Проблеми випромінювання абсолютно чорного тіла

Основні визначення

Електромагнітне випромінювання, що виникає за рахунок внутрішньої енергії випромінюючого тіла і залежить лише від температури та оптичних властивостей тіла, називається тепловим випромінюванням.

Теплове випромінювання є рівноважним. Помістимо в замкнену адіабатичну оболонку кілька тіл з різними температурами. У відповідності з другим началом термодинаміки в такій системі почнуть протікати процеси, які приведуть до вирівнювання температур тіл. Ці процеси полягають у висиланні та поглинанні електромагнітного випромінювання тілами, що містяться усередині порожнини, і не припиняються після досягнення термодинамічної рівноваги. Це може бути лише в тому випадку, якщо між тілом і випромінюванням установлюється рівновага: скільки енергії випромінює тіло, стільки ж її воно й поглинає.

Уведемо деякі кількісні характеристики теплового випромінювання.

Випромінювальною здатністю тіла називається кількість енергії, що висилається за одиницю часу з одиниці площі в одиничному інтервалі частот:

.

(29.1)

Спектральною густиною випромінювання називається кількість енергії електромагнітного випромінювання, що припадає на одиничний інтервал частот і зосереджена в одиничному об'ємі:

.

(29.2)

Оскільки теплове випромінювання є рівноважним, то між випромінювальною здатністю тіла й спектральною густиною випромінювання повинна існувати пропорційна залежність r(n,T)~u(n,T). Для абсолютно чорного тіла ця залежність має вигляд

(29.3)

де с – швидкість світла у вакуумі.

Інтегральною випромінювальною здатністю (енергетичною світністю) називається кількість енергії, що випускається за одиницю часу з одиниці площі у всьому інтервалі частот від 0 до ∞. Між інтегральною випромінювальною здатністю R_е(Т) і випромінювальною здатністю r(n,T) існує зв'язок.

 

(29.4)

Поглинальною здатністю тіла називається відношення поглиненої енергії до всієї падаючої на тіло енергії в інтервалі частот від n до n+dn:

Рис. 29.1.

Абсолютно чорним тілом (АЧТ) називається таке тіло, поглинальна здатність якого для всіх частот і температур дорівнює одиниці: a(n,T)=1. Моделлю АЧТ може служити невеликий отвір, вирізаний в порожній сфері з непрозорої речовини (рис. 29.1). Промінь світла, потрапляючи через такий отвір усередину порожнини, потерпає багаторазові відбиття і практично повністю поглинається.

Рис. 29.2.

Сірим називається таке тіло, поглинальна здатність якого менша одиниці, але стала для всіх частот і температур (рис. 29.2). У кольорового тіла (КТ) поглинальна здатність є функцією частоти й температури.

Закон Кірхгофа

Кірхгоф установив закон, згідно з яким відношення випромінювальної здатності тіла до його поглинальної здатності не залежить від природи тіла і є універсальною функцією від частоти й температури:

.

(29.5)

Для АЧТ поглинальна здатність дорівнює одиниці, тому для такого тіла випромінювальна здатність збігається з універсальною функцією

(29.6)

Нехай адіабатична оболонка[1], внутрішні стінки якої є АЧТ, заповнена рівноважним тепловим випромінюванням. Виділимо на поверхні оболонки ділянку площею dS і підрахуємо для нього баланс енергії. Із цієї ділянки випромінюється енергія r*(n,T)dS, де r*(n,T) — випромінювальна здатність АЧТ. Для збереження термодинамічної рівноваги стільки ж енергії повинне поглинатися. Оскільки для АЧТ a(n,T) = 1, то з боку інших ділянок на виділений повинна падати енергія, рівна r*(n,T)dS.

Замінимо тепер виділену ділянку стінки оболонки деяким довільним тілом, у якого випромінювальна здатність дорівнює r_i(n,T), а поглинальна а_i(n,T)<1. Складемо тепер баланс енергії для цього випадку. Як і в першому випадку, на цю ділянку буде падати енергія r*(n,T)dS, частина якої а_i(n,T)·r*(n,T)dS, буде поглинатися; випромінюватися ж буде енергія, що дорівнює r_i(n,T) dS, Оскільки процес рівноважний, то

звідки

(29.7)

Формула (29.7) справедлива для будь-якого тіла – тим самим закон Кірхгофа доведений.

Закони випромінювання АЧТ

Рис. 29.3

Основна проблема вивчення АЧТ – визначення виду функції r*(n,T). Експерименти дозволили знайти цю залежність і сформулювати деякі частинні закони випромінювання АЧТ. Експериментальні залежності r*(n,T) для двох значень температури показані на рис. 29.3. Видно, що випромінювальна здатність АЧТ падає при малих і великих частотах і досягає максимуму при деякім значенні n_m. З підвищенням температури випромінювальна здатність зростає, а її максимальне значення зміщується в область великих частот.

Сформулюємо частинні закони випромінювання АЧТ.

1. Закон Стефана - Больцмана. Інтегральна випромінювальна здатність АЧТ пропорційна до четвертого степеня його абсолютної температури, тобто

.

(29.8)

де s –стала Стефана - Больцмана.

2. Закон зміщення (Віна). Частота, на яку припадає максимум поглинальної здатності АЧТ, пропорційна до його абсолютної температури:

,

(29.9)

де b — стала Віна.

Закон Віна встановлює положення максимуму кривої r*(n,T): з підвищенням температури максимум зміщується в область більш високих частот.

3. Висота максимуму кривої r*(n,T). Вона встановлюється наступним законом (іноді його називають другим законом Віна): максимальна випромінювальна здатність АЧТ пропорційна до куба його абсолютної температури:

(29.10)

де С — стала.

Ці закони, однак, не дають можливості відтворити явний вигляд функції r*(n,T). Для знаходження вигляду цієї функції Д. Релей і Д. Джінс скористалися класичним законом розподілу енергії за ступенями свободи (§ 9.3) і дістали наступний вираз для випромінювальної здатності АЧТ:

(29.11)

де c — швидкість світла; k — стала Больцмана.

Формула Релея - Джінса (29.11) добре узгоджується з дослідом в області малих частот, однак в області великих частот ця формула різко розходиться з експериментом (пунктирна лінія на рис. 29.3). Така невідповідність теорії й експерименту дістала назву ультрафіолетової катастрофи.

Таким чином, у рамках класичної фізики не вдалося пояснити закономірності теплового випромінювання АЧТ. Причина цього полягає в принциповій незастосовності законів класичної фізики до елементарних процесів, що обумовлюють теплове випромінювання.

4. Формула Планка. В 1900 р. М. Планк висловив гіпотезу, що процес випромінювання та поглинання світла відбувається не безперервно, а певними порціями (квантами), енергія яких визначається формулою

(29.12)

де h = 6,62· 10^-34 Дж·с — універсальна константа, яку називають сталою Планка.

За допомогою таких квантових уявлень про природу випромінювання Планк знайшов функцію розподілу енергії випромінювання АЧТ за частотою v (Додаток 7):

(29.13)

яка дуже точно відтворює експериментальну криву r*(n,T).

За допомогою формули Планка (29.13) можна пояснити всі закономірності випромінювання АЧТ, установлені раніше. Зокрема, в області низьких частот, коли hn/kТ<<1, можна приблизно представити експоненту в (29.13) у вигляді

(29.14)

Підставивши (29.14) в (29.13), одержимо формулу Релея - Джінса.

Закон Стефана - Больцмана можна дістати з формули Планка, зінтегрувавши вираз (29.13) за частотою в межах від 0 до ∞:

Для обчислення інтеграла зробимо заміну hn/k=x; звідси n=kTx/h, dn=kTdx/h. Тоді

Ми одержали закон Стефана - Больцмана, причому стала

Закон зміщення Віна можна дістати з формули Планка, прирівнявши першу похідну за частотою до нуля:

Взявши похідну, дістанемо

де

(29.15)

Здобуте рівняння розв’язується методом послідовних наближень і має єдиний корінь x = 2,821. З формули (29.15) випливає

(29.16)

тобто дістали закон Віна зі сталою b;

І нарешті, другий закон Віна дістанемо, якщо підставимо (29.16) у формулу Планка:

5. Пірометрія. Розділ технічних застосувань, що використовують закономірності теплового випромінювання для вимірювання температури нагрітих тіл, називається пірометрією. Пірометри – це прилади для вимірювання температури нагрітих тіл за інтенсивністю їх теплового випромінювання. Основна умова застосовності методів пірометрії полягає в тому, що тіло, температуру якого вимірюють за допомогою пірометра, повинне перебувати в тепловій рівновазі і мати поглинальну здатність, близьку до одиниці.

Розрізняють яскравісні, кольорові та радіаційні пірометри.

У найпростішому візуальному яскравісному пірометрі зі зникаючою ниткою об'єктив фокусує зображення досліджуваного тіла на площину, у якій розташована нитка (стрічечка) спеціальної лампи розжарювання. Через окуляр і червоний фільтр нитку розглядають на тлі зображення тіла і, змінюючи струм розжарення нитки, домагаються, щоб яскравості нитки й тіла були однакові (нитка стає нерозрізненою на тлі тіла). Шкалу приладу, що реєструє струм розжарення, градуюють звичайно в градусах Цельсія або Кельвіна, і в момент вирівнювання яскравостей нитки й тіла прилад показує так звану яскравісну температуру тіла T я.

Для вимірювання температури тіл, які в оптичному діапазоні є сірими, застосовують кольорові пірометри. Цими пірометрами вимірюють яскравість тіла у двох областях спектра — синьої й червоної (наприклад, lc = 0,48 мкм і lч= 0,60 мкм). Шкала приладу градуйована в °С и показує кольорову температуру Tк.

Найбільш чутливі радіаційні пірометри, що реєструють сумарне випромінювання тіла. Діяїх заснована на законах Стефана –Больцмана і Кірхгофа. Об'єктив радіаційного пірометра фокусує спостережуване випромінювання на приймач, сигнал від якого реєструється приладом, каліброваним по випромінюванню АЧТ і таким, що показує радіаційну температуру T р. Як приймач використають або термостовпчик (батарею послідовно з'єднаних термопар), або болометр, дія якого заснована на зменшенні опору напівпровідників при їх нагріванні.

Вимірювані за допомогою пірометрів температури (яскравісна Tя, кольорова Tк, або радіаційна Tр) перераховуються на підставі законів теплового випромінювання в істинну. Наприклад, істинна T і радіаційна T р температури зв'язані співвідношенням

де a — поглинальна здатність тіла.

Методами пірометрії вимірюють температуру в печах і інших нагрівальних установках, температуру розплавлених металів, нагрітих газів, полум’я, плазми. Їх широко використовують в автоматизованих системах контролю й керування температурними режимами різноманітних технологічних процесів.

Зовнішній фотоефект

Явище взаємодії електромагнітного випромінювання з речовиною, при якому енергія передається безпосередньо електронам речовини, і вони виходять у навколишній простір, називається зовнішнім фотоефектом.

Експериментально були встановлені такі закономірності фотоефекту:

1) максимальна енергія фотоелектронів не залежить від інтенсивності світла;

2) максимальна енергія фотоелектронів пропорційна частоті падаючого світла;

З) число фотоелектронів пропорційно інтенсивності світла;

4) існує деяке граничне значення частоти n0, яке називається червоною границею фотоефекту – при частоті світла n<n0 фотоефект припиняється;

5) фотоефект практично безінерційний.

Ці закономірності не могли бути пояснені з точки зору хвильової природи світла. Згідно з цією теорією енергія фотоелектронів повинна бути пропорційна інтенсивності падаючого світла, а червоної границі взагалі не повинно існувати.

Правильна теорія фотоефекту дана. Ейнштейном (1905 р.), що виходив з корпускулярних уявлень про природу світла. Згідно з А. Ейнштейном явище фотоефекту являє собою непружне зіткнення кванта світла (фотона) з одним із електронів речовини, в результаті якого електрон, що одержав надлишкову енергію, може вийти за межі речовини. Закон збереження енергії в цьому процесі описується рівнянням Ейнштейна.

(29.17)

де hn — енергія фотона; А — робота виходу електрона з речовини.

З рівняння (29.17) видно, що mv²/2 ~ n, тим самим пояснюється друга закономірність фотоефекту. Існування червоної границі фотоефекту пояснюється тим, що в міру зменшення частоти падаючого світла зменшується також кінетична енергія електронів і при деякій частоті n=n₀ mv²/2=0 фотоефект припиняється.

Порогову частоту n₀ можна знайти з умови hn₀=A, звідки

Інтенсивність світла визначається співвідношенням I=Nhn де N— число квантів світла й тому з ростом інтенсивності світла зростає число актів взаємодії фотонів з електронами (і зростає число електронів, що вилетіли, але не їх енергія). Цим пояснюється перша й третя закономірноcті фотоефекту.

Рівняння (29.17) описує так званий однофотонний фотоефект, коли електроном поглинається лише один фотон (ймовірність одночасного поглинання електроном двох і більш фотонів настільки мала, що нею можна знехтувати). У зв'язку зі створенням потужних джерел монохроматичного випромінювання (лазерів), був виявлений багатофотонний фотоефект. У цьому випадку електрон може одночасно поглинути не один, а кілька фотонів. Рівняння Ейнштейна для багатофотонного фотоефекту приймає вигляд

При цьому гранична частота зсувається в область малих частот.

Явище зовнішнього фотоефекту знаходить широке застосування в техніці для перетворення світлових сигналів в електричні з наступною їх обробкою. Розглянемо основні типи фотоелектричних приладів, які використовують зовнішній фотоефект.

1. Вакуумні фотоелементи — це фотокатод (найчастіше з лужного металу) і анод, поміщені в прозору колбу, у якій створюється високий вакуум. Переваги цих фотоелементів наступні: строга пропорційність між силою фотоструму та світловим потоком; мала інерційність (t~10^-9…10^-10 с); відсутність утомних явищ; високий внутрішній опір. Основний недолік — невисока чутливість ~1...10 мкА/лм. Область застосування – точні вимірювання світлових потоків у лабораторних умовах.

2. Газонаповнені фотоелементи відрізняються від вакуумних тим, щоїх балон заповнюється інертним газом при невисокому тиску (P»0,1...1 Па).

При проходженні через газ фотоелектронів останні іонізують його атоми що приводить до зростання струму й трохи більш високої чутливості ~10…100 мкА/лм. Газонаповнені фотоелементи також мають строгу пропорційність між світловим потоком і силою струму, а їх інерційність (t~10^-9…10^-10 с) достатня для більшості практичних застосувань. Внаслідок протікання необоротних процесів адсорбції газу-наповнювача стабільність їх роботи трохи нижча, ніж у вакуумних фотоелементів.

Рис. 29.4

3. Фотоелектронні помножувачі (рис. 29.4). У цих приладах для посилення фотоструму використається явище вторинної електронноїемісії, що складається у вибиванні з металу вторинних електронів при його бомбардуванні прискореними електронами. При попаданні світла на фотокатод К з нього вибиваються електрони, які прискорюються електричним полем при русі до електрода Е₁, зарядженому позитивно, і вибивають із нього вторинні електрони. Далі цей процес повторюється на наступних електродах Е_2,^,Е₃,···, Е_N і в результаті в ланцюзі анода виникає значний струм. Чутливість фотопомножувачів досить велика й становить 0,1...1 А/лм. Їхні недоліки: складність конструкції й необхідність використання високих напруг (U ~ 1…1,5 кВ). Область застосування – реєстрація дуже слабких світлових потоків.