ТОП 10:

УО «ЧАСТНЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ



УО «ЧАСТНЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ

И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА»

 

 

В. А. Мыцких

 

 

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА АКТИВОВ

 

Курс лекций

 

 

Минск 2010


УДК 65.01(076.6)

ББК 65

М55

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства

Авторы

Старший преподаватель кафедры финансов

Частного института управления и предпринимательства

В.А. Мыцких

 

Рецензенты:

 

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры ……..

От 2010 г.

Мыцких В.А.

М55Экономическая оценка активов: Учеб. пособие / В.А. Мыцких. – Мн.: Частн. ин-т упр. и предпр., 2010.– 120 с.

 

ISBN 985-457-375-3

 

В учебном пособии рассмотрены основы экономической оценки активов. Раскрыты понятия движимого и недвижимого имущества, права собственности, виды сделок с недвижимостью и принципы оценки недвижимости. Рассмотрены элементы финансовой математики, используемые в оценке бизнеса, основные методы оценки бизнеса в рамках доходного, затратного и сравнительного подходов, а также методы оценки контрольного и неконтрольного пакетов акций.

Пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.

УДК 65.01(076.6)

ББК 65

ISBN 985-457-375-3 ã Мыцких В.А. 2010
  ã Частный институт управления и предпринимательства, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................... 5

Тема 1. ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ АКТИВОВ......... 6

1.1. Понятие актива. Виды активов................................................... 6

1.2. Стандарты, методы и виды оценки............................................ 14

1.3. Договор на проведение оценки, заключение и отчет об оценке 16

Тема 2. ПОНЯТИЕ НЕДВИЖИМОГО ИМУЩЕСТВА, НЕДВИЖИМОСТЬ КАК ОБЪЕКТ РЫНОЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ ................................................ 18

2.1. Движимые и недвижимые вещи. Недвижимость по природе и недвижимость по закону............................................................................ 18

2.2. Составляющие недвижимого имущества и особенности объектов недвижимости.............................................................................................. 19

ТЕМА 3. ПРАВО СОБСТВЕННОСТИ НА НЕДВИЖИМОСТЬ......... 21

3.1. Право собственности и иные вещные права............................ 21

3.2. Ограничения прав собственности............................................. 25

Тема 4. ВИДЫ ОПЕРАЦИЙ (СДЕЛОК) С НЕДВИЖИМОСТЬЮ... 28

4.1. Понятие и особенности сделок с недвижимостью.................. 28

4.2. Основные виды сделок с недвижимостью................................ 29

ТЕМА 5. ПРИНЦИПЫ ОЦЕНКИ ИМУЩЕСТВА................................. 37

5.1. Общая характеристика и группировка принципов оценки имущества........................................................................................................................ 37

5.2. Принципы, отражающие точку зрения пользователя.............. 38

5.3. Принципы, отражающие взаимоотношение отдельных частей объекта оценки........................................................................................................... 39

5.4. Принципы, отражающие точку зрения рынка........................... 42

5.5. Принцип, наиболее эффективного использования объекта оценки 45

Тема 6. ЭЛЕМЕНТЫ ФинансовоЙ МАТЕМАТИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ОЦЕНКИ БИЗНЕСА И НЕДВИЖИМОСТИ.......................................... 46

6.1. Виды денежных потоков............................................................... 46

6.2. Шесть функций сложного процента........................................... 48

6.2.1. Функции наращения................................................................ 48

6.2.1.1. Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма единицы)....................................................................................................... 48

6.2.1.2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)........................................................................................................................ 50

6.2.1.3. Фактор фонда возмещения................................................ 52

6.2.2. Функции дисконтирования.................................................... 53

6.2.2.1. Текущая стоимость единицы (реверсии)......................... 53

6.2.2.2. Текущая стоимость аннуитета........................................ 54

6.2.2.3. Взнос на амортизацию единицы ...................................... 56

Тема 7. ДОХОДНЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ СТОИМОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ (БИЗНЕСА).................................................................................................. 58

7.1. Основные положения доходного подхода................................ 58

7.2. Метод капитализации дохода..................................................... 60

7.3. Метод дисконтирования денежных потоков............................. 65

7.4. Определение ставок дисконтирования....................................... 76

7.4.1. Метод кумулятивного построения........................................ 78

7.4.2. Модель оценки капитальных активов.................................. 80

7.4.3. Модель средневзвешенной стоимости капитала................ 82

Тема 8. ЗАТРАТНЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ СТОИМОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ (БИЗНЕСА) ................................................................................................ 83

8.1. Основные положения затратного подхода............................... 83

8.2. Метод балансового накопления активов.................................. 84

8.3. Метод чистых активов (метод накопления активов)............... 86

8.4. Метод скорректированной балансовой стоимости.................. 91

8.5. Метод ликвидационной стоимости............................................ 92

Тема 9. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ БИЗНЕСА....... 93

9.1. Особенности сравнительного подхода к оценке бизнеса....... 93

9.2. Методы рынка капитала и сделок............................................... 95

9.2.1. Сходство и различие методоврынка капитала и сделок.... 95

9.2.2. Применение оценочныхмультипликаторов......................... 97

9.3. Метод отраслевых соотношений.............................................. 104

9.4. Сущность согласования результатов оценки......................... 105

Тема 10. ОЦЕНКА ЧАСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ, АКЦИИ, КОНТРОЛЬНОГО И НЕКОНТРОЛЬНОГО ПАКЕТА АКЦИЙ, ДОЛИ В УСТАВНОМ ФОНДЕ ЮРИДИЧЕСКОГО ЛИЦА....................................................................... 107

10.1. Оценочная стоимость пакета акций (доли).......................... 107

10.2. Оценка рыночной стоимости части предприятия................. 108

10.2.1. Оценка стоимости миноритарного пакета акций (доли) 110

10.2.2. Оценка стоимости мажоритарногопакета акций (доли) 112

10.3. Расчет премии и скидок с учетом степени контроля и ликвидности пакета акций.............................................................................................. 113

 

Литература......................................................................................... 116

 


ВВЕДЕНИЕ

 

В условиях рыночной экономики для принятия эффективных управленческих решений собственникам и руководству предприятием часто требуется информация о стоимости бизнеса. В проведении оценки бизнеса заинтересованы и другие стороны: государственные структуры (контрольно-ревизионные и другие органы), кредитные организации, страховые компании, поставщики, инвесторы и акционеры.

Повышение стоимости предприятия – один из показателей роста доходов его собственников. Поэтому периодическое проведение оценки стоимости бизнеса можно использовать для анализа эффективности управления предприятием. Традиционные методы финансового анализа основаны на расчете финансовых коэффициентов и только на данных бухгалтерской отчетности предприятия. Однако наряду с внутренней информацией в процессе оценки стоимости предприятия необходимо анализировать данные, характеризующие условия работы предприятия в регионе, отрасли и экономике в целом.

Результаты оценки бизнеса, получаемые на основе анализа внешней и внутренней информации, необходимы не только для проведения переговоров о купле-продаже – они играют существенную роль при выборе стратегии развития предприятия: в процессе стратегического планирования важно оценить будущие доходы предприятия, степень его устойчивости и ценность имиджа; для принятия обоснованных управленческих решений необходима инфляционная корректировка данных финансовой отчетности, являющейся базой для принятия финансовых решений; для обоснования инвестиционных проектов по приобретению и развитию бизнеса нужно иметь сведения о стоимости всего предприятия или части его активов.

Знание основ оценки стоимости предприятия (бизнеса) и управления ею, умение применять на практике результаты такой оценки – залог принятия эффективных управленческих решений, достижения требуемой доходности предприятия.


Рисунок 1.2 – Различия в определении величины гудвилла и премии при приобретении организации

 

Доходные вложения в материальные ценности.Это вложения в активы, предоставляемые организацией за плату во временное владение и пользование (по договорам аренды (лизинга), прокат, найма) с целью получения дохода. Доходные вложения также отражаются по остаточной стоимости. При этом справочно приводятся: первоначальная стоимость и сумма начисленной амортизации. Расшифровка состава активов, предоставляемых во временное владение и пользование с целью получения дохода, приводится в приложении к бухгалтерскому балансу (форма 5).

Вложения во внеоборотные активы.Данная балансовая статья включает затраты организации на приобретенное оборудование к установке, незавершенное строительство и непосредственно вложения во внеоборотные активы. Учитываются по фактически произведенным затратам.

Прочие внеоборотные активы.Как следует из названия статьи в ней учитываются другие долгосрочные активы и вложения, не нашедшие отражения в вышеназванных статьях раздела I бухгалтерского баланса.

Раздел II. Оборотные активы (оборотный капитал, текущие, мобильные, краткосрочные активы) – это такие активы, которые предполагается превратить в денежные средства в течение финансового года.Оборотные активы как категория постоянно присутствуют в балансе, однако элементы этого раздела постоянно находятся в обращении, т. е. превращаются в денежные средства и другие краткосрочные активы.Этими активами необходимо постоянно и эффективно управлять для получения адекватного процента прибыли. Оборотные активы включают:

· запасы и затраты (материально производственные запасы) (inventories);

· налоги по приобретенным активам[2];

· дебиторская задолженность (счета к получению) (account receivable);

· расчеты с учредителями;

· денежные средства (наличные средства) (cash);

· финансовые вложения (рыночные ценные бумаги) (marketable securities);

· прочие оборотные активы (other current assets).

Запасы и затраты. Они представляют собой остатки товарно-материальных ценностей, приобретенных или произведенных организацией. А именно, запасы материалов, запасы готовой продукции на складах, незавершённое производство, полуфабрикаты.

Особенности учета материальных затрат в себестоимости продукции находят отражение в учетной политике организации. Они могут учитываться по средневзвешенным ценам; по учетным ценам с учетом отклонений от их фактической стоимости; по ценам последнего приобретения (ЛИФО)[3]. В зарубежной практике используется и метод ФИФО[4].

Налоги по приобретенным товарам, работам, услугам (строка 220). По данной статье приводятся суммы налога на добавленную стоимость, учитываемые по счету 18 «Налог на добавленную стоимость по приобретенным товарам, работам, услугам»; суммы акцизов и иные аналогичные налоги.

Дебиторская задолженностьэто деньги, которые должны быть возвращены организации покупателями, купившими товары с отсрочкой платежа, в кредит или по договору финансового лизинга. А также задолженность поставщиков по оплаченной, но еще не поставленной продукции (работам, услугам). Кредит предоставляется на вполне определённый срок (например, 30, 60, 90 дней). Расчеты по лизингу осуществляются в течение нескольких лет. Не все должники возвращают деньги вовремя. В этом случае образуется просроченная дебиторская задолженность. Это обстоятельство надо учитывать и своевременно предпринимать меры по взысканию просроченной дебиторской задолженности. Следует помнить, что срок исковой давности – 3 года, после чего должник имеет законное право списать задолженность.

Денежные средства (наличные деньги, денежная наличность)это средства, которые находятся в кассе предприятия или на текущем счете в банке.

Финансовые вложения(Рыночные ценные бумаги). В зарубежной практике финансовые вложения подразделяются на долгосрочные финансовые вложения и краткосрочные финансовые вложения.

Долгосрочные инвестиции являются специфическим видом активов организации, которые позволяют принести ей прибыли от деятельности, не совпадающей с основной производственной деятельностью. Этот вид активов включает:

· инвестиции в ценные бумаги, которые подразделяются на инструменты собственности (привилегированные и обыкновенные акции) и долговые обязательства других компаний (облигации, долгосрочные векселя, закладные);

· инвестиции в материальные необоротные средства, которые не используются в хозяйственной деятельности, а предназначены для перепродажи;

· инвестиции в дочерние компании, филиалы, совместные предприятия, если данные об их отчетности не входят в консолидированную (объединенную) отчетность компании и ее сателлитов;

· инвестиции, отвлеченные в специальные фонды, например, денежные средства, законсервированные для будущего целевого использования с целью погашения облигаций, покупки пакета акций и т.д.

Основную долю инвестиций, как правило, составляют ценные бумаги других компаний или государства. В отличие от рыночных ценных бумаг долгосрочные инвестиции покупаются на срок более одного года, не обязательно являются легко реализуемыми (имеют меньшую ликвидность) и служат целям реализации долгосрочной программы предприятия в соответствии с его инвестиционной стратегией. Первоначальная стоимость акций и облигаций включает цены приобретения, брокерскую комиссию и другие сборы. В дальнейшем с течением времени эта стоимость может меняться в соответствии с принятым методом оценки ценных бумаг в инвестиционном портфеле компании. Обычно используется принцип наименьшей стоимости из двух вариантов: рыночной цены ценных бумаг и их себестоимости.

С экономической точки зрения нет никакой разницы между долгосрочными и краткосрочными инвестициями (это всегда вложения средств в ценные бумаги, включая акции других компаний, государственные облигации, займы другим компаниям и др.). Различия базируются полностью на намерениях менеджмента по поводу предполагаемого периода владения акциями.

Прочие оборотные активы. По данной статье показываются суммы, не нашедшие отражения по другим вышеприведенным статьям данного раздела.

В зарубежной практике допускается не выделять «Прочие внеоборотные активы» и «Прочие оборотные активы». Но при этом выделяют «Прочие активы», не дифференцированные как краткосрочные или долгосрочные активы. Они обычно включают: «Отложенные налоги» и «Расходы будущих периодов».

По отношению к любому активу можно выделить следующие возможные решения с позиций покупателя и собственника (рис. 1.1):

Актив целесообразно приобретать, если будущие экономические выгоды от него превысят затраты на его приобретение.

Актив следует реализовать, если затраты по сохранению контроля над ним или выручка от его реализации превышают экономическую выгоду.

 

 
 


Рисунок 1. 1- Варианты возможных решений по отношению к активу с позиций покупателя и собственника

Частей объекта оценки

(Принципы, связанные с землей, зданиями, сооружениями; Принципы, отражающие компоненты объекта оценки; Принципы, связанные с эксплуатацией недвижимости.).

Принцип вклада – принцип оценки, который утверждает, что вклад

определяется суммой, на которую изменяется стоимость объекта оценки вследствие наличия или отсутствия какого-либо элемента в факторах производства.

Оноснован на измерении стоимости, вносимой каждым дополнительным элементом в общую стоимость объекта. Улучшения следует производить в разумных пределах, так как произведенные затраты на добавление дополнительного элемента (вклада) могут не соответствовать последовавшему увеличению стоимости объекта.

Пример.Проведена модернизация оборудования, позволившая повысить доходность предприятия. Рассмотрим две ситуации:

№ п/п   Стоимость предприятия до модернизации оборудования, млн. руб. Затраты на модернизацию, млн. руб. Рыночная стоимость предприятия после модернизации, млн. руб. Вклад модернизации оборудования в стоимость предприятия, млн. руб.
1 000 1 150
1 000 1 500

 

В примере показано, что произведенные затраты на добавление дополнительного элемента (вклада) могут не соответствовать последовавшему увеличению стоимости объекта. Так, в первом случае затраты на улучшения составили 200 млн. руб., а последовавший рост стоимости предприятия (вклад улучшения в стоимость) составил всего 150 млн. руб.

Доходность бизнеса – это результат действия четырех факторов производства: земли, рабочей силы, капитала и управления.

Для оценки предприятия нужно знать вклад каждого фактора в формирование дохода предприятия. Включение любого дополнительного актива в систему предприятия экономически целесообразно, если получаемый прирост стоимости предприятия больше затрат на приобретение этого актива. При оценке бизнеса необходимо учесть возможность произвести улучшения, которые повлекут увеличение его стоимости, например:

– если на складе установлена самооткрывающаяся дверь, то затраты на ее установку вряд ли будут покрыты увеличением стоимости объекта;

– отделка цехов, скорее всего, не повлияет на доход от производства и стоимость предприятия, но такой вклад, как прием на работу нового управляющего с более высокой заработной платой, может сказаться положительно на результатах производства и соответственно стоимости предприятия;

– устройство места для парковки автомобилей может существенно повысить стоимость магазина розничной торговли.

Принцип добавочной продуктивности[9] – принцип оценки, который утверждает, что добавочная продуктивность определяется чистым доходом, относящимся к земле, после компенсации затрат на труд, капитал и управление.

Так как земля физически недвижима, факторы рабочей силы, капитала и управления должны быть привлечены к ней. Сначала должна быть произведена компенсация за эти факторы, а оставшаяся сумма денег идет в оплату пользования земельным участком ее собственнику.

Остаточная продуктивность может быть результатом того, что земля дает возможность пользователю извлекать максимальные доходы или до предела уменьшать затраты. Например, предприятие будет оценено выше, если земельный участок способен обеспечивать более высокий доход или если его расположение позволяет минимизировать затраты:

– дорогой ресторан лучше открыть в престижном районе, где остаточная продуктивность выше, чем на окраине города;

– максимальную выручку магазину способен обеспечить участок, находящийся на видном месте, имеющий хорошую пешеходную и транспортную доступность для большого количества покупателей;

– размещать горнообогатительный комбинат в городе, отдаленном от места добычи сырья, нецелесообразно из-за высоких издержек на доставку сырья для переработки.

Принцип возрастающей и уменьшающей отдачи[10] – принцип оценки, который утверждает, что по мере увеличения какого-либо ресурса в одном из факторов производства рост чистой отдачи сначала увеличивается, а затем начинает уменьшаться.

Дальнейшие улучшения не будут вызывать приемлемого увеличения стоимости или даже компенсировать произведенные затраты. Например, в кафе постоянно обновлялся интерьер и расширялся ассортимент предлагаемых блюд и напитков. Сначала посетителей становилось больше, затем, с ростом цен в результате увеличения затрат, остались только клиенты, имеющие достаточно высокий уровень дохода, а поскольку их количество ограничено, кафе стало нести убытки.

Увеличение объема инвестиций в развитие производства будет сопровождаться приростом прибыли только до определенного момента, после чего темп прироста прибыли начнет снижаться.

При оценке предприятия нужно учитывать, что устаревшее технологическое оборудование потребует полной замены, оплаты демонтажа и монтажа нового оборудования, а высококвалифицированных работников, имеющих большой опыт работы на устаревшем оборудовании, будет дорого и трудно переучивать.

Принцип сбалансированности – принцип оценки, который утверждает, что любому имуществу соответствует оптимальное сочетание факторов производства, при котором достигается максимальная стоимость объекта оценки.

Предприятие – это система, а одной из закономерностей развития и существования системы является сбалансированность, пропорциональность ее элементов. Наибольшая эффективность предприятия достигается при объективно обусловленной пропорциональности факторов производства. Различные элементы системы предприятия должны быть согласованы между собой по пропускной способности и другим характеристикам. Например, при оценке учитывается последовательное расположение цехов в соответствии с технологическим циклом и их производительность.

Одним из важных моментов действия данного принципа является соответствие размеров предприятия потребностям рынка: если предприятие является слишком большим для удовлетворения потребностей рынка, то его эффективность падает, особенно если затруднена доставка ресурсов или товаров.

Пример.Фабрика по производству тортов производит слишком много этой продукции для местного рынка. Торты – продукция скоропортящаяся и не подлежит длительным перевозкам в другой населенный пункт из-за возможной потери внешнего вида, значит, наблюдается несбалансированность размеров фабрики потребностям рынка.

Принцип экономического размера – принцип оценки, который утверждает, что на рынке существует оптимальное количество факторов производства, необходимое для наиболее эффективного использования объектов оценки.

Принцип экономического разделенияпринцип оценки, который утверждает, что имущественные права на объект оценки следует разделять и соединять таким образом, чтобы стоимость объекта оценки при этом увеличивалась.

При разделении физических элементов недвижимости и имущественных прав на них возможны следующие варианты:

– пространственное разделение – разделение прав на пользование воздушным пространством, поверхностным участком земли и недрами; на водные ресурсы прибрежных полос, разбиение земельного массива на отдельные участки, разделение здания на подвальное помещение, этажи, мансарду и т.д.

– по времени владения или пользования – краткосрочная и долгосрочная аренда, пожизненное владение, право хозяйственного ведения, оперативного управления, будущие имущественные права;

– по видам имущественных прав – аренда, ограниченное использование, ипотека, внесение в уставные фонды предприятий, эмиссионное обеспечение для выпуска акций;

– по правам кредитора вступить во владение предприятием – закладные, залоги, судебные залоги, участие в капитале.

Производственное помещение, например, можно продать вместе, а можно отдельно от имеющегося оборудования.

Рис. 5.1 – Сущность принципа наиболее эффективного использования

физическая (техническая) осуществимость наиболее доходного варианта использования определяется в результате анализа транспортной доступности, возможности подключения к коммунальным удобствам, анализа затрат и сроков реализации проекта, учета качества грунта предназначенного под застройку участка, вероятность стихийных бедствий;

соответствие законодательству – соответствие варианта использования экологическим нормативам, правилам пожаробезопасности, строительным ограничениям и т.п.

При оценке недвижимости данный принцип является ключевым, на нем базируется решение о величине стоимости объекта оценки. Возможна ситуация, когда в центре большого города торговые помещения в среднем стоят вдвое дороже жилых. Продавец квартиры на первом этаже с окнами на шумную улицу, которая может быть без особых затрат переоборудована в магазин, может не подозревать о таком способе ее использования и назначить цену продажи, ориентируясь на цены сделок с жилыми помещениями, т.е. недооценить продаваемое имущество. Именно поэтому при оценке недвижимости определение наиболее эффективного использования оцениваемого объекта является обязательным.

Данный принцип важен и при анализе стоимости земельного участка. В случае отличия текущего использования земли от наилучшего и наиболее эффективного, стоимость пустующего земельного участка может превышать стоимость имеющихся на нем улучшений и может быть принято решение об их сносе с целью использования участка оптимальным образом. Например, участок с индивидуальным домом в районе коммерческой застройки желательно отдать под такую застройку.

Если текущее использование земельного участка отлично от наилучшего варианта использования, но стоимость имеющихся на нем зданий и сооружений превышает его стоимость, то текущее использование будет продолжаться до тех пор, пока стоимость земли при условии ее наилучшего использования не превысит стоимость имущества при текущем использовании.

Результаты анализа лучшего и наиболее эффективного использования учитываются при определении стоимости имущества, при выборе варианта строительства и реконструкции, при анализе инвестиционных проектов.

При определении стоимости бизнеса принцип наиболее эффективного использования применяется, если оценка проводится в целях инвестирования, реструктуризации, разработки плана развития.

 

Виды денежных потоков.

 

Часто бывает, что мы имеем дело не с единичным платежом, произведенным в определенный момент времени, а с серией платежей, происходящих в различные моменты времени. В общем случае, когда платежи неодинаковы по знаку, размеру и временным интервалам, то применяется термин денежный поток (от англ. cash flow) (рисунок 6.1).

Последовательность платежей, разделенных равными интервалами времени, называется равномерной финансовой рентой или равномерным потоком платежей (рисунок 6.2). Равномерный поток платежей одинакового размера называется постоянной финансовой рентой или аннуитетом (от англ. annuity) (рисунок 6.3).

Платежом k-го периода называется единовременный денежный вклад (платеж) в этом периоде. Он обозначается через РМТ (от payment – оплата, платеж) или А (от аннуитет).

Аннуитеты подразделяются на обычные и авансовые (рисунок 6.4).

Аннуитет называется обычным (постнумерандо), если платежи осуществляются в конце каждого платежного периода, и авансовым (пренумерандо), если платежи осуществляются в начале платежного периода.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо. В частности это связано с подведением итогов по окончании отчетного периода и определенным удобством отнесения неравномерных (в действительности) поступлений к концу периода, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы их оценки.

Рисунок 6.4 – Типы аннуитета.

 

Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для их последующего инвестирования.

 

Функции наращения

Рисунок 6.7 – Будущая стоимость денежной единицы

 

Пример. $1000 вложено в банк под 10 % годовых. Какая сумма накопится на счете через 5 лет? 10% переводим в относительные единицы, для этого делим их на 100% и получаем 10% / 100% =0,1.

FV5= 1000 (1+ 0,1)5= 1610,5.

Правило 72-х. Иногда при расчетах приходится сталкиваться с задачей определения количества периодов начисления, по истечении которых первоначально депонированная сумма увеличивается вдвое. Очень просто решить эту задачу позволяет известное «Правило 72-х», согласно которому – количество периодов, необходимое для удвоения первоначальной суммы вычисляется по формуле:

n = 72 / r.

 

Данное правило позволяет получить точные результаты при значениях r: 3% < r < 18%. Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.

Например, при ставке 6% годовых сумма удвоится за 72 / 6 = 12 лет.

Более частое, чем один раз в год, начисление процентов.Приведенные выше расчеты основывались на том предположении, что начисление процентов происходит один раз в год. Однако аккумулирование может происходить не только раз в год, но и чаще, например раз в квартал, раз в месяц и т. д. В этом случае необходимо ставку процента разделить на частоту накопления в течение года (m), а число лет накопления (n) умножить на частоту накопления в течение года (m). Формула расчета будет выглядеть следующим образом:

 

FV = PV (1 + r/m)n*m,

 

где m – частота начисления процентов в год;

n – число лет, в течение которых происходит накопление.

Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма. Приведенное преобразование справедливо в отношении всех шести функций.

 

6.2.1.2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)

Данная функция показывает, какой будет стоимость серии равных

платежей величиной (А) по истечении установленного срока их наращения (n) (рисунок 6.8).

Рисунок 6.8 – Будущая стоимость аннуитета постнумерандо

 

Из рисунка 6.8 видно, что будущая стоимость исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо (FVАpst) может быть оценена как сумма наращенных поступлений.

Очевидно, что будущая стоимость последнего платежа совпадает с величиной самого платежа, т.к. отсутствует период наращения:

FV0= А.

Будущая стоимость предпоследнего платежа будет наращена за один период и составит:

FV1= А·(1+r).

Аналогично наращиваются все платежи. Будущая стоимость первого платежа будет наращена за (n-1) периодов и составит:

FVn-1= А·(1+r) n-1.

Их общую сумму можно выразить как:

FVАpst = А·(1+r)n-1+ А·(1+r)n-2+ ...+ А·(1+r) + А

 

Вынесем (А) за знак скобки и обозначим (1+r) через (q). Получим выражение:

FVА = А·(qn-1+ qn-2+ ...+ q + 1).

 

Теперь отчетливо видно, что многочлен, содержащийся в скобках, называемый мультиплицирующий множитель и обозначаемый (FМ3(r, n)), представляет собой сумму членов геометрической прогрессии (S), но записанной в обратном порядке:

S = 1 + q + q2… + qn-2+ qn-1

 

Умножим обе части этого уравнения на (q) и получим:

 

S·q = q + q2… + qn-1+ qn

 

Вычтя из полученного уравнения предыдущее, получим:

 

S·q – S = qn–1.

Отсюда

S = (qn– 1) / (q – 1)

 

Теперь, подставив вместо (q) его значение (1+r), получаем формулу расчета мультиплицирующего множителя:

 

FМ3(r, n) = S = ((1+r)n– 1)/r

 

Следовательно, выражение для будущей стоимости обычного аннуитета величиной (А) за (n)периодов будет иметь вид:

 

FVАpst = А·FМ3(r, n) = А·((1+r)n– 1)/r).

 

Данный мультипликатор еще называют - процентный множитель будущей стоимости аннуитета FVIFA(r, n) – Future Value Interest Factor of Annuity.Экономический смысл мультиплицирующего множителя заключается в том, что он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного (на определенный срок) накопленного аннуитета величиной в одну денежную единицу к концу срока его действия.

Поскольку значения множителя (FМ3(r, n)) зависит лишь от (r) и (n), то они рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах.

Пример. Если вкладывать ежегодно $900 на счет в банке под 10% годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?

 

FVА5= 900·((1+0,1)5− 1) / 0,1) = 5494,59

 

Теперь рассмотрим случая авансового аннуитета (рисунок 6.9).

Как и в случае обычного, рассмотрим накопленные суммы в конце первого, второго ... n-го периода:

FV1= А·(1+r) ,

FV2= А·(1+r)2,

…………………………………………….……….

FVn= А· (1+r)n

FVАpre = А·(1+r)n+А·(1+ r)n −1+...+ А·(1+r)2+ А·(1+r).

Рисунок 6.9 – Будущая стоимость авансового аннуитета (пренумерандо)

 

Сравнив формулы расчета FVАpst и FVАpre, легко убедиться, что

 

FVАpre = FVАpst (1+ r).

 

Произведя соответствующее умножение, получим:

 

FVАpre = FVАpst·(1+ r) = А· ((1+r)n– 1)/r) (1+ r) =

= А· ((1+r)n+1– 1 – r)/r) = А· ((1+r)n+1– 1)/r) – 1).

 

Периодические депозиты могут вноситься чаще, чем один раз в год, соответственно чаще накапливается процент. При этом количество начислений увеличится в m раз и составит (n·m), а ставка уменьшится в m раз и составит (n/m). Тогда ранее полученная формула примет вид:

 

FVАn= А·(((1+r/m)(n+1)m– 1)/r/m) – 1).

 

Чем чаще делаются взносы, тем больше накопленная сумма.

Пример. Если вкладывать ежемесячно $75 на счет в банке под 10 % годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?

FVА5= 75 (((1+0,1/12) 5·12– 1) / 0,1/12 = 5807,78.

 

Фактор фонда возмещения

Данная функция позволяет рассчитать величину периодического платежа (А или SFF, как его в таком случае называют), необходимого для накопления нужной суммы (FVА) по истечении (n)платежных периодов при заданной ставке процента (r) (рисунок 6.10).

Рисунок 6.10 – Периодический взнос в фонд накопления

 

Из формулы будущей стоимости аннуитета (FVА = А·FМ3(r, n)) следует, что величина каждого платежа (SFF или А) в случае обычного аннуитета вычисляется следующим образом:

 

SFFpst = Аpst = FVА / FМ3(r, n) = FVА·r/((1 + r)n− 1) = FVА·FМ5(r, n) .

 

где FМ5(r, n) = r/((1 + r)n− 1) – мультиплицирующий множитель, значения которого рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах.

Экономический смысл множителя FМ5(r, n) состоит в том, что он показывает величину периодических платежей необходимых для накопления одной денежной единицы через (n) периодов.

Пример. Необходимо за 4 года скопить $1000 при ставке банка 10%. Сколько придется вкладывать каждый год?

SFF = 1000 (0,1 / ((1 + 0,1)4− 1) = 215,47.

 

В случае авансового фонда возмещения (соответствующего авансовому аннуитету) формула единичного платежа (SFFpre) имеет вид:

 

SFFpre = FVА·r/((1 + r)(n+1)− 1− r).

Функции дисконтирования

Рисунок 6.11 – Текущая стоимость реверсии

 

Экономический смысл множителя FМ2(r, n) состоит в том, что он показывает сегодняшнюю цену одной денежной единицы будущего, т.е. чему с позиции текущего момента равна одна денежная единица, генерируемая через (n) периодов от момента расчета при заданной процентной ставке (r). А т.к. знаменатель дроби больше единицы, то приведенная стоимость будет ниже будущей стоимости.

Пример. Сколько нужно вложить на счет в банке, приносящий 10% годовых, чтобы через 5 лет на нем было $100.

 

PV = 100 ·1/(1 + 0,1)5= 62,09.

 

Текущая стоимость аннуитета

Часто бывает так, что требуется оценить текущую стоимость серии будущих платежей, т. е. аннуитета. Как и в случае будущей стоимости аннуитета, аннуитет может быть обычный и авансовый.







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.209.82.74 (0.052 с.)