Понятие о математической модели и передаточной функции системы

 

Динамический объект – это физическое тело, техническое устройство или процесс, имеющее входы – точки возможного приложения внешних воздействий, и воспринимающие эти воздействия, и выходы – точки, значения физических величин в которых характеризуют состояние объекта. Объект способен реагировать на внешние воздействия изменением своего внутреннего состояния и выходных величин, характеризующих его состояние. И воздействие на объект, и его реакция в общем случае изменяются с течением времени, они наблюдаемы, т.е. могут быть измерены соответствующими приборами. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов.

Воздействием на объект может быть некоторая физическая величина: сила, температура, давление, электрическое напряжение и другие физические величины или совокупность нескольких величин, а реакцией, откликом объекта на воздействие, может быть движение в пространстве, например смещение или скорость, изменение температуры, силы тока и др.

Математическая модель – это эквивалент динамического объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства – законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д.

Одним из способов задания математической модели объекта является составление дифференциальных уравнений, описывающих в динамике процесс преобразования входных величин объекта в выходные. При составлении дифференциального уравнения каждого элемента необходимо, прежде всего, выявить физический закон, определяющий его поведение. Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного элемента автоматической системы.

Математическим аппаратом, позволяющим представлять дифференциальные уравнения в виде степенных алгебраических уравнений, является преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа позволяет ввести некоторую обобщенную модель объекта или системы в виде передаточной функции .

Передаточная функция представляет собой отношение изображений по Лапласу выходного сигнала элемента САУ или объекта к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях.

 

 

Пример.

Записать передаточную функцию для RC-цепочки (входная величина – напряжение на входе , выходная величина ­– выходное напряжение ) (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Схема RC-цепочки

 

1 способ

Записываем уравнение по II закону Кирхгофа:

. (1)

; (2)

; (3)

. (4)

Учитывая уравнения (2-4), уравнение (1) имеет вид:

– дифференциальное уравнение (ДУ) цепи.

Переходим к форме Лапласа, заменяя . ДУ примет вид:

. (5)

Передаточная функция цепи представляет собой отношение . Из уравнения (5):

 

, где – постоянная времени цепи.

2 способ

По закону Ома:

.

Передаточная функция цепи:

.

Запишем входное и выходное сопротивления цепи в комплексной форме:

;

.

Для перехода к форме Лапласа заменяем :

;

.

Записываем передаточную функцию цепи:

.

 

Порядок выполнения лабораторной работы

 

Задание 1

Смоделировать следующие виды сигналов в VisSim:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

 

Значения коэффициентов по вариантам (вариант=№ компьютера).

 

Таблица 1 – Значения коэффициентов

Вариант					, град
	2,4			0,5
	1,7			0,8
	2,5			1,2
	3,6			2,5	-30
					-45
				0,9	-60
	4,5			2,5	-45
	1,5				-60

 

Промоделировать данные сигналы при шаге моделирования (меню Simulate-SimulationProperties-Step) 1; 0,1, 0,01, 0,001 c.

 

Задание 2

Задать с помощью блока TransferFunction передаточные функции следующих видов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

Задание 3

 

Записать передаточную функцию RC-цепочки согласно своему варианту (рисунок 1.9).

 

Содержание отчета

 

1. Схемы исследования и результаты моделирования (задание 1).

2. Передаточные функции RC-цепочек, вывод формул (задание 3).

 

Контрольные вопросы

 

1. Что такое динамический объект, математическая модель объекта, передаточная функция?

2. Как задать передаточную функцию элемента системы в VisSim?

3. Как изменить шаг моделирования в VisSim?

 

Рисунок 1.9 – Схемы RC-цепочек

Лабораторная работа № 2

Исследование переходных процессов типовых динамических звеньев первого порядка (интегрируещего и апериодического первого порядка)

 

Цель работы: исследовать переходные процессы идеально-интегрирующего и апериодического первого порядка звеньев.

 

Общие положения

 

Анализ САУ удобно вести по эквивалентным структурным схемам, которые представляют собой соединение типовых динамических звеньев, имеющих определенную передаточную функцию. Передаточная функция представляет собой отношение изображений Лапласа выходного и входного сигналов элемента (системы) при нулевых начальных условиях. Зная правила преобразования структурных схем, определяют эквивалентную передаточную функцию системы и уравнение динамики системы. При исследовании динамических звеньев и системы используют регулярные сигналы:

– единичное ступенчатое воздействие;

– единичный импульс;

– линейно нарастающий сигнал;

– сигнал с постоянным ускорением;

– синусоидальный сигнал.

Как системы, так и звенья могут быть устойчивыми (статическими), нейтральными (астатическими) и неустойчивыми. Под устойчивостью понимают способность САУ или звена возвращаться в исходное состояние равновесия после приложения и снятия воздействия.

Под типовым динамическим звеном в ТАУ понимается часть САУ, описываемая в динамике алгебраическим или дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка. Вид уравнения и определяет название звена. При подаче на вход типового звена регулярных сигналов можно определить его реакцию на данный вид сигнала.

Реакция на единичный ступенчатый сигнал 1(t) называется переходной характеристикой h(t); реакция на δ(t) – функция веса или импульсная переходная характеристика ω(t).

ω(t)=h'(t), т.к. δ(t)=1(t)'.

h(t) и ω(t) являются временными характеристиками звена.

При подаче на вход звена гармонического сигнала или , на его выходе после завершения переходного процесса также наблюдаются колебания.

Частотные свойства звена определяются комплексным коэффициентом передачи:

, (1)

который представляет собой отношение комплексных амплитуд сигналов на выходе и на входе при подаче на вход гармонического сигнала. При изменении частоты входного сигнала от 0 до ∞ можно исследовать спектр входного и выходного сигналов, т.е. получить АФЧХ – амплитудно-фазовую частотную характеристику – траекторию движения конца вектора комплексного коэффициента передачи W(jω), при изменении частоты от 0 до ∞. АФЧХ отражает соотношение амплитуд и фаз сигналов на выходе и входе.

При нулевых начальных условиях уравнение звена в изображениях записывается в виде:

, (2)

где Y(p), X(p) – изображение по Лапласу выходной и входной величин;

– комплексная переменная (оператор Лапласа).

Запишем передаточную функцию, соответствующую уравнению (2):

, (3)

где – входной полином;

– выходной полином.

Обычно принято все члены уравнения динамики (2) делить на свободный член – коэффициент , тогда уравнение записывают таким образом:

, (4)

где – коэффициент усиления, размерность которого зависит от Y и X;

, , , – постоянные коэффициенты, обычно имеющие размерность времени;

, , , .

Линейные динамические звенья принято классифицировать по виду уравнения динамики: на простейшие (безинерционное, идеально-дифференцирующее, идеально-интегрирующее), звенья 1-го и звенья 2-го порядка.

Реакция звена на входной сигнал произвольной формы может быть определена по известной передаточной функции его через обратное преобразование Лапласа:

или решая дифференциальное уравнение при известных начальных условиях и входном сигнале. Если входной сигнал 1(t), т.е.

.

то определяется переходная функция типовых звеньев h(t):

где , – полиномы входной и выходной.

Она находится по таблицам, либо по теореме разложения Хэвисайда:

, (5)

где – k-тый корень полинома знаменателя ;

n – число корней (степень полинома );

.

Изображение по Лапласу гармонических сигналов:

;

.

Таким образом, через обратное преобразование Лапласа может быть определена реакция на любой входной сигнал.

Звенья 1-го и 2-го порядков можно сформировать на основе блока «интегратор» (идеально-интегрирующего звена), вводя обратные связи.

Поэтому при исследовании переходных процессов типовых звеньев необходимо хорошо представлять реакцию идеально-интегрирующего звена на различные типы воздействий.

Уравнение динамики интегрирующего звена выглядит следующим образом:

или , .

Передаточная функция интегрирующего звена и комплексный коэффициент передачи записываются:

 

и , .

 

В соответствии с уравнением (5) переходная характеристика – прямая линия с угловым коэффициентом, зависящим от (рисунок 2.1).

, , .

 

Скорость изменения выходной величины такого звена пропорциональна входной величине.

 

Рисунок 2.1 – Переходная характеристика идеально интегрирующего звена

 

Передаточная функция апериодического звена:

.

Уравнение переходной характеристики: .

 

 

Рисунок 2.2 – Переходная характеристика апериодического звена 1-го порядка

Порядок выполнения лабораторной работы