Дс. 5 визначення прискорення точок та кутових прискорень тіл за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії системи

Матеріальна система (рис. 4.1-4.5) приводиться до руху моментом М. Знайти прискорення тіла 3 та кутові прискорення тіл в момент часу t=t₁.

Масами пасів та їх ковзанням по шківах знехтувати. В точках контакту тіл ковзання відсутнє. Однорідний диск 1 та ступінчатий шків 2 обертаються навколо горизонтальних осей.

Дані для розрахунку приведені в таблиці 4.1 де m₁, m₂, m₃ – маси тіл 1, 2 та 3; R_1, R₂, r₂ – розміри тіл 1 та 2; і₂ – радіус і перції тіла 2 відносно горизонтальної осі.

 

Приклад виконання завдання

Матеріальна система (рис. 5.1) рухається під дією моменту М, що діє на тіло 1. Осі тіла 1 та 2 горизонтальні. В точках контакту тіл та паса ковзання відсутнє. Масою тіла знехтувати. Тіло 1 – однорідний циліндр.

Визначити прискорення тіла 3 та кутові прискорення тіл 1 та 2 якщо: R₁=0,25м; R₂=0,45м; r₂=0,15м; i₂=0,4м; l=0,7м; m₁=0,5кг; m₂=5кг; m₃=4кг; М=3t³Hм; t₂=2c.

Рисунок 5.1

Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної системи (рис. 5.1) використаємо теорему про зміну кінетичної енергії в диференціальній формі

, (5.1)

де Т- кінетична енергія системи, N^e – потужність зовнішніх сил системи, Nⁱ – потужність внутрішніх сил системи, Nⁱ = 0 – тіла тверді, а пас абсолютно гнучкий та нерозтяжний.

Кінетична енергія системи складається із кінетичної енергії тіл, що входять в систему

Т=Т₁+Т₂+Т_3.

Тіла 1 та 2 обертаються навколо нерухомих горизонтальних осей і їх кінетична енергія знаходиться за формулами:

, , (5.2)

де , - моменти інерції відповідно тіл 1 та 2, w₁, w₂ – кутові швидкості тіл.

Тіло 3 переміщується поступально із швидкістю V₃, тоді

. (5.3)

Взаємозв’язок між кінематичними характеристиками руху тіл (рис. 5.2)

, . (5.4)

Запишемо кінетичну енергію системи, враховуючи (5.2), (5.3) та (5.4), як функцію швидкості V₃ тіла 3

. (5.5)

 

Рисунок 5.2

 

Знайдемо потужність зовнішніх сил (рис. 5.2) матеріальної системи: сили тяжіння P₁=m₁g, P₂=m₂g, P₃=m₃g моменту М; реакції в’язей нерухомих (циліндричних) шарнірів X₁ , Y₁ , X₂ , Y₂ , N_A , N_B.

Потужність сил X₁ ,Y₁ , P₁ , X₂ , Y₂ , P₂ , N_A i N_B дорівнює нулю тому, що точки прикладення сил не переміщуються. Тоді потужність N^е зовнішніх сил буде складатися із потужності моменту М та сили тяжіння тіла 3 - Р_3.

де ,

.

Або

. (5.6)

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи (5.1) з врахуванням (5.5) та (5.6) запишеться:

 

Оскільки , тоді

. (5.7)

Кутові прискорення тіл

, .

Підставляючи дані умови задачі, отримаємо:

 

 

При t₁=2c, , , .

 

ДС.6 Дослідження планетарного механізму з паралельними осями

 

До вала I планетарного механізму (рис. 6.1 – 6.5), розташованого в горизонтальній площині (вал I вертикальний), прикладений обертальний момент М. Знайти кутову швидкість w вала I при t=t₁. В початковий момент система знаходиться у спокої. Силами тертя знехтувати. Дані для розрахунків приведено в табл. 6.1. Вагою рухомих, нерухомих осей та водила знехтувати. Колеса з рухомими та нерухомими осями вважати однорідними круглими дисками. Радіус r_з зубчастого колеса визначається із схеми механізму (рис. 6.1 – 6.5).

 

Таблиця 6.1

Варіант	Радіус, м	Маса, кг	Момент, Н·м	Час, с
r1	r2	r3	m1	m2	m3	M	t1
	0.15	0.20	0.45	0.5	0.4	0.6	8+3t
	0.30	0.35	0.60	1.0	0.9	0.8	4-wI
	0.35	0.45	0.70	1.5	1.4	1.0	6+zt^2
	0.35	0.40	0.65	1.25	1.2	0.9	5+3wI
	0.45	0.50	0.95	0.75	0.6	0.8	12+5t
	0.30	0.35	0.90	0.8	0.5	0.6	1+6wI
	0.40	0.45	1.00	0.6	0.4	0.5	2+9t^2
	0.45	0.50	1.2	0.7	0.6	0.9	8+wI
	0.20	0.30	0.50	0.4	0.3	0.5	2+3t
	0.50	0.60	1.2	0.3	0.4	0.6	9+2wI

 

Приклад виконання завдання

Вертикальний вал I (рис 6.6) із стану спокою приводиться до руху моментом М=(12-5w) Н·м.

Знайти кутову швидкість вала I (водило) при t₁=2c, якщо r₁=0,4m; r₂=0,2m; r₄=1,0m. Зубчасті колеса з нерухомою віссю 1 та рухомою 2 і 3 – однорідні суцільні диски масами: m₁=1кг, m₂=2кг, m₃=3кг. Силами тертя, масами рухомих осей та водила (вала I) знехтувати.

Розв’язання. Планетарний механізм (рис 6.6) покажемо в площині його руху – горизонтальній (рис 6.7) Механізм рухається під дією зовнішніх сил: обертального моменту М; реакції циліндричного шарніра х₁ та у₁; реакції нерухомого колеса 4 – S_A, N_A, S_B, N_B; сили тяжіння P₁, P₂, P₃ (направлені перпендикулярно до площини рис. 6.7).

Для визначення кутової швидкості водила I застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної системи в диференціальному вигляді

 

Рисунок 6.1

Рисунок 6.2

Рисунок 6.3

Рисунок 6.4

Рисунок 6.5

 

Рисунок 6.6

 

(6.1)

де Т – кінетична енергія планетарного механізму, N^e та Nⁱ потужність зовнішніх та внутрішніх сил системи.

Оскільки в планетарному механізмі тіла тверді, то потужність внутрішніх сил дорівнює нулю (Nⁱ=0).

Кінетична енергія системи в даний момент часу складається з кінетичної енергії зубчастого колеса 1, кінетичних енергій рухомих зубчастих коліс (сателітів) 2 та 3.

(6.2)

Оскільки зубчасте колесо 1 обертається навколо нерухомої осі, то його кінетична енергія визначається за формулою

(6.3)

де - момент інерції колеса відносно головної центральної осі, що є віссю обертання тіла 1, w₁ – кутова швидкість тіла 1.

Сателіти (рухомий блок зубчастих коліс 2 та 3) переміщується плоскопаралельно і їх кінетична енергія визначається таким чином:

(6.4)

 

 

Рисунок 6.7

де V_c – швидкість центра мас тіл 2 та 3, та - моменти інерції тіл 2 та 3 відносно головної центральної осі, w₂=w₃ – кутова швидкість сателітів (блока коліс 2 та 3).

Знайдемо співвідношення між кутовими швидкостями тіл та швидкістю V_c, записавши їх через кутову швидкість водила I. Оскільки точка А (рис. 6.7) є миттєвим центром швидкостей сателітів 2 та 3, тоді очевидно що,

, , (6.5)

точка С також належить водилу I.

(6.6)

Тоді з (6.5), враховуючи (6.6).

, (6.7)

Таким чином, кінетична енергія механічної системи (6.2), після підстановки в неї (6.3) і (6.4), та маючи на увазі (6.6) і (6.7), запишеться

Або

(6.8)

Потужність зовнішніх сил

(6.9)

На підставі теореми (6.1) і формул (6.8) та (6.9) отримаємо:

(6.10)

де M=(12-5 w) – обертальний момент, що діє на водило I.

Оскільки , тоді (6.11)

Початкові умови:

При t=0, w=0. (6.12)

В диференціальному рівнянні (6.11) розділимо змінні w та t.

(6.13)

Інтегруємо диференціальне рівняння (6.13) при початкових умовах (6.12).

Або

Виконуємо подальші перетворення:

(6.14)

Кутова швидкість водила I при t₁=2c

де , - радіус зубчастого колеса 3.