ДC.7 Використання теореми про зміну кінетичної енергії для вивчення руху матеріальної системи

Матеріальна система(рис.7.1-7.5) рухається із стану спокою під дією сили тяжіння. Знайти прискорення та швидкість тіла 1 у момент часу, коли воно пройде шлях S. Масами шнурів, силами опору в шарнірах знехтувати. Тіла котяться по поверхнях без ковзання.

Величини для розрахунків наведені в табл. 7.1 де прийнято такі позначення: m₁,m₂,m₃ – маси тіл 1, 2, 3; R₂, r₂, R₃, r₃ — найбільші та найменші розміри ступінчастих шківів тіл 2 та 3; ρ_2x, ρ_3x — радіуси інерції ступінчастих шківів 2 та 3 відносно осі обертання; α,β кути нахилу площин до горизонту. Якщо тіла (шківи) 2 або 3 однорідні, тоді при розрахунках брати R₂, R₃. Шнури над похилими площинами паралельні цим площинам.

 

Таблиця 7.1

Варіант	m1, кг	m2, кг	m3, кг	R2, M	r2, M	R3, M	r3,M	ρ2x, M	ρ3x, M	α
				0.6	0.5	0.5	0.3	0.6	0.4
				0.8	0.6	0.7	0.4	0.7	0.6
				0.65	0.5	0.6	0.4	0.5	0.5
		0.5	1.5	0.5	0.4	0.45	0.2	0.45	0.3
		0.75	1.25	0.4	0.3	0.3	0.15	0.35	0.2
				0.4	0.35	0.35	0.25	0.3	0.3
		0.3		0.3	0.2	0.25	0.15	0.2	0.2
		0.2	0.3	0.2	0.15	0.25	0.2	0.2	0.25
				0.7	0.6	0.6	0.3	0.65	0.5
				0.75	0.65	0.65	0.45	0.7	0.5
3	4
5	6

Рисунок 7.1

 

 

Рисунок 7.2

 

 

Рисунок 7.3

 

 

Рисунок 7.4

 

 

Рисунок 7.5

 

Приклад виконання завдання

 

Визначити прискорення та швидкість центра мас тіла 1 у момент часу, коли він пройде шлях S1, якщо матеріальна система (рис.7.6) починає рухатися із стану спокою. Масами шнурів знехтувати. Тіла 1 та 3 рухаються без ковзання. Дано: m1=10кг; m2=2кг; m3=1кг; R2=0.4M; r2=0.3M; R3=0.3M; r3=0.2M; ρ2=0.35M; ρ3=0.25M; α=30˚; β=45˚; S1=0.4M

 

Рисунок 7.6

 

 

Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної систем (рис.7.6) застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі.

 

=∑N^е+∑N^і (7.1)

де Т — кінетична енергія системи при 0<х≤S1; ∑N^і та ∑N^е− сума потужностей внутрішніх та зовнішніх сил системи. Матеріальна система (рис.7.6) складається із твердих тіл та нерозтяжних шнурів, тоді

∑ N^і=0. (7.2)

 

І диференціальне рівняння (6.1) набуває вигляду

 

=∑ N^е. (7.3)

 

Знайдемо кінематичні співвідношення між швидкостями точок, кутовими швидкостями тіл записавши їх через швидкість V₁ центра мас тіла1.

Кутова швидкість тіла 1, враховуючи, що миттєвий центр швидкості тіла 1 знаходиться в точці О₁ (рис.7.6)

w ₁ = (7.4)

де R₁ – радіус однорідного суцільного диска (тіла) 1.

Кутова швидкість тіла 2

(7.5)

 

Швидкість точки А, враховуючи, що тіла 2 та 3 з’єднані нерозтяжним шнуром.

. (7.6)

 

Оскільки точка О₃ – миттєвий центр швидкості тіла 3, тоді

(7.7)

 

Із (7.6) та (7.7) визначаємо кутову швидкість тіла 3

. (7.8)

 

Швидкість V₃ центра мас тіла 3

. (7.9)

Знайдемо переміщення центра мас тіла 3.

Оскільки (7.10)

 

i, враховуючи (7.9), отримаємо

 

 

або

. (7.11)

При t = 0, S₁ = 0, та S₃ = 0 і після інтегрування (7.11) маємо

. (7.12)

 

Знайдемо кінетичну енергію матеріальної системи як суму кінетичних енергій тіл 1,2 та 3.

Т=Т₁+Т₂+Т₃ (7.13)

Кінетична енергія тіла 1, що рухається плоскопаралельно,

де − момент інерції тіла 1 відносно центральної осі. Тоді, враховуючи (7.4),

. (7.14)

 

Тіло 2 обертається навколо горизонтальної осі і кінетична енергія знаходиться за формулою

де І₂ = − момент інерції тіла 3 відносно головної центральної осі, w ₂ − кутова швидкість тіла 2 (7.5). Тоді

. (7.15)

 

Кінетична енергія тіла 3

де І₃ = − момент інерції тіла 3 відносно головної центральної осі, - (7.8), − швидкість центра мас тіла 3.

. (7.16)

Тепер кінетичну енергію (7.13) системи, враховуючи (7.14) – (7.16), визначимо за формулою

. (7.17)

Потужність зовнішніх сил під дією яких рухається матеріальна система (рис. 7.6)

,

де

Тоді, враховуючи що (7.9)

отримаємо

(7.18)

Підставляючи (7.17) і (7.18) в (7.3), маємо

(7.19)

Оскільки (а₁ – прискорення центра мас тіла 1), тоді

Або, підставляючи дані умови задачі,

Знайдемо швидкість центра мас тіла 1.

Рівняння (7.19) запишемо у вигляді:

(7.20)

При t=0, V₁₀=0, S₁₀=0.

При t=t, V_1t=V₁, S_1t=S₁ (7.21)

де t - час, за який центр мас тіла 1 пройде шлях S₁.

Інтегруючи рівняння (7.20) за умовами (7.21), визначаємо швидкість центра мас тіла 1 за час t.

або підставляючи числові дані, отримаємо:

 

 

ДС.8 Додаткові динамічні реакції в'язей твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі

 

Однорідні тіла 1 та 2 (рис. 8.1 - 8.10) обертаються навколо нерухомої осі z під дією моменту М. Центри мас тіл зміщені від осі обертання (статична неврівноваженість тіл) на величини е₁ та е₂, відповідно. Знайти додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В при t = t₁, і порівняти їх зі статичними, якщо при t = 0 кутова швидкість тіл .

Дані для розрахунку приведені в табл. 8.1. Якщо (табл. 8.1) має від'ємний знак, то початкова кутова швидкість направлена в протилежну сторону моменту М.

Таблиця 8.1

Ва-рі-ант	m1, кг	m,2, кг	e1, мм	e2, мм	, град	l 1, м	l 2, м	a, м	b, м	М, Н·м	, c^-1	R1, м	R2, м	t 1, c
			0,1	0,2		0,2	0,3	0,1	0,15	6+4t^2		0,2	0,35
			0,15	0,19		0,3	0,4	0,15	0,14	4+3t	-5	0,22	0,33
			0,18	0,1		0,4	0,5	0,13	0,13	8+3t^2		0,24	0,31
			0,19	0,11		0,1	0,2	0,12	0,12	8t		0,26	0,29
			0,2	0,12		0,2	0,3	0,11	0,11	7+3t^3	-10	0,28	0,26
			0,1	0,13		0,3	0,4	0,1	0,1	3+t^2		0,3	0,25
			0,11	0,18		0,4	0,35	0,2	0,2	2+3t^2		0,32	0,23
			0,12	0,17		0,5	0,2	0,19	0,19	1+6t^3	-15	0,34	0,21
			0,13	0,16		0,1	0,3	0,18	0,18	5+3t^2		0,36	0,19
			0,14	0,15		0,2	0,4	0,17	0,17	3+5t	-5	0,4	0,15

 

Приклад виконання завдання

До системи однорідних тіл 1 та 2 (рис. 8.11), що обертаються з кутовою швидкістю = 6с^-1, прикладається обертальний момент М = (3 + 7t) Н • м. Знайти статичні та додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В при t₁ = 2с, якщо:

 

m₁=3 кг; m₂=5 кг; е₁=0,1 мм;е₂= 0,3 мм; l₁= 0,25 м; l₂ = 0,25 м; а = 0,05 м; b = 0,15 м; R₁=0,1 м; R₂=0,2 м.

 

Розв'язання. Переміщенню тіл 1 та 2 (рис 8.11) перешкоджають в'язі: нерухомі (циліндричні) шарніри А і В. На підставі аксіоми звільнення від

 

 

Рисунок 8.1

 

 

Рисунок 8.2

 

Рисунок 8.3

 

 

Рисунок 8.4

 

 

 

Рисунок 8.5

 

Рисунок 8.6

 

 

 

Рисунок 8.7

 

 

Рисунок 8.8

 

 

Рисунок 8.9

 

 

Рисунок 8.10

в'язей, дію шарнірів А і В та тіла замінюємо реакціями в'язей – Y_A, X_A, Y_B, X_B (рис. 8.12).

Рисунок 8.11

Реакції Y_A, X_A, Y_B, X_B запишемо як суму статичних Y_A^C, X_A^C, Y_B^C, X_B^C та додаткових динамічних реакцій Y_A^Д, X_A^Д, Y_B^Д, X_B^Д.

Y_A = Y_A^C + Y_A^Д, X_A = X_A^C + X_A^Д, (8.1)

Y_B = Y_B^C + Y_B^Д, X_B = X_B^C + X_B^Д.

Рисунок 8.12

Статичні реакції в'язей визначаються при = 0, = 0 з рівнянь (рис.8.12):

 

Розв'язуючи систему рівнянь, маємо:

 

 

 

таким чином маємо: R_A^C = 54,85 Н, R_B^C = 23,63 Н.

Запишемо рівняння для визначення додаткових динамічних реакцій в'язей:

 

де - кутове прискорення і - кутова швидкість тіл при t₁ = 2 с,

I_xzi і I_уzi - доцентрові моменти інерції тіл (i = 1,2).

Кутову швидкість та кутове прискорення тіл знайдемо із диференціального рівняння руху тіл навколо осі z

(8.3)

 

де I_Z - момент інерції тіл відносно осі z.

Оскільки , тоді

 

(8.4)

Інтегруємо диференціальне рівняння (8.4) при початкових умовах: при

t₁= 0,

(8.5)

Звідки:

Визначимо кутове прискорення (8.3) та кутову швидкість (8.5) при

t₁ = 2 c.

 

 

де

 

 

Оскільки значення і , від'ємні, то кутове прискорення та кутова швидкість тіл при t₁ =2с направлені в протилежну сторону ю0(у напрямку крутного моменту М).

Координати центра мас та доцентрові моменти I_xzi і I_уzi тіл 1 і 2 (рис. 8.11):

 

 

Або, підставляючи числові дані, отримаємо:

 

 

 

Тепер із рівнянь (8.2) знаходимо додаткові динамічні реакції шарнірів А і В через їх проекції на осі X та У.

 

 

Додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В

 

 

При t₁= 2 с додаткові динамічні реакції шарнірів складають 62,2% для шарніра А та 29,2% для шарніра В від статичних реакцій в'язей.

 

Література

1. Айзенберг Т.Б., Воронов Н.М., Осецкий В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике.-М.:Высш.шк., 1968. – 436 с.

2. Бать М.Н., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: В 3 т.-Т.2.: Наука, 1985. – 560 с.

3. Березова О.В., Друшляк Г.Е., Солодовников Р.В. Теоретическая механика: Сб. задач. – К.: Висш. шк. Головное изд-во, 1980. –324 с.

4. Бражниченко Н.А. и др. Сборник задач по теоретической механике / Н.А. Бражниченко, Н.Л. Кац, Б.Л. Минцберг, В.Н. Морозов. –М.: Судпромгиз, 1963. – 562 с.

5. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: В 2 т. – Т.2. – М.: Наука, 1979. –461 с.

6. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики: В 2 ч. – М.: Наука, 1967. – ч.1. – 468 с.; ч.2. – 332 с.

7. Гернет М.М. Курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1981. – 303 с.

8. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1974. – 528 с.

9. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики: В 2т. –М.: Наука, 1972 – 1977. – Т.1. – 456 с.; Т.2. – 462 с.

10. Лойценский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: В 2 т. –М.: Наука, 1984. – Т.1. – 352 с.; Т.2. – 640 с.

11. Павловский М.А. Теоретична механіка: Підручник. – К.: Техніка, 2002. –512 с.

12. Савин Г.Н., Путята Т.В., Фрадлин Б.Н. Курс теоретической механики. –К.: Высш. шк., 1973. – 359 с.

13. Сборник заданий для курсових работ по теоретической механике: Учеб. пособ. для техн. вузов/ Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др.; Под ред. А.А. Яблонского. – 4-е изд., пере раб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 367 с.

14. Тарг С.М. Кратний курс теоретической механіки. – М.: Наука, 1974. – 400 с.

15. Технічна механіка. Кн..1. Теоретична механіка: Підручник/

Д.В. Чернілевський, Я.Т. Кіницький, В.М. Колосов та ін. За ред.

Д.В. Чернілевського. –К.: НМК ВО, 1992. – 384 с.

16. Яблонський А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: В 2т. – М.: Высш. шк., 1977. – Т.1. – 431 с.; Т.2. – 532 с.

17. Яскілка М.Б. Збірник завдань для розрахунково-графічних робіт з теоретичної механіки: Посібник. – К.: Вища. шк.: Веселка, 1999. – 351с.

 

 

Навчальне видання

 

Володимир Олексійович Приятельчук

Володимир Іванович Риндюк

Валерій Олександрович Федотов