Хвильова функція і її статистичний зміст

У класичній механіці можна дати однозначну відповідь на питання, чи перебуває частинка в даний момент часу в певній області простору. Так, коли виділити деякий об'єм простору, що містить ділянку траєкторії частинки, то, знаючи рівняння її руху, можна з вірогідністю встановити, чи буде вона в певний момент часу перебувати в цьому об'ємі чи ні. Якщо ж траєкторія частинки не проходить через виділений об'єм простору, то можна стверджувати, що частинки там не може бути ні в який момент часу.

Таким чином, класичному описанню руху частинки відповідає формальна логіка із двома елементарними поняттями «так» і «ні». Закономірності класичної механіки й формальної логіки незастосовні для описання руху мікрочастинок, оскільки останні характеризуються хвильовими властивостями. При цьому слід урахувати також, що квантово-механічні закономірності, правильно описуючи явища мікросвіту, не мають того ж ступеня наочності, що й класичні закономірності.

Для описання хвильових властивостей мікрооб'єктів у квантовій механіці вводиться величина y, яку називають хвильовою (або «псі») функцією. Руху мікрочастинок зіставляється рівняння деякої хвилі, яка у найпростішому випадку має вигляд

(30.8)

Формально рівняння (30.8) збігається із класичним рівнянням механічної (§22.2) або електромагнітної хвилі (§25.2). Однак фізичний зміст хвильової функції принципово відрізняється від класичного. У механічній хвилі хвильової функції y відповідає певна деформація пружного середовища (для даної точки простору в даний момент часу), а в електромагнітній хвилі – відповідні значення напруженостей електричного й магнітного полів.

У квантовій механіці хвильовій функції y надається такий фізичний зміст: квадрат модуля хвильової функції визначає ймовірність знаходження мікрочастинки в даній точці простору (точніше, в одиничному об'ємі поблизу від заданої точки простору):

(30.9)

Імовірність виявлення частинки в деякому об'ємі dV визначається очевидним співвідношенням

(30.10)

Зі змісту хвильової функції випливає, що квантова механіка має статистичний характер. Вона не дозволяє визначити місцезнаходження частинки в просторі або траєкторію, по якій рухається частинка. За допомогою хвильової функції можна лише передбачити, з якою ймовірністю частинка може бути виявлена в різних точках простору.

Хвильова функція (разом зі своїми похідними) повинна бути скінченною, однозначною і неперервною. Крім того, хвильова функція повинна задовольняти умові нормування:

(30.11)

Інтеграл (30.11) визначає ймовірність того, що мікрочастинка перебуває в якій-небудь точці простору, тобто ймовірність достовірної події, яка дорівнює одиниці.

Рівняння Шредінгера

Для того щоб знайти хвильову функцію y, що характеризує стан мікрочастинки або системи мікрочастинок, необхідно розв’язати хвильове рівняння, що було отримано Э. Шредінгером в 1926 р. Рівняння Шредінгера – основа квантової (хвильової) механіки, так само як рівняння Ньютона – основні рівняння класичної механіки. Як і рівняння Ньютона, рівняння Шредінгера не може бути виведене з інших більш елементарних принципів і вводиться у квантову механіку як постулат. Справедливість рівняння Шредінгера визначається тим, що всі висновки, отримані з його рішень і доступні дослідній перевірці, підтверджувалися. Проте, дамо деяке методичне обґрунтування цього рівняння.

Продиференціюємо двічі за координатою x хвильову функцію (30.8):

або

(30.12)

Підставимо замість довжини хвиліl її значення за формулою де Бройля:

Ураховуючи, що

де W_к — кінетична енергія частинки, дістанемо

Замінимо в цьому рівнянні кінетичну енергію частинки на різницю між повною і потенціальною енергією: W_к =W-Wр.

Тоді

(30.13)

Останнє рівняння і являє собою одномірне стаціонарне рівняння Шредінгера. Якщо ввести сталу ħ=h/2p, то рівняння (30.13) можна переписати у вигляді

(30.14)

У загальному (тривимірному) випадку рівняння Шредінгера має вигляд

(30.15)

У тих випадках, коли потенціальна енергія системи змінюється з часом, необхідно скористатися більш складним часовим рівнянням Шредінгера: