Визначення кутової швидкості

Оскільки то вираз (3.7.) запишеться

= (3.8)

При t=0; =0

При t=t ; =

Інтегруємо рівняння (3.8)

 

 

 

Визначення реакцій опори

 

Знайдемо координати центра мас системи тіл (рис.3.7)

Проекції прискорення центра мас (при ) на натуральні та декартові осі координат.

Осі та : = ,

Осі х та у:

Визначаємо проекції реакції в’язей циліндричного шарніра 0 (рис.3.6) на осі х та у (3.3).

Х н,

Y Н.

Реакція в’язі R шарніра 0.

R= Н.

 

ДС. 4 Використання теорем про рух центра мас та кінетичного моменту для дослідження руху матеріальної системи

Матеріальна система (рис 4.1-4.5) приводиться до руху моментом М. Знайти прискорення тіла 3, натяг пасів, зусилля між тілами, реакції в’язей в момент часу t=t₁.

Масами пасів та їх ковзанням по шківах знехтувати.

Натяг у ведучій частині нескінченного паса (варіанти 2, 5, 6, 11, 14, 17, 23, 24, 28) вдвічі більший від натягу у веденій частині. Однорідний диск 1 та ступінчатий шків 2 обертаються навколо горизонтальних осей.

В точках контакту тіл ковзання відсутнє. Коефіцієнт тертя ковзання f.

Дані для розрахунків взяти з таблиці 4.1 де прийняті такі позначення: m₁, m₂, m₃ – маси тіл 2 та 3; і₂ – радіус інерції тіла 2 відносно горизонтальної осі, що проходить через центр мас тіла; R₁, R₂, r ₂ – розміри тіл 1 та 2; l – відстань між опорами тіла 3.

Таблиця 4.1

Варіант	R1, м	R2, м	r2, м	і2, м	l, м	m1, кг	m2, кг	m3, кг	M,	t1, c	f
	0,2   0,3   0,4   0,5   0,6   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45	0,3   0,4   0,5   0,6   0,55   0,15   0,2   0,3   0,4   0,5	0,1   0,2   0,3   0,4   0,25   0,1   0,15   0,2   0,2   0,4	0,2   0,3   0,4   0,5   0,4   0,1   0,2   0,25   0,3   0,45	0,4   0,5   0,6   0,7   0,8   0,9   0,85   0,75   0,65   0,5	0,2   0,3   0,4   0,5   0,6   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45	1,5   2,5   3,5   4,5		1+3t   2+t^2   3+2t^2   4+t^2 6+5t   2+3t^2 4+5t   5+3t^2 7+2t   9+t^2		0,2   0,3   0,4   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45   0,4   0,15

 

3	4
5	6

 

Рисунок 4.1

 

 

Рисунок 4.2

 

Рисунок 4.3

 

 

Рисунок 4.4

 

 

Рисунок 4.5

 

Приклад виконання завдання

Матеріальна система (рис. 4.6) починає рухатись із стану спокою під дією моменту М, що прикладається до тіла 1. Осі тіл 1 та 2 горизонтальні. Коефіцієнт тертя ковзання f. В точках контакту тіл ковзання відсутнє. Масою паса знехтувати. Тіло 1 – однорідний циліндр.

Визначити прискорення тіла 3, натяг S₅ у веденій 5 та ведучій 4 (S₄) частині паса (прийняти S₄=2S₅), зусилля в точці контакту тіл 1 та 2, реакції в’язей циліндричних (нерухомих) шарнірів тіл 1, 2 та 3.

 

Прийняти: R₁=0,25м; R₂=0,45м; r₂=0,15м; i₂=0,4м; L=0,7м; m₁=0,5кг; m₂=5кг; m₃=4кг; M=3t³ H M; t₁=2c; f=0,4.

Розв’язання. Розглянемо окремо рух кожного тіла матеріальної системи (рис. 4.6).

 

Рисунок 4.6

 

Визначення прискорення тіла 3

 

Однорідне тіло 1 обертається навколо горизонтальної осі під дією моменту М (рис. 4.7) і до нього прикладені зовнішні сили: сила тяжіння P₁=m₁g; реакції циліндричного шарніра Х₁ та Y₁, зусилля у ланках паса S₅ та S₄.

 

Рисунок 4.7

 

Запишемо диференціальне рівняння обертання тіла 1 навколо нерухомої осі Z.

. (4.1)

Необхідно врахувати, що момент сили або пари сил буде додатним, якщо він діє у напрямку руху тіла. Так, у рівнянні (4.1) момент сили S₅ та пари сил з моментом М беремо із додатним знаком, а момент сили S₄ – з від’ємним.

Момент інерції тіла 1 відносно осі Z

(4.2)

На тіло 2 (рис 4.8) під час руху діють зовнішні сили: сила тяжіння P₂=m₂g, реакції нерухомого шарніра Х₂ та Y₂, зусилля у ланках паса та S₄`, реакції тіла 1 – S₂ та N₂.

У диференціальному рівнянні руху тіла 2 (рис. 4.8) навколо горизонтальної осі Z

(4.3)

сили = та , а момент інерції тіла 2 відносно осі Z знайдемо через радіус інерції і₂

(4.4)

 

Рисунок 4.8

 

Для тіла 3 (рис. 4.9), що переміщується під дією сили тяжіння Р₃=m₃g, реакції нерухомих шарнірів N_A та N_B, реакції та тіла 2, запишемо теорему про рух центра мас в проекціях на вісь Y (вісь Y направляється в сторону руху тіла 3)

(4.5)

Звичайно

Якщо диференціальні рівняння (4.1), (4.3) і (4.5) розглянути з кінематичними співвідношеннями

, . (4.6)

Тоді отримаємо п’ять рівнянь з невідомими

 

 

 

 

Рисунок 4.9

 

Розв’язуючи систему рівнянь (4.1), (4.3), (4,5), (4,6), і, враховуючи (4.2) та (4.4), маємо

Або, підставляючи дані умови задачі, отримаємо

При t₁=2c,

 

Визначення реакцій в’язей циліндричних шарнірів та зусиль між тілами

 

Для тіл 1 та 2 запишемо теорему про рух центра мас в проекціях на осі х та у.

Тіло 1 (рис. 4.7)

(4.7)

Тіло 2 (рис 4.8)

(4.8)

Для тіла 3 (рис. 4.9) в проекціях на вісь Х:

(4.9)

В рівняннях (4.7) – (4.9) оскільки центри мас тіл 1, 2 знаходяться на нерухомих осях обертання тіл, а координати X_C3 тіла 3 є сталою величиною.

Отримали систему п’яти рівнянь

(4.8)

в якій сім невідомих величин: x₁, y₁, x₂, y₂, N₂, N_B, N_A.

Додаткові два рівняння отримаємо, використовуючи закон Амонтока-Кулона

(4.9)

та диференціальне рівняння обертального руху тіла 3 навколо осі Z що проходить через центр мас С (рис. 4.9) тіла 3

(4.10)

Тіло 3 рухається поступально і тому Таким чином, із (4.10) маємо

(4.11)

Розв’язуючи систему рівнянь (4.6), (4.9) і (4.11), отримаємо