Укладачі: Білоус Михайло В’ячеславович Горбатюк Василь Архипович

Фізичні основи

Механіки

 

 

Конспект лекцій

з курсу загальної фізики

 

Приклади розв’язування задач

 

Київ 2008

УДК 53 (07)

Ф50

Укладачі: Білоус Михайло В’ячеславович Горбатюк Василь Архипович

Печерська Тетяна Вікторівна

 

Рецензент: Ментковський Ю.Л.

 

Фізичні основи механіки. Конспект лекцій з курсу Ф50 загальної

фізики. Приклади розв’язування задач – К.: Видавець „Пугач О.В.”,

2008. – 72с.

 

Рекомендовано

кафедрою ЗФ та ФТТ

НТУУ „КПІ”.

Протокол №10 – 07

від 10.10.2007 р.

 

 

Розраховано на студентів технічних спеціальностей усіх форм навчання.

 

 

©Білоус М.В., Горбатюк В.А.,

Печерська Т.В., 2008

©Пугач О.В., оформлення, 2008

"Сучасна фізика - це свого роду дволикий Янус. З одного боку – це наука з палаючим поглядом, яка прагне проникнути в глибини великих законів матеріального світу. З іншого – це фундамент нової техніки, майстерня сміливих технічних ідей, опора й рушійна сила безперервного індустріального прогресу".

Академік Л. А. Арцимович

ВСТУП

Фізика – це наука про природу. Вона вивчає найбільш загальні властивості й закони руху матерії.

Закон – це необхідний, істотний, стійкий, повторюваний зв’язок між явищами.

Матерія – це все те, що існує об'єктивно, тобто незалежно від нашої свідомості, і пізнається шляхом почуттів, це нескінченна безліч усіх існуючих у світі об'єктів і систем, субстрат (тобто загальна основа) будь-яких властивостей, зв'язків, відносин і форм руху.

Фізика вивчає переважно два види матерії: речовину та поле.

Невід’ємною властивістю матерії, умовою й способом її існування є рух. Під рухом матерії взагалі варто розуміти будь-який процес, будь-які зміни реальності, у тому числі й ті, що протікають і в природі, і в людському суспільстві. Фізика вивчає найпростіші, але разом з тим і найбільш загальні форми руху матерії й закономірності перетворення одних форм на інші. Тому поняття фізики та її закони лежать в основі всього природознавства.

Усі процеси в природі протікають у просторі й у часі. Простір і час – це філософські категорії й фізичні поняття, що є загальними формами буття матерії, які не існують поза матерією. У цьому розумінні простір і

час є не абсолютними, як їх сприймав І. Ньютон, а відносними.

Фізика – це найфундаментальніша з усіх природничих наук, най-всеосяжніша; величезним був і є її вплив на розвиток усіх наук. Водночас ряд інших наук сприяють розвитку фізики.

Найтісніше фізика пов’язана з філософією. Внаслідок всеосяжності своїх законів фізика завжди впливала на розвиток філософії й сама зазнавала її впливу. Кожне нове відкриття в галузі природознавства спонукало до розширення й поглиблення теорії матеріалізму, а іноді й до зміни його форм. Саме на базі таких відкриттів (наприклад: будова атома, корпускулярно-хвильовий дуалізм мікрочастинок, імовірний характер законів руху мікрочастинок та ін.) матеріалізм здобував дедалі більше підтвердження й конкретизацію своєї вищої форми – діалектичного матеріалізму. Проголошувана ж матеріалізмом єдність матеріального світу яскраво проявляється у взаємних перетвореннях елементарних частинок – можливих форм існування матерії. Особливо важливий правильний філософський підхід у тих випадках, коли старі фізичні уявлення зазнають корінного перегляду. Тільки матеріалістичне розуміння співвідношення між абсолютною й відносною істинами дозволяє правильно оцінити сутність революційних перетворень у фізиці.

Важко собі уявити сучасну фізику без зв’язку з математикою. Фізика – це наука не тільки якісна, а й кількісна. Основні її закони формулюються математичною мовою. З іншого боку, нові ідеї й методи в математиці часто виникають під впливом фізики. Так, аналіз нескінченно малих величин був виконаний І. Ньютоном (одночасно з Г.В. Лейбніцем) під час формулювання основних законів механіки. Роз-виток векторного аналізу зумовлений створенням теорії електромагніт-ного поля. На розвиток тензорного обчислення, теорії груп вплинуло ство-рення теорії відносності, квантової механіки та інших фізичних теорій.

Фізика й хімія не тільки стикаються, але найчастіше переплітаються. Підхід до теорії будови атомів, утворення молекул, конденсованого стану речовини та ряду інших явищ природи у фізиці й хімії принципово не відрізняється. Використовуючи різні методи дослідження, розглядаючи різні форми руху матерії при вивченні одних і тих самих явищ, фізика й хімія підкріплюють і взаємозбагачують одна одну. Суміжні галузі між фізикою й хімією представленні фізичною хімією та хімічною фізикою.

Завдяки біології у фізиці відкрито закон збереження енергії. Сформу-льований фізикою закон збереження енергії для всіх процесів, а також при-родних явищ є обґрунтованим узагальненням законів збереження енергії в різних окремих галузях: закону Ю. Р. Майєра, який він виявив під час вивчення кількості теплоти, що виділяється і поглинається живим організ-мом, закону збереження механічної енергії, виявленого Г.В. Лейбніцем; закону збереження енергії в термодинаміці, виявленого Дж.П. Джоулем і Г.Л. Гельмгольцем. Якщо уважно вивчати біологію живих організмів, то можна помітити безліч суто фізичних явищ: циркуляцію крові, тиск, фотосинтез тощо. Тому біологія у своєму розвитку опирається най-частіше на досягнення фізики, наприклад, у біології використовуються радіоактивні ізотопи, різноманітні фізичні методи дослідження.

Зв'язок фізики з іншими галузями природознавства привів до того, що фізика найглибшими коріннями проросла в астрономію, геоло-гію, хімію, медицину та інші природничі науки. Фізичні методи дослід-ження відіграють вирішальну роль у всіх природничих науках. Особли-во популярними стали такі методи, як електронна мікроскопія, нейтро-нографія, рентгенографія, магнітні й електричні методи, метод мічених атомів, методи ядерної фізики й фізики елементарних частинок.

Фізика є фундаментом найголовніших напрямів техніки. Шляхи роз-витку будь-якої галузі тісно переплітаються з фізикою. Електротехніка й енергетика, радіотехніка й електроніка, світлотехніка, будівельна техніка, гідромеханіка, теплотехніка, обчислювальна техніка, значна частина вій-ськової техніки засновані й розвиваються на основі фізики. Завдяки сві-домому використанню фізичних законів, техніка зі сфери випадкових відкриттів вийшла на широку дорогу спрямованого розвитку.

У свою чергу не менш істотним є вплив техніки на вдосконалення експериментальної фізики, а отже, і на її прогрес загалом. Цьому сприяє найсучасніша експериментальна база. Сучасна фізика є джерелом рево-люційних перетворень у всіх галузях техніки. Вона вносить вирішаль-ний вклад у науково-технічну революцію.

На основі вище викладеного можна сформулювати роль фізики в технічному навчальному закладі в такий спосіб:

а) вивчення фізики має велике значення для формування наукового світогляду;

б) фізика є базовою дисципліною для багатьох загальноінженерних і спеціальних дисциплін;

в) шляхи розвитку будь-якої галузі сучасного виробництва тісно переплітаються з фізикою. Тому інженер будь-якого профілю має володіти фізикою в такому обсязі, щоб застосувати її досягнення у своїй практичній діяльності.

Фізика вивчає якісні й кількісні закономірності спостережуваних явищ. Ці явища, процеси можна класифікувати за видами взаємодій, що проявляються в них. У наш час виділяють чотири типи фундаментальних взаємодій у природі:

1. Гравітаційна взаємодія – взаємодія між масами, що проявляється на будь-яких відстанях між ними, тобто гравітаційна взаємодія має нескінченний радіус дії.

2. Електромагнітна взаємодія – взаємодія зарядів. Вона має також нескінченний радіус дії.

3. Сильна взаємодія – взаємодія, зумовлена ядерними силами. Радіус дії дорівнює розмірам ядра – r ≈ 10^-13 см. Це взаємодія між нуклонами в ядрі. Вона зумовлює існування ядер.

4. Слабка взаємодія, як і сильна, зумовлена ядерними силами. Вона відповідає за всі види β-розпаду, за процеси взаємодії нейтрино з речовиною. Радіус її дії r ≈ 10^{-15 см}.

Оскільки сильна й слабка взаємодії мають малий радіус дії, їх називають короткодіючими.

Можливість протікання тих або інших процесів, напрям цих про-цесів визначаються виконанням для них відповідних законів збереження. Таких законів вже є досить багато (~10). Кожний з фізичних законів має певну область застосування.

Фізичні закони, що мають найпоширенішу область застосування, називають фундаментальними. Їх чотири:

1. Закон збереження імпульсу, пов'язаний з однорідністю про­стору, тобто з однаковістю властивостей усіх точок простору.

2. Закон збереження моменту імпульсу, пов'язаний з ізотропністю простору, тобто з фізичною еквівалентністю всіх напрямів у просторі.

3. Закон збереження енергії, пов'язаний з однорідністю часу, тобто з відсутністю якого-небудь особливого моменту часу.

4. Закон збереження електричного заряду, пов'язаний з особли-вою симетрією хвильової ψ-функції, що описує стан зарядженої час-тинки.
Фізичні явища в області механіки можна класифікувати за величиною мас тих тіл, які беруть участь у цих явищах, і швидкості руху. Певні класи явищ розглядаються відповідними розділами фізики, що може бути проілюстровано такою схемою:

 

m – велика, υ – мала: класична нерелятивістська фізика	m – велика, υ – велика: класична релятивістська фізика (спеціальна і загальна теорія відносності)
m – мала, υ – мала: квантова нерелятивістська фізика	m – мала, υ – велика: квантова релятивістська фізика

m – маса фізичного об’єкта,

υ – швидкість протікання процесів.

 

Маса об'єкта порівнюється з масою атома або молекули, швидкість руху – зі швидкістю світла у вакуумі.

У цьому посібнику розглядаються основні положення класичної нерелятивістської фізики.

ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ

Інерціальні системи відліку

Внаслідок дії на тіло з боку інших тіл це тіло може змінювати стан свого механічного руху, а також форму та розміри. Для опису механічної дії одного тіла на інше вводять поняття сили. Силою, що діє на тіло (або при-кладену до тіла), називають фізичну величину, котра є мірою механічної дії на це тіло з боку якого-небудь іншого тіла. Отже, рух тіла під дією інших тіл можна розглядати як рух тіла під дією прикладеної до нього сили. Оскільки дія відбувається в якомусь напрямку, то сила є величиною век-торною. Пряму, проведену через точку прикладання сили в напрямку дії цієї сили, називають лінією дії сили.

Виміряти силу можна за допомогою динамометра з деформації пружини на підставі закону Гука:

(4.1)

де – коефіцієнт пружності пружини.

Рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, дорівнює векторній сумі цих сил:

(4.2)

Будь-які обмеження на можливі положення й рух тіла називають зв'язками. Дія тіл, які здійснюють зв'язки, називають реакціями зв’язків. Усі інші сили називають активними.

Перший закон динаміки в перекладі з мови І. Ньютона на українську можна сформулювати так: "Усяке тіло і надалі утримується у своєму стані спокою або рівномірного і прямолінійного руху доки й оскільки воно не примушується прикладеними силами змінювати цей стан”. Це формулю-вання рівносильне більш поширеному в наш час формулюванню: "Тіло перебуває в стані спокою або рухається рівномірно й прямолінійно, якщо рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю”. З огляду на визна-чення поняття сили, перший закон Ньютона можна сформулювати так: "Усяке тіло зберігає стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху до тих пір, поки вплив з боку інших тіл не змусить його змінити свій стан". Обидва ці стани характерні тим, що прискорення тіла дорівнює нулю. А це означає, що перший закон Ньютона можна сформулювати й у такий спо-сіб: "Швидкість тіла залишається сталою доки вплив з боку інших тіл на це тіло не викличе зміни його стану". З усіх формулювань першого закону Ньютона випливає, що стан спокою або рівномірного й прямолінійного ру-ху не вимагає для своєї підтримки яких-небудь зовнішніх впливів. В цьому суть та основний зміст першого закону Ньютона при всій розмаїтості його формулювань. В цьому проявляється особлива динамічна властивість тіл, названа інертністю. Відповідно перший закон Ньютона називають законом інерції, а рух тіла, вільного від зовнішніх впливів, називають рухом по інер-ції. Тоді як рух матерії абсолютний, усякий механічний рух відносний, тому що розглядається відносно яких-небудь систем відліку, а характер самого руху залежить від системи відліку. Стан спокою або руху без прискорення можливий не у всіх системах відліку, а лише у деяких. Системи, в яких ви-конується перший закон Ньютона, називають інерціальними. Їх може бути як завгодно багато і всі вони рівноправні. Одні відносно інших вони можуть бути або в стані спокою, або рухатися рівномірно і прямолінійно. Інерці-альною (як показує досвід) є геліоцентрична система відліку, центр якої співпадає з Сонцем, а осі спрямовані на обрані відповідним чином зірки. Лабораторну систему відліку, пов'язану з Землею, у першому наближенні вважають інерціальною.

Наведені вище формулювання першого закону Ньютона справедливі лише для абсолютно твердого тіла, яке виконує поступальний рух. Не абсо-лютно тверде тіло, піддаючись руху, може деформуватися.

Необхідність у всіх застереженнях відпадає, якщо перший закон Нью-тона сформулювати для матеріальної точки: "Матеріальна точка, на яку не діють інші тіла, або перебуває в стані спокою, або рухається рівномірно й прямолінійно".

Третій закон Ньютона

Досліди показують, що механічний вплив одного тіла на інше являє собою взаємодію: якщо тіло 1 діє на тіло 2, то й тіло 2 діє на тіло 1 (рис. 4.1). На основі кіль-кісного аналізу механічної взаємодії тіл Ньютон виявив дію третього закону динаміки: "На кожну дію завжди є рівна й протилежна протидія”, або Рис.4.1 інакше, взаємодії одного тіла з іншим між собою рівні й спрямовані в протилежні сторони:

(4.18)

де - сила, що діє на 1-ше тіло з боку 2-го; – сила, що діє на 2-ге тіло з боку першого тіла. З урахуванням визначення поняття сили третій закон механіки може бути сформульований так: "Два тіла взаємодіють із силами, однаковими за величиною та протилежними за напрямком", або "Кожній дії є рівна протидія".

Із третього закону Ньютона випливає, що при механічній взаємодії тіл сили виникають попарно.

Третій закон Ньютона точно діє у випадку контактних взаємодій, а також при взаємодії тіл на деякій відстані, якщо вони не рухаються одне відносно одного.

У випадках руху одного тіла відносно іншого за відсутності контакт-ної взаємодії третій закон Ньютона в ряді випадків не діє при великих швидкостях руху і діє в деякому наближенні при малих швидкостях.

Приклад невиконання третього закону Ньютона – рух двох зарядів з швидкостями, що не лежать на одній прямій (рис.4.2).

Рухомий заряд - утворює магнітне поле з індукцією

На заряді , крім сили , рівної силі , діє сила

На заряд - у розглянутому тут випадку діє тільки сила . Друга складова для нього дорівнює нулю. При малій швидкості руху за-ряду сила Лоренца нескінченно мала й третій закон Ньютона з деяким набли-женням виконується.

Кожний із законів Ньютона, що виражає певну сутність матеріального світу, має кілька форм, тобто кілька способів вираження свого Рис. 4.2. змісту. Це зумовлено розвитком процесу пізнання.

Усі закони динаміки не враховують природу сил. З цієї точки зору вони є універсальними.

 

Принцип відносності Галілея

Нехай у початковий момент часу дві інерціальні системи від-ліку і співпадають (рис. 4.3), а з плином часу система рухається відносно умовно нерухомої системи з постійною швидкістю так, що осі і збігаються, осі і , а також і попарно паралельні між собою. Знайдемо зв'язок між координатами матеріальної точки в системах і у будь-який момент часу (рис. 4.3). Якщо вважати, що час в обох системах відліку плине однаково, тобто що , то:

 

 

Рис. 4.3

 

Систему рівнянь (4.19) називають перетвореннями Галілея. Вони дають змогу одержати закон руху відносно однієї з інерціальних систем, якщо він відомий відносно іншої, шляхом заміни відповідних координат.

Якщо при система рухається в довільному напрямку відносно , то перетворення Галілея набирають вигляду:

(4.20)

Перетворення Галілея застосовні в області механіки малих швидкостей і не застосовуються в механіці великих швидкостей, оскільки при великих швидкостях процесів час у різних інерціальних системах відліку плине неоднаково, тобто . Продиференціювавши за часом рівняння (4.19) і (4.20), знайдемо зв’язок між швидкостями точки Р відносно систем і відповідно:

Якщо і , то і , тобто якщо точка Р відносно системи рухається рівномірно і прямолінійно, а сама система відносно рухається теж рівномірно і прямолінійно, то і точка Р від-носно системи рухається рівномірно і прямолінійно. Ми дійшли виснов-ку, що перший закон Ньютона виконується у всіх інерціальних системах відліку.

Якщо , а , тоді і тобто відносно неінерціальних систем відліку перший закон Нью­тона не виконується.

Продиференціювавши рівняння за часом, знайдемо зв'я-зок між прискореннями точки Р відносно розглянутих систем відліку:

(4.22)

Якщо , тобто якщо система відносно системи рухається нерівномірно (системи взаємно неінерціальні), то сила, яка діє на точку Р, різна в різних системах відліку:

,

і другий закон Ньютона (як і перший) не виконується відносно системи . Я Якщо , то і , тобто другий закон Ньютона вико-нується відносно різних інерціальних систем відліку.

З співвідношень і знаходимо:

(4.23)

Таким чином, рівняння Ньютона для матеріальної точки, а отже, і для довільних систем матеріальних точок, однакові у всіх інерціальних систе-мах відліку. Це твердження називають механічним принципом відносності або принципом відносності Галілея, який встановив цей принцип, і часто формулюють цей принцип у такий спосіб: "Всі механічні явища у всіх інер-ціальних системах відліку протікають однаковим чином”. Отже, всі ці сис-теми рівноправні. Ніякими механічними дослідами, виконаними в межах цих систем, неможливо встановити, чи перебуває дана система в стані спо-кою, чи рухається рівномірно і прямолінійно, тобто неможливо виділити з інерціальних систем відліку яку-небудь головну, відносно якої механічний рух і спокій можна було б розглядати як "абсолютні".

Збереження виду рівняння при заміні в ньому координат і часу однієї системи відліку координатами й часом іншої системи називається інварі-антістю рівняння. З огляду на це, принцип відносності Галілея можна сфор-мулювати таким чином: "Всі рівняння Ньютона, що виражають закони ме-ханіки, інваріантні стосовно перетворень Галілея”.

Реактивний рух

Реактивний рух – це рух ракети під дією сили віддачі струменя газів, що витікає з сопла реактивного двигуна. Знайдемо швидкість раке-ти в залежності від зміни її маси. Нехай у момент часу швидкість ракети відносно Землі дорівнює , а її маса m. Імпульс ракети в цей момент Рис. 4.5 часу дорівнює . Нехай в цей момент часу з ракети починають виходити вихлопні гази з постійною швидкістю відносно ракети (рис. 4.5); відносно Землі швидкість газів буде дорівнювати . Після закінчення часу швидкість ракети стане рівною , а її маса , де – маса газів, що вийшли, швидкість яких відносно Землі буде . Імпульс системи в момент часу буде дорівнювати:

Згідно з законом збереження імпульсу знаходимо:

звідки одержимо: У початковий момент часу швидкість ракети дорівнювала нулю, а маса – початковій масі . Інтегруючи останню рівність із урахуванням початкових умов, прийнявши , знаходимо:

(4.29)

Знак "мінус" вказує на протилежний напрямок швидкостей і . Рівняння (4.29) називають формулою Ціолковського, тому що вперше вона була отримана саме Ціолковським. Швидкість ракети зростає тим швидше, чим швидше зменшується її маса. Тому ракети роблять багато-ступінчастими.

Приклад розв’язування задач

Тіло ковзає по похилій площині, що утворює з горизонтом кут . Пройшовши відстань , тіло набуває швидкості . Визначити коефіцієнт тертя між тілом и площиною.

Розв’язування

 

 

Запишемо рівняння руху тіла по площині й рівняння, що зв'язує пройдений тілом шлях, швидкість і прискорення тіла:

Вирішивши ці рівняння відносно , знаходимо:

V. Енергія й робота

Зіткнення двох тіл

Прикладом використання законів збереження імпульсу та енергії замкненої системи тіл може бути розгляд зіткнення двох тіл. Для спрощен-ня викладу розглянемо центральний удар двох тіл. Удар називають цент-ральним, якщо центри інерції тіл до удару рухалися уздовж прямої, що про-ходить через ці центри.Існує два граничних види удару: абсолютно непруж-ний та абсолютно пружний.

При абсолютно непружному ударі кінетична енергія тіл повністю або частково перетворюється на внутрішню енергію; після удару тіла або зупи-няються, або рухаються з однаковою швидкістю. При цьому зберігається повна енергія системи, що складається з потенціальної енергії системи у зовнішніх потенціальних полях, кінетичної енергії системи та її внутріш-ньої енергії U. Внутрішня енергія тіла визначається станом руху й взаємним розташуванням мікрочастинок, з яких складається це тіло. З погляду меха-ніки внутрішня енергія тіла складається з кінетичної енергії механічного руху мікрочастинок тіла і потенціальної енергії взаємодії цих частинок.

При ударі відбувається взаємне перетворення кінетичної та внутрі-шньої енергії тіл; потенціальна енергія тіл у зовнішніх потенціальних полях у процесі самого удару не змінюється. Тому цей вид енергії системи надалі не розглядається.

Якщо кінетична енергія тіл у результаті удару повністю перетворю-ється на внутрішню, то тіла зупиняються, а внутрішню енергію U системи після зіткнення знаходимо як суму кінетичних енергій тіл:

. (5.16)

Якщо кінетична енергія перетворюється на внутрішню лише частково, а тіла після зіткнення рухаються з однаковою швидкістю , то після зіткнення тіл за законами збереження імпульсу й енергії можна знайти невідомі величини і U:

(5.17)

 

При абсолютно пружному ударі кінетична енергія перетворюється повністю або частково на внутрішню енергію пружної деформації, а потім при відштовхуванні тіл знову на кінетичну.

При повному переході кінетичної енергії у внутрішню тіла відразу після взаємодії зупиняються, а при зворотному перетворенні енергії руха-ються окремо з різними швидкостями. Закони збереження імпульсу і енергії в цьому випадку описуються рівняннями:

(5.18)

 

При неповному перетворенні кінетичної енергії на внутрішню отримаємо:

(5.19)

Розв’язуючи системи рівнянь (5.18) і (5.19), можна знайти невідомі величини U, та у кожному конкретному випадку. При цьому закон збереження імпульсу варто застосовувати в проекціях на напрямок руху.

 

Приклад розв’язування задач

Дві ідеально пружні кульки масами m ₁ та m ₂ рухаються уздовж однієї й тієї самої прямої зі швидкостями і .Під час зіткнення кульки почи-нають деформуватися й частина кінетичної енергії перетворюється на по-тенціальну енергію деформації. Потім деформація зменшується, а запасена потенціальна енергія знову перетворюється на кінетичну. Знайти значення максимальної потенціальної енергії деформації.

Розв’язування

Оскільки кулі виконують абсолютно пружний удар із частковим пере-творенням кінетичної енергії на внутрішню, то для знаходження потенці-альної енергії деформації (тобто зміни внутрішньої енергії системи куль) необхідно скористатися законами збереження імпульсу та енергії системи куль:

Тут – швидкість спільного руху максимально деформованих куль.

З першого рівняння знаходимо швидкість і, підставивши її значення в друге рівняння, знаходимо Wp:

 

 

Приклад розв’язування задач

На 60° півн. ш. паровоз масою 100 т їде з півдня на північ зі швидкістю 72 км/год по залізничній колії, прокладеній по меридіані. Знайти величину і напрямок тієї сили, з якою паровоз діє на рейки в напрямку, перпендикулярному до ходу паровоз.

Розв’язування

m = 10⁵ кг

α=60^о

-?

Паровоз рухається відносно обертальної неінерціальної системи відліку. На нього діє сила Коріоліса, а паровоз із цією ж силою діє на рейки. Ця сила дорівнює: . Паровоз тисне на праву рейку із силою:

 

Момент сили відносно осі

Нехай на тіло із закріпленою віссю z діє довільно спрямована сила (рис. 7.4). Тоді тіло може обертатися тільки навколо осі z. Знайдемо момент сили відносно точки О, яка лежить на осі обертання, а потім виділимо складову моменту , паралельну осі z:

(7.10)

Радіус-вектор можна представити у вигляді суми:

Тоді складова буде дорівнює

Векторний добуток дає вектор, перпендикулярний , тобто він перпендикулярний осі z, і проекція цього вектора на вісь z дорівнює нулю:

 

, а

 

Розкладемо силу на три складові:

Тоді одержимо:

 

У цьому рівнянні перша складова дорівнює нулю, оскільки вектори і паралельні,друга складова дорівнює нулю, тому що вектор

перпендикулярний осі z. Таким чином, складова моменту і її проекція дорівнюють:

(7.11)

Рис.7.4

З усіх складових сили тільки одна її складова здатна обертати тіло навколо осі z. Тому одні автори (див.[2], [3]) саму складову моменту сили , інші (див. [1], [4], [6], [7]) – її проекцію на вісь обертання називають моментом сили відносно осі обертання z.

Якщо на тіло діє кілька сил, то повний момент цих сил відносно осі обертання дорівнює сумі моментів усіх сил:

 

(7.12)

VIII. Всесвітнє тяжіння

Поле тяжіння

Закон всесвітнього тяжіння дає кількісну оцінку взаємодії, але не розкриває механізму тяжіння. Практика показує, що сила тяжіння не залежить від щільності навколишнього середовища. Таку взаємодію можна зрозуміти, якщо вважати, що всі тіла породжують навколо себе поле тяжіння (гравітаційне поле).

Нехай деяке тіло з масою (рис. 8.4) утворює навколо себе гравітаційне поле. Розглянемо характеристики цього поля.Для цього по черзі будемо розміщувати тіла з масами , Рис.8.4 і в точку простору, положення якої задано

 

радіусом - вектором відносно тіла з масою . З боку тіла з масою на кожне з тіл з масами , і діють сили:

Розділивши сили , і на маси , і відповідно, отримаємо одну і ту ж величину:

Це рівняння виражає силу, з якою гравітаційне поле діє на тіло з одиничною масою в заданій точці простору. Цю силу називають напруженістю поля тяжіння. Позначимо її через символ . Таким чином, напруженість поля тяжіння в певній точці простору виражається рівнянням: