6

 

(6.1)

де Т – кінетична енергія планетарного механізму, N^e та Nⁱ потужність зовнішніх та внутрішніх сил системи.

Оскільки в планетарному механізмі тіла тверді, то потужність внутрішніх сил дорівнює нулю (Nⁱ=0).

Кінетична енергія системи в даний момент часу складається з кінетичної енергії зубчастого колеса 1, кінетичних енергій рухомих зубчастих коліс (сателітів) 2 та 3.

(6.2)

Оскільки зубчасте колесо 1 обертається навколо нерухомої осі, то його кінетична енергія визначається за формулою

(6.3)

де - момент інерції колеса відносно головної центральної осі, що є віссю обертання тіла 1, w₁ – кутова швидкість тіла 1.

Сателіти (рухомий блок зубчастих коліс 2 та 3) переміщується плоскопаралельно і їх кінетична енергія визначається таким чином:

(6.4)

 

 

Рисунок 6.7

де V_c – швидкість центра мас тіл 2 та 3, та - моменти інерції тіл 2 та 3 відносно головної центральної осі, w₂=w₃ – кутова швидкість сателітів (блока коліс 2 та 3).

Знайдемо співвідношення між кутовими швидкостями тіл та швидкістю V_c, записавши їх через кутову швидкість водила I. Оскільки точка А (рис. 6.7) є миттєвим центром швидкостей сателітів 2 та 3, тоді очевидно що,

, , (6.5)

точка С також належить водилу I.

(6.6)

Тоді з (6.5), враховуючи (6.6).

, (6.7)

Таким чином, кінетична енергія механічної системи (6.2), після підстановки в неї (6.3) і (6.4), та маючи на увазі (6.6) і (6.7), запишеться

Або

(6.8)

Потужність зовнішніх сил

(6.9)

На підставі теореми (6.1) і формул (6.8) та (6.9) отримаємо:

(6.10)

де M=(12-5 w) – обертальний момент, що діє на водило I.

Оскільки , тоді (6.11)

Початкові умови:

При t=0, w=0. (6.12)

В диференціальному рівнянні (6.11) розділимо змінні w та t.

(6.13)

Інтегруємо диференціальне рівняння (6.13) при початкових умовах (6.12).

Або

Виконуємо подальші перетворення:

(6.14)

Кутова швидкість водила I при t₁=2c

де , - радіус зубчастого колеса 3.

 

 

Рисунок 7.1

 

 

Рисунок 7.2

 

 

Рисунок 7.3

 

 

Рисунок 7.4

 

 

Рисунок 7.5

 

Приклад виконання завдання

 

Визначити прискорення та швидкість центра мас тіла 1 у момент часу, коли він пройде шлях S1, якщо матеріальна система (рис.7.6) починає рухатися із стану спокою. Масами шнурів знехтувати. Тіла 1 та 3 рухаються без ковзання. Дано: m1=10кг; m2=2кг; m3=1кг; R2=0.4M; r2=0.3M; R3=0.3M; r3=0.2M; ρ2=0.35M; ρ3=0.25M; α=30˚; β=45˚; S1=0.4M

 

Рисунок 7.6

 

 

Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної систем (рис.7.6) застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі.

 

=∑N^е+∑N^і (7.1)

де Т — кінетична енергія системи при 0<х≤S1; ∑N^і та ∑N^е− сума потужностей внутрішніх та зовнішніх сил системи. Матеріальна система (рис.7.6) складається із твердих тіл та нерозтяжних шнурів, тоді