Показатели надежности восстанавливаемых систем

Показатели безотказности. Для восстанавливаемых систем можно применять различные показатели надежности и безотказности.

При задании потока отказов как дискретного случайного процесса

η (t) – числа отказов на интервале (0,t) показателем безотказности является параметр потока отказов ώ (t), определяемый отношением числа отказов системы на некотором малом отрезке времени к значению этого отрезка:

(4.1)

Средняя наработка на отказ – θ, в предположении, что наработка имеет одинаковое распределение с плотностью f(t) имеет следующее математическое выражение вероятностного показателя:

(4.2)

В простейшем потоке параметр потока отказов ώ и средняя наработка на отказ связаны соотношением θ=1/ώ.

Для статистического определения средней наработки на отказ θ будем, испытывать N одинаковых восстанавливаемых систем. Предположим, что каждая из них проработала в течение времени t. Тогда

 

(4.3)

 

Показатели ремонтопригодности. На практике продолжительность восстановления почти всегда существенно меньше времени между отказами, однако нельзя не учитывать продолжительность восстановления для решения многих задач надежности (например, расчета потерь из-за отказов, количества необходимого ремонтного персонала и др.).

Обозначим Т_в случайную величину – продолжительность восстановления работоспособного состояния системы после отказа (время восстановления).

Распределение величины Т_в не зависит ни от времени, ни от порядкового номера восстановления, ни от длительности предыдущего восстановления, ни от предшествующей наработки между отказами.

Функцию распределения величины Т_в обозначим G(t), плотность распределения g(t). Если наработки между отказами одинаково распределены и не зависят друг от друга и от величины Т_в, то такой поток отказов с учетом времени восстановления носит название альтернирующего процесса восстановления. В этом процессе, как и в процессе восстановления, средняя наработка на отказ θ равна средней наработке до отказа t.

График функционирования системы с учетом времени восстановления представлен на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 - График функционирования системы с учетом времени восстановления

 

Показателями ремонтопригодности также являются вероятность восстановления работоспособного состояния за заданное время t₁ и среднее время восстановления соответственно

 

G(t) = P{T_в< t₁}; τ_в=М[T_в] (4.4)

 

Статистические определения этих показателей:

(t₁) = l(t₁) / m; (4.5)

 

Где l(t₁) – число восстановлений, длительность которых меньше t₁; m – общее число восстановлений; t_вi – время восстановления после i -го отказа.

Показатели долговечности. Календарную продолжительность от начала эксплуатации до перехода в предельное состояние (дальнейшее восстановление системы невозможно или нецелесообразно) называют сроком службы системы.

Срок службы системы может быть случайной величиной, которую обозначим Т_с . Тогда в качестве показателя долговечности можно принять средний срок службы

 

t_c= M[T_c] (4.6)

 

или гамма - процентный срок службы t_γ, который определяется соотношением

 

Р{T_c > t_γ,} = γ/100. (4.7)

 

Таким образом, t_γ, - календарная продолжительность от начала эксплуатации объекта, в течение которой он не достигает предельного состояния с заданной вероятностью γ (выраженной в процентах).

Для некоторых технических систем показателем долговечности является установленный срок службы, который должна достигнуть каждая система. Этот показатель можно интерпретировать как t_γ, при γ = 100%.

В качестве случайной величины при рассмотрении долговечности может быть принят не только календарный срок службы, но и ее ресурс – наработка от начала эксплуатации до перехода в предельное состояние.

Комплексные показатели надежности. Кроме приведенных выше показателей надежности восстанавливаемых систем, каждый из которых характеризует одну из составляющих надежности, используются также комплексные показатели, отражающие совместно безотказность и ремонтопригодность. К ним относятся: коэффициент готовности k_г, коэффициент оперативной готовности k_о.г(t) и коэффициент технического использования k_т.и..

Коэффициент готовности k_г – вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольно выбранный момент времени в установившемся процессе эксплуатации.

В альтернирующем процессе восстановления коэффициент готовности

 

k_г = θ/(θ+ τ_в), (4.8)

 

Коэффициент готовности численно равен средней доле времени, в течение которого система пребывает в работоспособном состоянии. Поставлено на испытание N одинаковых восстанавливаемых систем, в произвольно выбранный, достаточно удаленный от начала момент времени оказалось работоспособных систем. Статистическое определение коэффициента готовности:

(4.9)

Коэффициент оперативной готовности k_о.г (t) – вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольно выбранный момент t времени в установившемся режиме эксплуатации и что, начиная с этого момента, система будет работать безотказно в течение заданного интервала времени t. В альтернирующем процессе восстановления

 

k_о.г (t)= Р (t_х, t), (4.10)

 

где Р (t_х, t) – условная вероятность безотказной работы системы на интервале (t_х,t_х+t) при условии, что в момент времени t_х система была работоспособной.

Если распределение времени безотказной работы системы является экспоненциальным, то (4.10) можно упростить, учитывая свойство экспоненциального распределения: независимость вероятности безотказной работы на интервале (t, t+ t) от момента t. Тогда

 

k_о.г (t)= (4.11)

 

При определении коэффициента готовности и коэффициента оперативной готовности исключены планируемые периоды времени, в течение которых применение систем по назначению не предусматривается (например, интервалы планового технического обслуживания).

Эти периоды учитываются коэффициентом технического использования - k_{t. ч}, где учитывается математическое ожидание суммарных времен пребывания системы в работоспособном состоянии, технического обслуживания и восстановления за некоторый период времени:

k_т.и.= t_рS /(t_рS +t_т.о.S +t_вS), (4.12)

 

где t_рS,t_т.о.S, t_вS – соответственно математические ожидания суммарных времен пребывания системы в работоспособном состоянии, технического обслуживания, восстановления за некоторый период эксплуатации S.

 

Лекция 5

 

Цель лекции: Изучение методов расчета надежности невосстанавливаемых систем при различных сложностях структурной схемы расчета надежности.

 

5.1 Методы расчета надежности невосстанавливаемых систем

 

При расчете вероятности безотказной работы, средней наработки до первого отказа элементы системы рассматриваются как невосстанавливаемые. В этом случае при основном (последовательном) соединении элементов (рисунок 5.1) вероятность безотказной работы вычисляется как произведение вероятностей всех элементов:

P _с(t) = Р ₁(t) Р ₂(t) ....Р _n-1(t) Р _n(t)= (5.1)

 

 

Рисунок 5.1 – Структурная схема расчета надежности, последовательное соединение элементов

 

При резервном (параллельном) соединении элементов (рисунок 5.2) и при условии, что для работы системы достаточно работы одного из включенных параллельно элементов, отказ системы является совместным событием, имеющим место при отказе всех параллельно включенных элементов. Если параллельно включено элементов и вероятность отказа каждого, то вероятность отказа этой системы:

Q _c(t) = Q ₁(t) Q ₂(t) ....Q _m-1(t) Q _m(t)= (5.2)

Рисунок 5.2 – Структурная схема расчета надежности, параллельное соединение элементов

Если структурная схема надежности состоит из последовательно-параллельного соединения, то расчет надежности использует формулы (5.1) и (5.2). Например, на рисунке 5.3 представлена схема, а уравнение 5.3 демонстрирует расчет функции надежности для этой схемы.

 

Рисунок 5.3 – Структурная схема расчета надежности, смешанное

соединение элементов

 

Pc(t)= P1(t)*P2(t)*P3456(t) = P1(t)*P2(t)*{1-[1-P3(t)*P4(t)][1-P5(t)*P6(t)]} (5.3)

Однако, не все структурные схемы расчета надежности могут быть сведены к последовательно-параллельному соединению. На рисунке 5.4 представлена одинарная мостиковая схема расчета надежности.

 

Рисунок 5.4 – Мостиковая схема соединения элементов

Для всех элементов схемы известны вероятности безотказной работы Р1,Р2,Р3,Р4,Р5 и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» q1,q2,q3,q4,q5. Необходимо определить вероятность наличия цепи между точками a и b схемы 5.4.

Метод перебора состояний

Расчету надежности любой системы независимо от используемого метода предшествует определение двух непересекающихся множеств состояний элементов, соответствующих работоспособному и неработоспособному состояниям системы. Каждое из этих состояний характеризуется набором элементов, находящихся в работоспособном и неработоспособном состояниях.

Поскольку при независимых отказах вероятность каждого из состояний определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответствующих состояниях, то при числе состояний, равном m, вероятность работоспособного состояния системы определяется выражением:

 

P = ; (5.1)

 

Вероятность отказа: Q = 1- (5.2)

 

 

где m – общее число работоспособных состояний, в каждом j-м из которых число исправных элементов равно вышедших из строя - kj.

При сравнительно простой структуре системы применение метода перебора состояний сопряжено с громоздкими выкладками. Например, для схемы на рисунке 5.4 составим таблицу состояний, переводя сначала по одному, затем по два, по три элемента в неработоспособное состояние, сохраняя работоспособное состояние системы.

Т а б л и ц а 5.1

№ состояния	Состояние элементов	Вероятность состояний
	+	+	+	+	+	Р1,Р2,Р3,Р4,Р5
	-	+	+	+	+	q1,Р2,Р3,Р4, Р5 q1,q2,q3,q4,q5
	+	-	+	+	+	Р1, q2,Р3,Р4,Р5
	+	+	-	+	+	Р1,Р2, q3,Р4,Р5
	+	+	+	-	+	Р1,Р2,Р3, q4,Р5
	+	+	+	+	-	Р1,Р2,Р3,Р4, q5
	-	+	-	+	+	q1,Р2, q3,Р4,Р5
	-	+	+	-	+	q1,Р2,Р3, q4,Р5
	-	+	+	+	-	q1,Р2,Р3,Р4, q5
	+	-	-	+	+	Р1, q2, q3,Р4,Р5
	+	-	+	-	+	Р1, q2,Р3, q4,Р5
	+	-	+	+	-	Р1, q2,Р3,Р4, q5
	+	+	-	+	-	Р1,Р2, q3,Р4, q5
	+	+	+	-	-	Р1,Р2,Р3,Р4,Р5
	-	+	-	+	-	q1,Р2, q3,Р4, q5
	+	-	+	-	-	Р1, q2,Р3, q4, q5

 

Если все элементы системы равнонадежны, то вероятность безотказной работы системы при p_i=0,9:

Р_с= = р⁵+5р⁴q+8p³q²+2p²q³= 0,978