Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл

У результаті узагальнення численних спостережень, експерименталь-них і теоретичних досліджень (як своїх власних, так й інших дослідників) І.Ньютон в 1687 р. сформулював закон всесвітнього тяжіння: „Кожні дві матеріальні частинки притягують одна іншу із силою , прямо пропор-ційною добутку їх мас , і і обернено пропорційною квадрату відс-тані між ними:

(8.1)

Сила спрямована уздовж прямої, що з'єднує центри цих частинок. Згідно з цим законом усі матеріальні тіла притягають одне одного, причому вели-чина сили притягання не залежить від фізичних і хімічних властивостей тіл, від стану їхнього руху, від властивостей середовища, де перебувають тіла. На Землі тяжіння проявляється, насамперед, в існуванні сили ваги, що є результатом притягання будь-якого матеріального тіла Землею. Із цим пов'язаний термін „гравітація”, еквівалентний терміну „тяжіння” (від ла-тинського gravitas - вага).

У векторній формі закон всесвітнього тяжіння записується в такий спосіб:

(8.2)

Тут – сила, що діє на першу частинку з боку другої; – одиничний вектор, спрямований вздовж радіуса – вектора , тобто від першої частки до другої (рис.8.1) – його часто позначають символом ;

– стала тяжіння або гравітаційна стала, .

Очевидно, що сила , з якою перша частинка діє на другу, буде спрямо-вана протилежно до радіуса-вектора

(8.3)

Закон всесвітнього тяжіння сформульований Ньютоном, строго кажу-чи, для точкових мас. Та виявилося, що сила взаємодії між двома частин-ками не залежить від наявності третьої частинки. Це означає, що якщо взає-модіють між собою N частинок, то сила , з якою діють на одну із части-нок з масою всі інші частинки з масами т_к, дорівнює векторній сумі сил, з якими всі N – 1 частинок діють на одну із N:

(8.4)

Тут – радіуси-вектори, що з'єднують частинку з масою m_i з усіма іншими частинками.

Рис.8.1Рис.8.2

 

Отриманий результат називають законом адитивності. Він дає змогу засто-сувати закон всесвітнього тяжіння для знаходження сили взаємодії між двома тілами довільних розмірів і форми.

Для цього необхідно умовно розбити ці тіла на велику кількість і настільки малих частинок з масами й (рис. 8.2), щоб кожну з них можна було вважати матеріальною точкою. Тоді частинка при-тягується частинкою Δ m_k із силою: .

Сила з якою все друге тіло діє на одну частинку Δ m_i першого тіла, відповідно до закону адитивності, буде дорівнювати:

а сила , з якою перше тіло діє на друге дорівнює:

(8.5)

Вивчення руху тіл відносно поверхні Землі показує, що сила тяжіння викликає два види руху: по-перше, тіло, позбавлене опори, падає на Землю; по-друге, воно бере участь у добовому обертанні Землі, внаслідок чого на нього діє відцентрова сила , оскільки система відліку, пов'язана із Землею, для такого тіла є неінерці-

Рис.8.3 альною.

Отже, на таке тіло діє сумарна сила , що складається із сили тяжін-ня і відцентрової сили (рис.8.3):

(8.6)

де – відстань від центра Землі до тіла. Силу називають силою ваги, а прискорення тіла під дією цієї сили – прискоренням вільного падіння. Від-повідно до другого закону Ньютона прискорення вільного падіння дорів-нює:

. (8.7)

Оскільки відцентрова сила залежить від географічної широти місця розта-шування тіла відносно Землі, то очевидно, що й прискорення вільного па-діння залежить від географічної широти. Розглянемо цю залежність для двох випадків: падіння тіла на полюс і на екватор Землі.

Величина відцентрової сили дорівнює:

.

Якщо тіло падає на полюс Землі, то для нього = 0 і сила ваги дорів-нює силі тяжіння , а прискорення :

. (8.8)

Тут – відстань від центра Землі до тіла.

Якщо тіло падає на екватор, то сила ваги , що діє на це тіло, дорів-нює:

. (8.9)

 

Тут – відстань від центра Землі до тіла; – маса Землі; – відстань від центра Землі до полюса; – відстань від центра до точок на екваторі.

Якщо тіло перебуває на невеликій висоті від поверхні Землі (тобто ) то величина приблизно дорівнює 0,00345, тобто, від-центрова сила становить 0,345% від сили тяжіння. Тому в першому наближенні приймають, що сила ваги дорівнює силі тяжіння й спря-мована до центра Землі, а прискорення вільного падіння дорівнює:

, (8.10)

де –радіус-вектор, що визначає положення падаючого тіла відносно центра Землі.

Із цього рівняння (а також з досвіду) випливає, що прискорення віль-ного падіння не залежить від маси, розмірів й інших властивостей тіла, а залежить від відстані між цим тілом і поверхнею Землі. Розглянемо цю залежність. Позначимо –прискорення тіла біля самої поверхні Землі, а – прискорення тіла, що перебуває на висоті від поверхні Землі. Відношення цих прискорень буде:

(8.11)

За малих висот , тобто при , величина дуже мала і її можна не враховувати. Тоді . (8.12)

На підставі рівняння (8.12) знаходимо, що у разі підняття тіла на висо-ту =1км прискорення вільного падіння тіла зменшується на 0,03%, тобто зменшення мало відчутне. Тому з деяким наближенням у разі розташування тіл на невеликих висотах приймають, що прискорення вільного падіння тіла можна виразити через радіус Землі:

(8.13)

Некулястість форми Землі () і вплив добового обертання (виникнення відцентрової сили) призводить до того, що прискорення сили ваги залежить від географічної широти місця й змінюється від 9,83 м/с² на полюсах до 9,78 м/с² на екваторі. На широті 45° воно дорівнює 9,80665м/с². У приблизних розрахунках приймають =9,8 м/с².

При відносно точних розрахунках ураховується положення тіла відносно центра Землі.

Поле тяжіння

Закон всесвітнього тяжіння дає кількісну оцінку взаємодії, але не розкриває механізму тяжіння. Практика показує, що сила тяжіння не залежить від щільності навколишнього середовища. Таку взаємодію можна зрозуміти, якщо вважати, що всі тіла породжують навколо себе поле тяжіння (гравітаційне поле).

Нехай деяке тіло з масою (рис. 8.4) утворює навколо себе гравітаційне поле. Розглянемо характеристики цього поля.Для цього по черзі будемо розміщувати тіла з масами , Рис.8.4 і в точку простору, положення якої задано

 

радіусом - вектором відносно тіла з масою . З боку тіла з масою на кожне з тіл з масами , і діють сили:

Розділивши сили , і на маси , і відповідно, отримаємо одну і ту ж величину:

Це рівняння виражає силу, з якою гравітаційне поле діє на тіло з одиничною масою в заданій точці простору. Цю силу називають напруженістю поля тяжіння. Позначимо її через символ . Таким чином, напруженість поля тяжіння в певній точці простору виражається рівнянням:

(8.14)

Напруженість поля є його силовою характеристикою.

Якщо напруженість поля в усіх його точках однакова за величиною і за напрямком, то поле називають однорідним.

Якщо в усіх точках поля його вектори напруженості спрямовані уз-довж прямих, які перетинаються в одній і тій же точці (рис. 8.5), нерухо-мій відносно обраної системи відліку, то поле називають центральним, а точку - центром сил.

Якщо чисельне значення напруженості поля залежить тільки від відстані до центра сил : , то поле називають сферично симетричним. Очевидно, що поле тяжіння, створюване матеріальною точкою або однорідною кулею, є центральним і сферично симетричним.

Якщо поле утворюється кількома () тілами, то напруженість сумарного поля дорівнює векторній сумі напруженостей полів, утворюваних кожним з тіл:

Рис.8.5

(8.15)

Це твердження називають принципом суперпозиції (накладання) полів, що є наслідком закону адитивності сил (рівняння (8.4)).

На підставі рівнянь (8.10) і (8.9) знаходимо, що прискорення віль-ного падіння тіла дорівнює напруженості поля тяжіння в тій точці, де в розглянутий момент перебуває тіло:

(8.16)

Якщо тіло не вільне, то під дією поля тяжіння тіло діє на опору або підвіску із деякою силою . Відповідно до третього закону Ньютона опора або підвіска діють на тіло із силою . Обидві ці сили викликають при-скорення тіла , а їх геометрична сума дорівнює сумарній силі, що діє на тіло:

(8.17)

Сила , з якою тіло діє на опору або підвіску:

(8.18)

залежить від прискорення тіла разом з опорою або підвіскою.

Силу, з якою тіло, що перебуває в полі тяжіння, діє на опору або підвіску, називають вагою тіла. При цьому передбачається, що тіло, опора і підвіска будуть у тій системі відліку, в якій визначається вага. Коли говорять про вагу тіла, то, як правило, припускають, що тіло, опора і підвіс не мають прискорення відносно Землі. Отже, вага тіла, згідно з рівнянням (8.18), дорівнює силі ваги і залежить, строго кажучи, від положення цього тіла відносно Землі. Вагу тіла можна вважати постійною лише з тим ступенем наближення, з яким можна вважати постійним прискорення вільного падіння.

На підставі рівняння (8.18) знаходимо: якщо опора рухається вгору із прискоренням , тосила , з якою тіло діє на опору і опора на тіло, біль-ша від сили ваги (а значить, і ваги тіла) на величину , що еквівалентно збільшенню ваги – тіло відчуває перевантаження. Рух опори вниз із приско-ренням викликає зменшення сили , що еквівалентно зменшенню ваги. При вільному падінні опори () настає невагомість.

Сили бувають консервативні, що проявляються в потенціальних по-лях, і неконсервативні, що проявляються в не потенціальних полях. З'ясуємо, до якої із цих категорій належать сили й поля тяжіння. Для цього знайдемо роботу сил поля з переміщення матеріальної точки т сила-ми тяжіння із точки 1 у точку 2 через проміжну точку (рис. 8.6). Робота на елементарному переміщенні дорівнює: . Оскільки: то

(8.19)

При переміщенні матеріальної точки із точки 1 у точку 2 робота сил поля дорівнює:

(8.20)

З рівняння (8.20) випливає, що робота не залежить від форми траєкто-рії руху матеріальної точки т, а залежить лише від початкової й кінцевої відстаней між матеріальними точками т і М. Це означає, що . Тоді:

Отже, сили поля тяжіння, створюваного матеріальною точкою М, є консер-вативними, а розглянуте поле – потенціальним. На основі принципу адитив-ності сил тяжіння можна показати, що отриманий висновок справедливий і для кожного поля тяжіння, створюваного будь-якою сукупністю тіл.

У розділіVбуло показано, що робота ,яка виконується консер-вативними силами над системою, дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи. У цьому випадку для матеріальної точки отримуємо:

(8.21)

Зіставляючи рівняння (8.20) і (8.21), знаходимо:

При прагненні до нескінченності одержуємо: .

Оскільки точку 1 було обрано довільно, то в загальному випадку потенціальна енергія одно-го тіла в полі тяжіння, створюваного іншим ті-лом, може бути виражена рівнянням:

Рис.8.6 . (8.22)

На основі принципу суперпозиції полів можна показати, що потен-ціальна енергія матеріальної точки з масою в полі тяжіння, створюва-ного сукупністю N матеріальних точок масами , дорівнює:

. (8.23)

Потенціальну енергію матеріальної точки з одиничною масою в даній точці поля називають потенціалом поля в цій точці:

. (8.24)

Якщо поле створюється сукупністю N матеріальних точок з масами , то потенціал поля в обраній точці, згідно з рівняннями (8.23) і (8.24) дорівнює:

. (8.25)

На підставі рівнянь (8.20), (8.21) та (8.24) знаходимо, що при

робота сил поля над тілом масою , а потенціал поля

.

Це дає можливість надати фізичного змісту поняттям потенціальної енергії тіла в полі та потенціалу поля: потенціальна енергія тіла маси в довільно обраній точці потенціального поля кількісно дорівнює роботі сил поля по переміщенню цього тіла і цієї точки в нескінченність, а потенціал поля в довільно обраній точці кількісно дорівнює роботі сил поля по переміщенню тіла з одиничною масою із цієї точки в нескінченність. Якщо робота вико-нується зовнішніми силами проти сил поля, то її варто брати зі знаком „–”.

На підставі співвідношення й рівняння (8.14) та (8.24) знаходимо:

.

 

У загальному випадку потенціал поля може бути функцією координат і часу: . Для стаціонарного поля, властивості якого в кожній точці простору з часом не змінюються, величина дорівнює: .

Тому:

де – довільний напрямок.

Проекції вектора на координатні осі будуть рівні:

Вектор знайдемо, домноживши його проекції на відповідні орти:

. (8.26)

Рівняння (8.26) виражає зв'язок між напруженістю й потенціалом поля тя-жіння в довільно обраній точці.

Наведені тут положення теорії поля тяжіння можуть бути застосовані до тіл, що рухаються зі швидкостями, набагато меншими від швидкості світла в порожнечі. За великих швидкостей руху тіл треба застосовувати теорію поля тяжіння, яка базується на теорії відносності.