Уравнения равнопеременного вращения тела

Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно, называется равнопеременным вращением.

Если величина увеличивается, то вращение называется равноускоренным, если уменьшается – равнозамедленным.

Разделим переменные:

Проинтегрируем:

Разделим переменные:

Проинтегрируем:

В результате получим:

В общем случае:

– уравнение равнопеременного движения.

Знак «+» – соответствует ускоренному вращению,

«–» – замедленному.

 

3.2.1.Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

 

Рассмотрим точку М, находящуюся на расстоянии h от оси вращения Аz.

При вращении точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время происходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда скорость точки будет равна

Рис. 2.10 или (21)

Скорость называют еще линейной или окружной скоростью точки М.

Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой М окружности.

Как следует из формулы, линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

 

Рис. 2.11

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами:

В нашем случае . Подставляя сюда значение , получим:

или окончательно

 

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно или в обратную, если тело вращается замедленно); нормальное всегда направлено по радиусу h к оси вращения.

 

Рис. 2.12

Полное ускорение точки М будет равно

или

(23)

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле

Подставляя сюда значения и , получаем:

 

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.

Основные понятия.

Сложное движение называется движение точки относительно двух систем отсчета, одна из которых неподвижна, другая произвольно перемещается относительно неподвижной системы координат.

Движение тоски М относительно неподвижной системы координат (О, х₁, у₁, z₁) называется абсолютным. Скорость и ускорение в этом движении называются абсолютной скоростью и абсолютным ускорением, обозначаются .

Движение точки М относительно подвижной

Рис. 2.13 системы координат (О, х, у,

z), называется относительным. Скорость и ускорение в этом движении называются относительной скоростью и относительным ускорением, обозначаются .

Подвижная система координат и все, что с ней неразрывно связано, называется переносной средой.

Движение точки М вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной называется переносным движением. Скорость (ускорение) той точки переносной среды, с которой в данный момент времени совпадает наша точка, называются переносной скоростью (ускорением), обозначаются .

Примером может служить движение человека по эскалатору. Движение эскалатора есть переносное движение, движение человека вниз или вверх по эскалатору есть относительное, а движение по отношению к неподвижным стенам – абсолютное.

Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета, которое названо абсолютным, является сложным, состоящим из относительного и переносного движения точки. Основная задача изучения сложного движения состоит в установлении зависимостей между скоростями и ускорениями относительного, переносного и абсолютного движения точки.

 

Сложение скоростей.

Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ, совершает за промежуток времени относительное перемещение, определяемое вектором .

Рис. 2.14

Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями (О, х, y, z) (на рисунке не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение А₁, В₁.

Одновременно та же точка кривой АВ, с которой в момент времени совпадает точка М, совершит переносное перемещение, . В результате этих движений точка М придет в положение М₁ и совершит за время абсолютное перемещение .

Из векторного треугольника ММ^//М₁

Деля обе части на и переходя к пределу получим:

По определению:

Что касается последнего соотношения, то так как при кривая А₁В₁ стремится к совпадению с кривой АВ, то в пределе будем иметь

В результате находим, что

(24)

То мы доказали следующую теорему о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Направлены векторы по касательным к соответствующим траекториям (рис.2.15).

Рис. 2.15

 

Модуль абсолютной скорости:

С помощью параллелограмма скоростей решается ряд задач кинематики точки:

– зная и можно найти абсолютную скорость,

– зная и направления скоростей и , можно найти модули этих скоростей,

– зная скорость и можно найти скорость

.