Енергія кінетична та потенціальна. Закон збереження енергії

У механіці розрізняють два види енергії: кінетичну і потен-ціальну .

Кінетичною енергією тіла називають енергію, яка є мірою його меха-нічного руху. Кінетична енергія рухомого тіла кількісно дорівнює роботі, яку може виконати тіло проти гальмівної сили при гальмуванні його до пов-ної зупинки:

(5.7)

Знак "–" вказує на те, що при гальмуванні тіла його прискорення від’ємне; межі інтегрування визначаються швидкістю руху тіла в момент визначення його кінетичної енергії і повною зупинкою. Для системи тіл рівняння (5.7) набирає вигляду:

(5.8)

Отже, кінетична енергія тіла і системи тіл дорівнює відповідно:

(5.9)

і є функцією стану руху тіл.

Якщо на тіло (або систему тіл) діють консервативні сили, то мож-на ввести поняття потенціальної енергії тіла (або системи тіл). Оскільки робота сил такого поля не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки кінцевими точками шляху, то вона є важливою фізичною величиною, що характеризує силове поле. Роботу сил поля по переміщенню тіла з точки 1 у точку 0 (рис.5.2) позначимо через ,а з точки 2 у точку 0 – через ; і назвемо потенціальними енергіями тіла в точках 1 і 2 відповідно (аналогічно визначенню поняття кінетичної енергії):

;

Тоді, згідно з визначенням поняття консервативних сил, робота сил поля по переміщенню тіла із точки 1 у точку 2 буде:

. (5.10)

 

Рис.5.2

 

Для нескінченно малих переміщень:

. (5.11)

Таким чином, робота, виконана над тілом консервативними силами, дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, узятій із протилежним знаком.

Оскільки , то , а компоненти сили можуть бути виражені рівняннями:

; ; . (5.12)

Величину сили знаходимо за співвідношенням:

 

, (5.13)

 

а силу як вектор знайдемо через компоненти та орти:

 

;

 

(5.14)

Сила дорівнює градієнту потенціальної енергії. Градієнтом називають вектор, що показує напрямок найшвидшої монотонної зміни деякої вели-чини, значення якої змінюється від однієї точки простору до іншої. З рів-нянь (5.7) і (5.11) знаходимо:

.

Отже:

. (5.15)

Це і є закон збереження повної енергії замкненої механічної системи, тобто окремий випадок одного з фундаментальних законів природи, у від-повідності з яким повна енергія замкненої системи при будь-яких процесах залишається незмінною.

Швидкість механічної системи і її положення в просторі залежать від вибору системи відліку, тобто є відносними. Це означає, що кінетична і по-тенціальна енергія системи самі по собі є відносними і визначаються лише з точністю до постійних величин, тобто визначається лише зміна цих видів енергії внаслідок участі системи в тих або інших процесах. Закон збережен-ня енергії вказує на те, що в замкнених системах можливі лише такі проце-си, при яких один вид енергії може перетворюватися на інший зі збережен-ням незмінної повної енергії. У цьому й проявляється єдність матеріального світу.

Зіткнення двох тіл

Прикладом використання законів збереження імпульсу та енергії замкненої системи тіл може бути розгляд зіткнення двох тіл. Для спрощен-ня викладу розглянемо центральний удар двох тіл. Удар називають цент-ральним, якщо центри інерції тіл до удару рухалися уздовж прямої, що про-ходить через ці центри.Існує два граничних види удару: абсолютно непруж-ний та абсолютно пружний.

При абсолютно непружному ударі кінетична енергія тіл повністю або частково перетворюється на внутрішню енергію; після удару тіла або зупи-няються, або рухаються з однаковою швидкістю. При цьому зберігається повна енергія системи, що складається з потенціальної енергії системи у зовнішніх потенціальних полях, кінетичної енергії системи та її внутріш-ньої енергії U. Внутрішня енергія тіла визначається станом руху й взаємним розташуванням мікрочастинок, з яких складається це тіло. З погляду меха-ніки внутрішня енергія тіла складається з кінетичної енергії механічного руху мікрочастинок тіла і потенціальної енергії взаємодії цих частинок.

При ударі відбувається взаємне перетворення кінетичної та внутрі-шньої енергії тіл; потенціальна енергія тіл у зовнішніх потенціальних полях у процесі самого удару не змінюється. Тому цей вид енергії системи надалі не розглядається.

Якщо кінетична енергія тіл у результаті удару повністю перетворю-ється на внутрішню, то тіла зупиняються, а внутрішню енергію U системи після зіткнення знаходимо як суму кінетичних енергій тіл:

. (5.16)

Якщо кінетична енергія перетворюється на внутрішню лише частково, а тіла після зіткнення рухаються з однаковою швидкістю , то після зіткнення тіл за законами збереження імпульсу й енергії можна знайти невідомі величини і U:

(5.17)

 

При абсолютно пружному ударі кінетична енергія перетворюється повністю або частково на внутрішню енергію пружної деформації, а потім при відштовхуванні тіл знову на кінетичну.

При повному переході кінетичної енергії у внутрішню тіла відразу після взаємодії зупиняються, а при зворотному перетворенні енергії руха-ються окремо з різними швидкостями. Закони збереження імпульсу і енергії в цьому випадку описуються рівняннями:

(5.18)

 

При неповному перетворенні кінетичної енергії на внутрішню отримаємо:

(5.19)

Розв’язуючи системи рівнянь (5.18) і (5.19), можна знайти невідомі величини U, та у кожному конкретному випадку. При цьому закон збереження імпульсу варто застосовувати в проекціях на напрямок руху.

 

Приклад розв’язування задач

Дві ідеально пружні кульки масами m ₁ та m ₂ рухаються уздовж однієї й тієї самої прямої зі швидкостями і .Під час зіткнення кульки почи-нають деформуватися й частина кінетичної енергії перетворюється на по-тенціальну енергію деформації. Потім деформація зменшується, а запасена потенціальна енергія знову перетворюється на кінетичну. Знайти значення максимальної потенціальної енергії деформації.

Розв’язування

Оскільки кулі виконують абсолютно пружний удар із частковим пере-творенням кінетичної енергії на внутрішню, то для знаходження потенці-альної енергії деформації (тобто зміни внутрішньої енергії системи куль) необхідно скористатися законами збереження імпульсу та енергії системи куль:

Тут – швидкість спільного руху максимально деформованих куль.

З першого рівняння знаходимо швидкість і, підставивши її значення в друге рівняння, знаходимо Wp: