Закон збереження механічної енергії

 

312. Як змінюється повна механічнаенергія (ПМЕ) тіл при їхньому русі у замкнутій консервативній системі?

 

А) ПМЕ тіл зменшується. Б) ПМЕ тіл збільшується. В) ПМЕ тіл залишається незмінною.

Г) ПМЕ тіл частково перетворюється в тепло. Д) ПМЕ залежить від типу силового поля.

 

313. У замкнутій системі внутрішні сили можуть бути неконсервативними. Який із приведених законів збереження (ЗЗ) для цієї системи не виконується?

 

А) ЗЗ імпульсу. Б) ЗЗ механічної енергії. В) ЗЗ моменту імпульсу.

Г) Загальний ЗЗ енергії. Д) ЗЗ кінетичної енергії..

 

314. Тіло масою m =300 г вільно падає з висоти h =50 м. Знайти кінетичну енергію тіла E_k в момент його дотику із землею.

 

А) 50 Дж. Б) 250 Дж. В) 100 Дж. Г) 150 Дж. Д) 200 Дж.

 

315. Тіло, що знаходиться на висоті Н =80 м над Землею, кинули у горизонтальному напрямку із початковою швидкістю V₀ =15 м/с. Якою буде швидкість тіла V у той момент, коли воно опиниться на висоті h =60 м над Землею?

 

А) 35 м/с. Б) 20 м/с. В) 15 м/с. Г) 30 м/с. Д) 25 м/с.

 

316. Тіло кинуте зі швидкістю V₀ =10 м/с під кутом a =45⁰ до горизонту. Визначити його швидкість на висоті h =1,8 м над землею. (Вважати g =10 м/с²).

 

А) 6 м/с. Б) 9 м/с В) 8 м/с. Г) 5 м/с. Д) 7 м/с.

 

317. На скільки Dx стиснеться пружина, яка стоїть вертикально, якщо на неї з висоти h =10 м впаде тіло масою m =1 кг? Коефіцієнт жорсткості пружини k =20 кН/м. (Вважати g =10 м/с²).

 

А) 10 см. Б) 6 см. В) 12 см. Г) 8 см. Д) 4 см.

 

318. Тіло масою m =1 кг рухається зi швидкістю V =100 м/с, налітає на пружину і стискає її на Dx =5 см. Розрахувати жорсткість цієї пружини k, якщо втрата енергії відсутня.

 

А) 5×10⁵ Н/м. Б) 6×10⁶ Н/м. В) 3×10⁵ Н/м. Г) 7×10⁴ Н/м. Д) 2×10⁶ Н/м.

 

319. Тіло кинуто вертикально вгору із початковою швидкістю V₀ =50 м/с. На якій висоті h його кінетична енергія E_k буде дорівнювати потенціальній E_п?

 

А) 72 м. Б) 81 м. В) 56 м. Г) 98 м. Д) 64 м.

 

320. Камінець масою m =0,02 кг кинули з висоти h =30 м горизонтально із початковою швидкістю V₀ =10 м/с Чому дорівнює енергія камінця в момент його приземлення? (Вважати g =10 м/с²).

 

А) 21 Дж. Б) 4 Дж. В) 14 Дж. Г) 7 Дж. Д) 28 Дж.

 

321. Тіло масою m =1 кг кинуто горизонтально зi швидкістю V₀ =10 м/с. Визначити його кінетичну енергію E_k через t =2 c після початку польоту? (Вважати g =10 м/с²).

 

А) 250 Дж. Б) 400 Дж. В) 450 Дж. Г) 300 Дж. Д) 350 Дж.

 

322. Тіло, що знаходиться на висоті H =90 м над землею, кинули у горизонтальному напрямку iз початковою швидкістю V₀ =20 м/с. Визначте, якою буде швидкість цього тіла V на висоті h =60 м над землею?

 

А) 36 м/с. Б) 24 м/с. В) 32 м/с. Г) 28 м/с. Д) 40 м/с.

 

323. Стовп заввишки h =2 м впав на землю. Розрахувати лінійну швидкість V верхньої точки стовпа в момент його падіння. Товщиною стовпа знехтувати. (g =10 м/с²).

 

А) 4,5 м/с. Б) 6,3 м/с. В) 9,4 м/с. Г) 7,8 м/с. Д) 3,2 м/с.

 

324. Тіло кинуте з вежі висотою h =10 м під кутом a =30⁰ до горизонту із початковою швидкістю V₀ =15 м/с. Визначте швидкість тіла V в момент падіння його на землю.

 

А) 24 м/с. Б) 15 м/с. В) 27 м/с. Г) 21 м/с. Д) 18 м/с.

 

325. Ланцюжок завдовжки l лежить на гладкому столі. Після легкого поштовху він почав без тертя зісковзувати зі столу. Якою буде швидкість V ланцюжка в той момент часу, коли він весь зісковзне зі столу?

 

А) . Б) . В) . Г) . Д)

 

326. Однорідний канат довжиною l =2 м починає сповзати без тертя з ідеально гладкої поверхні столу. Визначити швидкість канату V в момент його відриву від поверхні.

 

А) 4,4 м/с. Б) 1,1 м/с. В) 3,3 м/с. Г) 2,2 м/с. Д) 5,5 м/с.

 

327. М'яч кинули вертикально вниз. Після удару об землю він підскочив на Dh =1,8 м вище того рівня, із якого був кинутий. Із якою швидкістю V₀ його кинули? Втрати енергії при ударі об землю не враховувати.(Вважати g =10 м/с²).

 

А) 10 м/с. Б) 8 м/с. В) 6 м/с. Г) 7 м/с. Д) 9 м/с.

 

328. Камінь масою m =0,5 кг, прив'язаний до мотузки довжиною l =50 см, обертається у вертикальній площині. Натяг мотузки у нижній точці кола F_н =44,1 Н. На яку висоту h_max підніметься камінь, якщо мотузка обірветься в той момент, коли його швидкість буде спрямована вертикально вгору?

 

А) 1,5 м. Б) 3,0 м. В) 3,5 м. Г) 2,0 м. Д) 2,5 м.

 

329. Велосипедист повинен проїхати по треку у формі "мертвої петлі" радіусом R =8 м. З якої висоти H він мусить почати розгін, щоб не упасти у верхній точці траєкторії?

 

А) 14 м. Б) 20 м. В) 16 м. Г) 12 м. Д) 18 м.

 

330. На нитці довжиною l =1 м підвішене тіло масою m =3 кг. На яку висоту h потрібно відвести тіло від положення рівноваги, щоб при його проходженні через це положення, нитка зазнавала натягу F_н =50 Н?

 

А) 0,25 м. Б) 0,40 м. В) 0,35 м. Г) 0,45 м. Д) 0,30 м.

 

331. Люстра масою m =10 кг висить на підвісі довжиною l =5 м, міцність якого дорівнює подвійній силі тяжіння люстри. На яку максимальну висоту h_max можна відхилити люстру від положення рівноваги, щоб підвіс не обірвався при її гойданні?

 

А) 1,5 м. Б) 2,0 м. В) 3,5 м. Г) 3,0 м. Д) 2,5 м.

 

332. Кулька масою m =50 г підвішена на нерозтяжній нитці. Вивівши її із положення рівноваги так, що натягнута нитка склала кут a =90⁰ із вертикаллю, кульку відпустили. Визначте силу натягу нитки F_н в момент проходження нею положення рівноваги. (Вважати g =10 м/с²).

 

А) 1,5 Н. Б) 3,0 Н. В) 2,5 Н. Г) 2,0 Н. Д) 3,5 Н.

 

333. Маятник вагою Р =1 Н, підвішений на нитці довжиною l =1 м, здійснює коливання. При проходженні маятника через положення рівноваги, нитка зазнає натяг F_н =1,5 Н. Визначте максимальну висоту підйому вантажу маятника при його коливаннях h_max.

 

А) 20 см. Б) 35 см. В) 40 см. Г) 25 см. Д) 30 см.

 

334. Маленьку кульку пускають по похилій площині, що переходить у "мертву петлю", радіусом R =30 см. Початкове положення кульки на похилій площині - на висоті H = 2R. На якій висоті h кулька відірветься від поверхні "петлі"?

 

А) 60 см. Б) 45 см. В) 50 см. Г) 40 см. Д) 55 см.

 

335. Шайба сковзає без тертя зі сфери радіусом R =2 м. Визначите кут a між вертикаллю та радіус-вектором точки, у якій шайба відривається від її поверхні.

 

А) 48⁰. Б) 60⁰. В) 36⁰. Г) 42⁰. Д) 54⁰.

 

Закон збереження імпульсу

 

336. У якому випадку не виконується закон збереження імпульсу для системи тіл?

А) Якщо система тіл замкнута. Г) Якщо сума зовнішніх сил дорівнює нулю.

Б) Якщо внутрішні сили консервативні. Д) Якщо внутрішні сили неконсервативні.

В) Якщо сума зовнішніх сил

337. Який характер мусять мати внутрішні сили в замкнутій системі тіл для виконання в ній закону збереження імпульсу?

 

А) Сили опору і тертя. Б) Характер сил ролі не має. В) Сили пружності.

Г) Сили гравітаційні. Д) Сили електромагнітні.

 

338. Які закони збереження (ЗЗ) виконуються при абсолютно непружному ударі куль?

А) ЗЗ механічної енергії. Б) Загальний ЗЗ енергії. В) ЗЗ імпульсу.

Г) ЗЗ імпульсу і механічної енергії. Д) ЗЗ імпульсу і загальний ЗЗ енергії.

 

339. Які закони збереження (ЗЗ) виконуються при абсолютно пружному ударі куль?

А) ЗЗ механічної енергії. Б) Загальний ЗЗ енергії. В) ЗЗ імпульсу.

Г) ЗЗ імпульсу і механічної енергії. Д) ЗЗ імпульсу і загальний ЗЗ енергії.

 

340. Із рушниці масою M =5 кг вилітає куля масою m =15 г зі швидкістю V =300 м/с. Визначите швидкість U_в віддачі рушниці.

 

А) 0,9 м/с. Б) 0,6 м/с. В) 0,8 м/с. Г) 1,0 м/с. Д) 0,7 м/с.

 

341. Із нерухомим вагоном масою m =37 т стикається електровоз, який рухався по інерції зі швидкістю V₀ =0,6 м/с. Після зіткнення вони рухаються разом. Визначте масу електровоза М, якщо його швидкість V зменшилась до 0,5 м/с. Тертям об рейки і у осях коліс знехтувати.

 

А) 5,52×10⁵ кг. Б) 1,64×10⁶ кг. В) 3,76×10⁵ кг. Г) 2,48×10⁴ кг. Д) 1,85×10⁵ кг.

 

342. Візок масою M =200 кг разом iз людиною масою m =80 кг рухається зі швидкістю V₀ =2 м/с. Людина починає іти зі сталою швидкістю V по візку у напрямку руху. Нехтуючи тертям коліс візка об землю визначте, при якій швидкості людини відносно візка він зупиниться?

 

А) 4 м/с. Б) 7 м/с. В) 5 м/с. Г) 3 м/с. Д) 6 м/с.

 

343. Людина, яка стояла на нерухомому плоті, пішла зі швидкістю V₀ =5 м/с відносно плоту. Маса людини m =100 кг, маса плоту M =5000 кг. Із якою швидкістю V почав рухатись пліт по воді?

 

А) 0,2 м/с. Б) 0,4 м/с. В) 0,1 м/с. Г) 0,5 м/с. Д) 0,3 м/с.

 

344. Літак летить зі швидкістю V₀ =900 км/год. На його шляху опинився нерухомий птах, маса якого m =2 кг. Визначити силу F удару птаха об літак, якщо удар триває протягом Dt =0,001 с.

 

А) 5×10⁵ Н. Б) 4×10⁴ Н. В) 2×10⁶ Н. Г) 8×10⁴ Н. Д) 9×10⁵ Н.

 

345. Граната, що летіла зі швидкістю V₀ =15 м/с розірвалась на дві частини масами m₁ =0,6 кг та m₂ =1,4 кг. Швидкість більшого уламка V₂ =24 м/с має той самий напрямок, що і граната до розриву. Визначити швидкість V₁ меншого уламка.

 

А) 18 м/с. Б) 9 м/с. В) 12 м/с. Г) 6 м/с. Д) 15 м/с.

 

346. Снаряд летів зі швидкістю V₀ =150 м/с і розірвався на дві частини, масами m₁ =5 і m₂ =15 кг. Швидкість більшого уламка V₂ =120 м/с і має початковий напрямок руху. Знайти швидкість V₂ меншого уламка.

 

А) 270 м/с. Б) 150 м/с. В) 210 м/с. Г) 180 м/с. Д) 240 м/с.

 

347. Два тіла масами m₁ =2 кг та m₂ =4 кг рухались назустріч одне одному зі швидкостями V₁ =4 м/с і V₂ =2 м/с. Із якою швидкістю U₀ вони рухатимуться після абсолютно непружного зіткнення?

 

А) U₀ =1,4 м/с. Б) U₀ =2,6 м/с. В) U₀ =0 м/с. Г) U₀ =3,2 м/с. Д) U₀ =2,0 м/с.

 

348. Тіло масою m₁ =2 кг рухається зі швидкістю V₁ =5 м/с і наздоганяє інше тіло, масою m₂ =5 кг, що рухається у тому ж напрямку зі швидкістю V₂ =2 м/с. Після зіткнення вони стали рухатись разом. Із якою швидкістю U?

 

А) 3,94 м/с. Б) 2,86 м/с. В) 1,74 м/с. Г) 4,53 м/с. Д) 2,12 м/с.

 

349. Дві матеріальні точки однакових мас рухались у взаємно перпендикулярних напрямках із однаковими швидкостями, а після зіткнення стали рухатись разом. Який кут j складатиме швидкість їх загального руху U із напрямком початкової швидкості першого тіла?

 

А) 45⁰. Б) 90⁰. В) 30⁰. Г) 120⁰. Д) 60⁰.

 

350. Куля масою m₁, рухаючись із швидкістю V, налітає на іншу кулю, яка знаходилась у спокої. В результаті прямого абсолютно пружного удару, перша куля зупинилась, а друга почала рухатись зішвидкістю V. Визначте масу другої кулі m₂.

 

А) m₂=4m₁. Б) m₂=2m₁. В) m₂=m₁/2. Г) m₂=m₁. Д) m₂=m₁/4.

 

351. Людина стрибнула на візок, який рухався із початковою швидкістю V₀ =1,5 м/с. Якою стане швидкість його руху V, якщо маси людини m₁ =70 кг, а візка m₂ =30 кг?

 

А) 75 см/с. Б) 90 см/с. В) 45 см/с. Г) 60 см/с. Д) 105 см/с.

 

352. Два тіла масами m₁ =2 та m₂ =6 кг рухаються назустріч один одному із однаковими швидкостями V₁=V₂ =2 м/с. Із якою швидкістю U будуть рухатись ці тіла після їхнього непружного зіткнення?

 

А) 1,75 м/с. Б) 0,75 м/с. В) 1,5 м/с. Г) 1,25 м/с. Д) 1,0 м/с.

 

353. Дві матеріальні точки рухаються у взаємно перпендикулярних напрямках. Зіткнувшись, вони стали рухатись разом. Із якою швидкістю U вони продовжать рух, якщо їхні маси m₁ =1 кг, m₂ =1,5 кг, а імпульси до зіткнення мали значення p₁= 3 кг×м/с і p₂ =4 кг×м/с?

 

А) 2,5 м/с. Б) 1,0 м/с. В) 1,5 м/с. Г) 2,0 м/с. Д) 0,5 м/с.

 

354. Знаходячись у нерухомому човні, мисливець стріляє у птаха. Маса човна із людиною М =100 кг. Визначте початкову швидкість човна V₀, якщо постріл був зроблений під кутом a =60⁰ до горизонту? Маса дробу m =10 г, а його швидкість у момент вильоту із дула V =400 м/с.

 

А) 8 см/с. Б) 2 см/с. В) 16 см/с. Г) 4 см/с. Д) 12 см/с.

 

355. Спортсмен масою M =50 кг стрибнув зі швидкістю V₁ =10 м/с під кутом a =60⁰ до горизонту. У руках він тримав вантаж масою m =5 кг. У верхній точці траєкторії він кинув вантаж назад, надавши йому горизонтальну швидкість V₂ =2 м/с. Чому стала після цього дорівнювати горизонтальна складова U швидкості самого спортсмена?

 

А) 5,7 м/с. Б) 2,4 м/с. В) 8,1 м/с. Г) 3,2 м/с. Д) 6,4 м/с.

 

356. Ковзаняр масою M =80 кг, стоячи на льоду, кидає шайбу масою m =100 г під кутом a =60⁰ до горизонту. Визначити початкову швидкість ковзаняра V₀, якщо шайба кинута зі швидкістю V =4,8 м/с відносно льоду.

 

А) 0,1 см/с. Б) 0,8 см/с. В) 0,3 см/с. Г) 1,0 см/с. Д) 0,6 см/с.

 

357. Ковзаняр масою M =60 кг кидає у горизонтальному напрямку вантаж масою m =10 кг зі швидкістю V₀ =3 м/с. Визначте коефіцієнт тертя ковзанів об лід m, якщо після кидання ковзаняр відкотився на відстань S =0,5 м.

 

А) 0,075. Б) 0,05. В) 0,01. Г) 0,025. Д) 0,1.

 

358. Вантаж масою m =10 кг сковзає без тертя із похилої площини, висотою h =1,8 м і падає на платформу з піском, масою M =50 кг. Кут нахилу площини до горизонту a =45⁰. Із якою початковою швидкістю U почне рухатись ця платформа?

 

А) 45 см/с. Б) 75 см/с. В) 55 см/с. Г) 65 см/с. Д) 85 см/с.

 

359. Людина стоїть на ковзанах на льоду і кидає горизонтально камінь масою m =0,5 кг, який через t =2 с камінь падає на землю на відстані S =10 м від місця кидання. Із якою початковою швидкістю U₀ почне рухатись ковзаняр, якщо його маса M =60 кг?

 

А) 4,2 см/с. Б) 18,4 см/с. В) 6,3 см/с. Г) 12,6 см/с. Д) 9,8 см/с.

 

360. На рухомий по горизонтальному шляху зі швидкістю V =5 м/с візок масою M =10 кг, кладуть зверху цеглину масою m =2 кг, яка до цього знаходилась у стані спокою. Визначте кількість теплоти Q, яка виділиться при цьому.

 

А) 15 Дж. Б) 21 Дж. В) 18 Дж. Г) 24 Дж. Д) 12 Дж.

 

361. Два вантажки, маси яких відносяться як 1:4, з¢єднані стиснутою пружиною і лежать на горизонтальній поверхні столу. При розпрямлянні пружини вантаж меншої маси отримує кінетичну енергію Е₁ =40 Дж. Визначте потенціальну енергію стиснутої пружини Е_п. Тертям знехтувати.

 

А) 100 Дж. Б) 25 Дж. В) 50 Дж. Г) 125 Дж. Д) 75 Дж.

 

ОСНОВИ ТЕОРІЇ З РОЗДІЛУ “ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ”

 

Положення рухомої точки звичайно розглядається в декартовій системі координат, і у будь-який момент воно визначається трьома просторовими координатами (x, у, z). За годинник, для визначення масштабу часу, можна використовувати будь-який періодичний процес. Сукупність декартової системи координат, пов'язаної із певними тілами відліку, і годинника для вимірювання часу, називають системою відліку. У принципі, таких систем може бути багато, проте найзручнішою для опису механічних явищ є така система відліку, в якій закони механіки мають найпростіший вигляд. Якщо у деякій системі відліку на матеріальне тіло не діють інші тіла, то воно рухається щодо даної системи відліку рівномірно і прямолінійно (як кажуть, за інерцією). Таку систему відліку називають інерціальною. Закони Ньютона виконуються тільки в таких системах відліку. За інерціальну вважають геліоцентричну система, пов'язану із Сонцем та видаленими «нерухомими» зірками, хоча, строго кажучи, вона не є інерціальною унаслідок руху Сонця навколо центру Галактики.

Галілей встановив, що всі механічні явища в різних інерціальних системах відліку (ІСВ) протікають однаково, тобто ніякими механічними дослідами, що проводяться “усередині” даної ІСВ, неможливо встановити, покоїться дана система або рухається рівномірно і прямолінійно. Це твердження назване принципом відносності Галілея. Принцип є узагальненням численних дослідів. Згідно йому, всі системи відліку, які рухаються рівномірно і прямолінійно відносно інерціальної системи, також є інерціальними. Систему відліку, рухому щодо ІСВ із прискоренням, називають неінерціальною.

В деяких випадках буває необхідно описати рух тіла в іншій системі відліку. Визначимо формули для перетворення координат тіла при переході від однієї ІСВ до іншої. Нехай ІСВ К¢ рухається з постійною швидкістю V₀ уздовж осі ОХ щодо нерухомої системи відліку К. Для простоти припустимо, що початки відліку і напрямки осей координат обох систем у початковий момент часу (t=t¢=0) співпадали. Нехай матеріальна точка покоїться щодо системи К, а її положення в цій системі характеризується радіус-вектором r, або координатами x, у, z. Щодо системи К¢ ця точка рухається, і щодо К¢ її положення характеризується радіус-вектором r¢, або координатами x¢, у¢, z¢. Годинник у обох системах відліку синхронізований і час тече однако-

во, тобто t=t¢. Очевидно, що зв'язок між радіус-векторами цієї точки в обох системах відліку має вигляд: Це співвідношення можна записати в скалярному вигляді для

кожної з декартових координат. З урахуванням синхронізації годинника, маємо:

або

Ці співвідношення називаються перетвореннями Галілея. З них можна одержати закон додавання швидкостей при переході від однієї ІСВ до іншої, продиференціювавши векторне співвідношення за часом: де V – швидкість руху точки щодо нерухомої ІСВ К, V^¢ - швид-кість руху точки щодо рухомої ІСВ К¢. Це співвідношення називається законом складання швидкостей. Продиференцію-

вавши цей закон за часом ще раз, одержимо:

 

Оскільки V₀= const, то dV₀/dt=0, тому або

 

Тобто, з перетворень Галілея витікає, що прискорення матеріальної точки у обох ІСВ однакове. Помноживши обидві частини цього співвідношення на масу тіла, яка не залежить від стану його руху, а отже, у всіх ІСВ залишається сталою, одержуємо:

або	Це означає, що закони механіки (рівняння руху) у всіх ІСВ мають однаковий вигляд, тобто є інваріантними щодо перетворень координат Галілея. Це

і є доказом принципу відносності Галілея.

Класична механіка Галілея-Ньютона заснована на існуванні тривимірного про-стору і часу, єдиних для всіх ІСВ. У ній передбачається, що просторові і часові проміжки (довжини відрізків і тривалості подій) є інваріантами, тобто мають те ж саме значення у всіх ІСВ. При цьому дотримується принцип далекодії: взаємодії між тілами поширюються миттєво на будь-які відстані. З цього принципу і випливають перетворення Галілея. Проте, при подальшому розвитку фізики – оптики, електродинаміки – виникло питання про справедливість принципу далекодії і при інших видах взаємодій.

Ейнштейн, переглянувши початкові положення класичної фізики (перш за все уявлення про властивості простору і часу) показав, що закони класичної механіки і перетворення Галілея вірні, якщо тіла рухаються із малими швидкостями (тоді швидкість передачі взаємодії вважається нескінченною). Проте, при рухах зі швидкостями, близькими до швидкості світла у вакуумі, закони механіки повинні бути замінені на загальніші, що враховують особливості такого руху. У основі цих законів лежать нові уявлення про простір і час, а механіка високих швидкостей називається релятивістською. Перегляд уявлень про властивості простору і часу на початку ХХ століття привів Ейнштейна до створення спеціальної теорії відносності (СТО). Термін “спеціальна” підкреслює той факт, що ця теорія розглядає явища, що відбуваються у ІСВ. У основі СТО лежить принцип близькодії, згідно якому ніякі взаємодії не можуть поширюватись зі швидкостями, що перевищують швидкість поширення світла у вакуумі. Це положення Ейнштейн відобразив у вигляді двох постулатів: принципу відносності і принципу сталості швидкості світла.

Перший постулат є розширенням механічного принципу відносності Галілея на всі фізичні явища і формулюється так: у всіх ІСВ будь-які фізичні явища у однакових умовах відбуваються однаково; всі закони природи і рівняння, які їх описують, інваріантні при переході від однієї ІСВ до іншої. З цього постулату виходить, що ніякими дослідами усередині ІСВ неможливо визначити, покоїться вона або рухається рівномірно і прямолінійно. Іншими словами, всі ІСВ за своїми фізичними властивостями еквівалентні одна одній. Другий постулат стверджує, що швидкість світла у вакуумі с є величиною сталою, однаковою у всіх ІСВ і незалежною від швидкостей руху джерел світла або спостерігачів. Згідно цьому постулату, сталість швидкості світла – фундаментальна властивість природи. Якщо всі інші швидкості змінюються при переході від однієї ІСВ до іншої, то швидкість світла у вакуумі – величина інваріантна. Це означає, що в одному і тому ж експерименті два спостерігачі, які знаходяться в різних ІСВ (рухомі один щодо одного), набувають однакове значення швидкості світла у вакуумі. Ця швидкість є максимально можливою (граничною) швидкістю передачі взаємодій. Тому, якщо всі ІСВ рівноправні, то і максимальна швидкість передачі сигналів в них також повинна бути однаковою.

Отже, з погляду класичних уявлень про простір і час, передбачалась можливість миттєвої передачі взаємодії між різними точками простору. У механіці Ньютона вважалось, що поняття одночасності має однаковий сенс для будь-яких точок простору. З точки ж зору СТВ, понять абсолютної одночасності і абсолютного часу не існує. Нехай у розглянутих вище двох ІСВ в початковий момент часу t=t¢=0, коли початки відліку обох систем К та К¢ співпадають, із цього загального початку відліку випромінюється світловий імпульс. Згідно другому постулату Ейнштейна, швидкість світла у обох ІСВ однакова і дорівнює с. Тому, якщо за час t в нерухомій ІСВ К сигнал досягне деякої точки А, лежачої на осі ОХ, пройшовши відстань х=с×t, то в рухомій уздовж осі ОХ зі швидкістю V системі К ¢, координата світлового імпульсу у момент досягнення точки А дорівнює х¢=с×t¢, де t¢ - час проходження світлового імпульсу від початку координат до точки А в рухомій системі К¢. Віднімаючи одну рів-

ність з іншої, одержуємо: Оскільки х¢¹х (система К¢ рухається відносно К), то t¢¹t. Тобто, час досягнення точки А у обох ІСВ різний. Таким чином,

згідно теорії Ейнштейна, у кожній із ІСВ, що знаходяться у відносному русі, існує лише власний час, який показує нерухомий в даній системі годинник. Іншими словами, абсолютна одночасність не існує. Але якщо поняття часу відносне, то поняття «абсолютний рух» зникає. Абсолютний рух не існує.

Існування граничної швидкості передачі взаємодій (с=3 ×10⁸ м/с – швидкість світла у вакуумі) привело до інших формул перетворення, які дозволяють по координатах і часі довільної події, відомим в одній ІСВ (по x¢, y¢, z¢, t¢), визначати координати тієї ж події у будь-якій іншій ІСВ, рухомої щодо першої у напрямку осі ОХ рівномірно і прямолінійно зі швидкістю V. Ці перетворення носять ім'я Лоренца та

мають вигляд: При малих швидкостях (V<<c) перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея.

Це означає, що теорія відносності не відкидає перетворень Галілея, а включає їх як окремий випадок, справедливий при рухах із малими швидкостями. З перетворень Лоренца виходить, що швидкість V не може бути рівною або більшою швидкості світла с, оскільки підкорінний вираз при V=c обертається в нуль, а при V>с стає негативним, і перетворення втрачають фізичний сенс (рух із такими швидкостями неможливий). Отже, і просторові, і часові перетворення не є незалежними, оскільки в закон перетворення координат входить час, а в закон перетворення часу – просторові координати, тобто існує взаємозв'язок простору і часу. Теорія відносності Ейнштейна розглядає нерозривно зв'язані просторові і часові координати, створюючи єди-ний чотиривимірний простір-час. Із перетворень Лоренца витікає ряд наслідків, обумовлених властивостями простору-часу.

1) Відносність одночасності: у системі К в точках з координатами х₁ та х₂ в моменти часу t₁ та t₂ відбуваються дві події. У системі К¢ їм відповідають координати х¢₁ та х¢₂, і моменти часу t¢₁ та t¢₂. Використовуючи перетворення Лоренца для координат і часу одержуємо, що якщо в системі К дві події є одночасними (t₁=t₂) і відбуваються у одній точці простору (х₁=х₂), то вони є одночасними і просторово співпадаючими і у будь-якій іншій ІСВ К¢ (t¢₁=t¢₂, х¢₁=х¢₂). Якщо ж події в системі К є одночасними (t₁=t₂), але просторово роз'єднані (х₁¹х₂), то в системі К¢, залишаючись просторово роз'єднаними (х¢₁¹х¢₂), виявляються і неодночасними (t¢₁ ¹ t¢₂).

2) Відносність просторових проміжків (довжин). Нехай твердий стрижень розташований уздовж осі ОХ¢ і покоїться щодо системи К¢, рухомої щодо системи К уздовж осі ОХ зі швидкістю V. Довжина стрижня в системі К ¢ (власна довжина) дорівнює l₀^¢=x₂^¢-x₁^¢, де х¢₁ і х¢₂ – координати початку і кінця стрижня, а індекс «0» показує, що в системі К¢ стрижень покоїться. Довжина стрижня в системі К, щодо якої він рухається зі швидкістю V, дорівнює l=x₂-x₁. Для знаходження l необхідно виміряти координати кінців стрижня х₁ та х₂ в системі К в той самий момент часу t. Їх різниця і визначає довжину стрижня в системі К. Використавши перетворення Лоренца, от-

римаємо: Це означає, що довжина стрижня залежить від

швидкості його руху щодо системи відліку. Якщо V<<c, то підкорінний вираз прямує до одиниці і l=l₀, тобто при малих швидкостях руху довжина стрижня у всіх ІСВ однакова. Якщо V®с, то чим більша швидкість руху стрижня щодо будь-якої ІСВ, тим менша його довжина, виміряна в цій системі. Цей ефект носить назву Лоренцевого скорочення довжини. Отже, довжина тіла у напрямі руху не є інваріантною величиною, а залежить від швидкості руху тіла щодо даної ІСВ. Незмінним є лише твердження про те, що тіло, яке покоїться, завжди довше рухомого (власна довжина тіла максимальна). Причому, це стосується тільки розмірів тіла у напрямі руху. Його поперечні розміри не залежать від швидкості руху і однакові у всіх ІСВ.

3) Відносність часових проміжків (тривалостей). Нехай у деякій точці простору із координатою х, нерухомою щодо системи К (x₂=x₁), відбувається якась подія, тривалістю t₀=t₂-t₁ (визначається різницею показів годинника цієї системи у момент початку і закінчення події). В рухомій системі К¢ тривалість події дорівнює t=t₂¢-t₁¢, причому початок і закінчення події фіксуються за “своїм” годинником, але в різних точках простору (х¢₁¹х¢₂). Застосувавши перетворення Лоренца для часу і узявши їх

різницю, матимемо: З цієї формули виходить, що тривалість однієї і тієї

ж події різна в різних ІСВ. Для спостерігача рухомий годинник іде повільніше, ніж його власний, який покоїться. Це явище називають уповільненням часу. Проміжок часу t₀, відлічуваний по годиннику, рухомому разом із тілом, називається власним. Це найкоротший проміжок часу серед інших проміжків t щодо рухомих ІСВ.

4) Релятивістський закон додавання швидкостей. Класичний закон додавання швидкостей, записаний вище, несправедливий при русі ІСВ зі швидкостями V®с. Нехай спостерігач у космічному кораблі, рухомому щодо Землі із швидкістю V, посилає світловий сигнал у напрямі свого руху. За класичним законом додавання швидкостей, швидкість сигналу щодо земного спостерігача становить (c+V), що суперечить другому постулату Ейнштейна. Тому, новим уявленням про властивості простору і часу повинен відповідати новий закон додавання швидкостей. Якщо в системі К¢, рухомій уздовж осі ОХ зі швидкістю V₀, рухається точка уздовж осі ОХ¢ зі швидкістю V¢=dx¢/dt, для знаходження швидкості цієї точки щодо нерухомої ІСВ К, потрібно записати співвідношення, що зв'язує V т V¢. Із перетворень Лоренца маємо:

Розділивши чисельник і знаменник правої части-ни цього співвідношен-

ня на dt¢, і одержимо релятивістський закон додавання швидкостей:

Легко переконатись, що при швидкостях V, V0 і V¢, малих у порівнянні зі швидкістю с, релятивістський закон додавання швидкос-

тей переходить в класичний закон їхнього додавання.

Із СТВ випливають два важливі наслідки, які стосуються взаємозв'язку між масою і швидкістю, масою і енергією. До Ейнштейна маса розглядалась як стала величина. Але у 1901 році фізиками було знайдено, що маса швидкорухомих електронів зростає при збільшенні їх швидкості. При малих швидкостях руху частинок (V<<c), зростання маси помічене не було. Згідно теорії відносності, маса тіла має різні значення залежно від швидкості його руху та від вибору ІСВ, в якій здійснюється її вимірювання. Залежність маси m рухомого тіла від швидкості V його руху визнача-

ється співвідношенням: де m0 – маса спокою – маса тіла в системі відліку, щодо якої воно покоїться. При V<<c релятивістська маса m прямує до m0. У

релятивістській динаміці інертність тіла зростає при зростанні його швидкості:чим більша швидкість тіла, тим важче її збільшити. Якщо V®с, то маса тіла прямує до нескінченності. Тому тіло із ненульовою масою спокою m₀¹0, не може рухатись зі швидкістю с, рівною швидкості світла у вакуумі. Із швидкістю світла можуть рухатись фотони, маса спокою яких дорівнює нулю.

У класичній фізиці імпульс тіла визначається формулою: p=m×V. Але маса рухомих тіл залежить від швидкості, тому релятивістський імпульс становить:

При швидкостях руху V<<c, імпульс тіла пропорційний швидкості: p=m0×V. При швидкостях V®с, значення релятивістського імпульсу прямує до нескінченності. Слід

зазначити, що для замкнутої системи і в релятивістській механіці закон збереження імпульсу справедливий. Використовуючи цей закон і закон додавання швидкостей, якраз і одержують формулу залежності маси тіла від швидкості його руху.

Згідно принципу відносності, всі закони природи інваріантні при переході від однієї ІСВ до іншої. Тому і другий закон Ньютона є інваріантним щодо перетворень

Лоренца, якщо похідна за часом береться від релятивістського імпульсу. Основний закон релятивістської динамікиматеріальної точки має вигляд:

Оскільки зміна швидкості руху V в релятивістській механіці спричиняє зміну маси m тіла, то при цьому відбувається зміна повної енергії тіла, оскільки між масою і енер-

гією існує взаємозв'язок, встановлений Ейнштейном: З формули виходить, що будь-якій масі, рухомій m або нерухомій m0, відповідає певна енергія. Якщо тіло знаходить- ся в стані спокою, то його енергія спокою Е0 складає: Енергія спокою– це внутрішня енергія тіла, що є сумою

енергій спокою всіх частинок тіла, їх кінетичних енергій руху та потенціальних енергій взаємодії між собою.

У релятивістській механіці закон збереження маси спокою несправедливий. Саме на цьому уявленні засноване пояснення дефекту маси ядра і ядерних реакцій. (Дефект маси полягає у тому, що сума мас спокою окремих складових частин ядра атома більша, ніж маса спокою самого ядра). У теорії відносності справедливий закон збереження релятивістської маси і енергії: зміна повної енергії тіла (або сис-

або

теми) супроводжується еквівалентною зміною її маси: Отже, маса тіла, яка в класичній механіці є мірою інертності (пер-ший закон Ньютона) і мірою гравітації (закон всесвітнього тяжіння), у релятивістській механіці має ще сенс енерговмісту тіла. Фізичний зміст цієї формули полягає в наступному: існує принци-

пова можливість переходу матеріальних об'єктів, які мають масу спокою, у електромагнітне випромінювання, яке не має маси спокою, і при цьому виконується закон збереження енергії. Класичним прикладом цього є анігіляція електрона і позитрона,

або утворення пари електрон-позитрон із квантів електромагнітного випромінювання:

У релятивістській динаміці кінетична енергія визначається різницею повної

енергії рухомого тіла Е та його енергії спокою Е0: При рухах із малими швидкостями (V<<c) це рівняння переходить у кла-

сичний вираз для кінетичної енергії E_k=m₀×V²/2.

Раніше показано, що і імпульс р, і енергія Е будь-яког