Произвольная пространственная система сил.

3.2.1. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве.

В случае плоской системы сил момент силы относительно точки определён как алгебраическая величина: . При пространственном расположении сил этого определения не достаточно, так как плоскости, проходящие через линии действия сил и точку, относительно которой определяется момент, различны. Поэтому момент силы P относительно точки О в пространстве определяют как векторное произведение , где - вектор радиус проведенный из точки О в точку приложения силы.

 

Таким образом вектор направлен перпендикулярно плоскости, содержащий линию действия силы и точку О, так что сила с конца его вектора видно направление против часовой стрелки.

Рис. 1.40

 

Модуль вектора равен:

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Рис. 1.41

 

Если сила с конца оси z видно направление вокруг точки О против часовой стрелки то момент положительный.

Итак, момент силы относительно точки – вектор, а момент силы относительно оси – скалярная величина.

При вычислении моментов относительно оси надо иметь следующие частные случаи:

1. Если сила параллельна оси, то её момент относительно оси равен нулю .

2. Если линия действия силы пересекает ось, то её момент относительно оси равен нулю .

3. Если сила перпендикулярна оси, то её момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью.

Получим аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат.

Рис. 1.42

Спроецируем силу на плоскость и разложим полученную проекцию на составляющие и ; численно эти составляющие будут, очевидно, равны проекциям силы на оси . Тогда

Последнее равенство вытекает из теоремы Вариньона. Но как видно из чертежа, следовательно . Аналогично вычисляются моменты относительно других осей.

В результате получим:

 

3.2.2. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси.

Рис. 1.43

Пусть на тело действует приложенная в точке сила . Проведём ось и возьмем на ней произвольную точку . момент силы относительно центра будет изображаться вектором , перпендикулярным плоскости , причём по модулю

.

Проведём теперь через любую точку плоскость , перпендикулярную оси ; проецируя силу на эту плоскость, найдём:

Но треугольник представляет собой проекцию треугольника на плоскость . Угол между плоскостями треугольников равен .

Тогда .

Умножим обе части уравнения на 2, находим

Так как произведение даёт проекцию или .

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно центра, лежащего на этой оси. Или проекция вектора момента силы относительно центра на ось, проходящую через центр, равен моменту силы относительно этой оси.

 

3.3.3. Главные векторы сил и моментов.

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма сил системы.

Рассмотрим систему сил, как угодно ориентированных в пространстве. Вычислим моменты этих сил относительно точки .

 

Векторы все приложены в точке . Построим многоугольник векторов моментов. Замыкающая сторона этого многоугольника – главный момент относительно неподвижного центра

Рис. 1.44

 

Таким образом, главным моментом пространственной системы сил относительно центра называется геометрическая сумма моментов сил системы относительно того же центра.

Главным моментом пространственной системы сил относительно неподвижной оси называется алгебраическая сумма моментов сил системы той же оси.

3.2.4. Приведение пространственной системы сил к заданному центру.

Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо).

 

Рис. 1.45

 

Приведём силу к центру . В точке приложим систему сил , причём

Силы образуют пару, момент которой .

При приведении сил к заданному центру получаем в этом центре силу, геометрически равную заданной, и пару, момент которой равен моменту силы относительно центра приведения.

Теорема

При приведении пространственной системы сил к центру всегда получим силу, называемую главным вектором сил, приложенную в центре приведения и пару сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.

Доказательство:

Пусть имеем систему сил, как угодно ориентированных в пространстве (ограничимся тремя силами). Каждую силу приводим к центру на основании метода Пуансо. В точке получим систему сходящихся сил . Геометрическая сумма этих сил – есть главный вектор: .

Векторы моментов

Рис. 1.46 так же образуют систему, сходящихся

векторов. Их геометрическая сумма – есть

главный момент системы сил

относительно центра .

3.2.5. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил.

Главный вектор:

.

Спроектируем обе части этого векторного соотношения на оси .

Тогда модуль равен:

Направление определяется направлением косинусов:

Рис. 1.47

Главный момент

Спроектируем данное векторное соотношение на оси :

Модуль главного момента равен

Направление определяем направлением косинусов:

 

3.2.6. Условия и уравнения равновесия пространственной системы сил.

Теорема

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю.

Доказательство:

Достаточность.

При , система сходящихся сил, приложенных в центре приведения эквивалентна нулю, а при - система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Необходимость. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Тогда необходимо, чтобы .

Если какое-либо из этих условий не выполняется, то система сил приводится либо , либо к паре, момент которой и следовательно, не является уравновешенной, что противоречит исходной предпосылке.

Уравнения равновесия:

В случае произвольной пространственной системы сил задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более шести.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.

Сила тяжести – равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена

по всему объёму тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твёрдого

тела, образуют систему сил, линии, действия которых сходятся в центре

Земли. Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого

земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.

 

Рис. 1.48

Для определения точки приложения силы тяжести (равнодействующей параллельных сил) используем теорему Вариньона о моменте равнодействующей:

Момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно этой оси.

Изображаем тело, составленное из нескольких частей - силы тяжести частей, приложены в центрах тяжести частей.

Пусть равнодействующая (сила тяжести всего тела) – приложена в неизвестном пока центре .

– координаты центра тяжести .

– координаты центров тяжести частей тела.

 

Рис. 1.49

Из теоремы Вариньона следует:

В однородном теле сила тяжести пропорциональна объёму :

,

– вес единицы объёма

Следовательно, в формулах для однородных тел:

– объём элемента тела

– объём всего тела

 

Центр тяжести однородных плоских тел (плоских фигур).

Для плоских тел можно записать:

, где – площадь фигуры, – её высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим

– площадь части сечения

– координаты центра тяжести частей сечения

Выражение – называют статическим моментом площади относительно оси y.

Аналогично – статический момент относительно оси х.

Тогда координаты центра тяжести сечения можно выразить:

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Положение центра тяжести простых геометрических фигур:

Рис.1.50

При решении задач необходимо учесть:

1. Центр тяжести симметричных фигур находятся на оси симметрии.

2. Сложные сечения разделяем на несколько простых.

3. Полости (отверстия)рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Пример. Необходимо определить центр тяжести представленного сечения.

Рис.1.51

Разбиваем сечение на простейшие геометрические фигуры (прямоугольник, треугольник, половина круга).

Площадь прямоугольника

Площадь треугольника

Площадь половины круга

Центр тяжести:

 

прямоугольника

треугольника

половины круга

Положение центра тяжести, представленного сечения определяем по формуле

.

.

 

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

КИНЕМАТИКА.

1. ВВЕДЕНИЕ

 

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных точек и тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, определяющими это движение.

Мы будем изучать простейшую форму движения – механическое движение, то есть происходящее во времени изменение положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчета. Эта система может быть как движущейся, так и условно неподвижной. Рассматривая движение, мы связываем изменение положения тела с течением времени. При изучении движения всегда устанавливаем начало отсчета времени .

Непрерывную кривую, которую описывает точка при своем движении, называют траекторией. Если траектория движения – прямая линия, то движение называется прямолинейным, если кривая – криволинейным.

 

ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.

2.1. Способ задания движения.

Задать движение точки по отношению к избранной системе отсчета – это значит указать способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.

Существуют три способа задания движения:

1. Векторный способ.

Положение точки в пространстве однозначно определенном заданием радиуса – вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М.

Для определения движения точки нужно знать, как изменяется с течением времени , то есть должна быть известна функция

 

Рис. 2.1

. (1)

Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает конец этого вектора при изменении его аргумента (предполагается, что начало вектора, находится в одной и той же точке).

Таким образом, годографом радиус – вектора является траектория точки.

2. Координатный способ.

 

Положение точки М в системе координат ОХУ определяется координатами х, y, z.

При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты х, y, z движущейся точки, являются функциями времени

 

Рис. 2.2

(2)

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Пусть движение точки М в плоскости задано уравнениями:

Из первого уравнения выразим время и подставим во второе: – полученная зависимость есть уравнение траектории точки.

3. Естественный способ задания движения.

Этот способ применяется в том случае, если траектория точки заранее известна.

Выберем на траектории неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета дуговой координаты. Положение точки М на траектории будем определять дуговой координатой S, отложенной на траектории от начала отсчета О. Расстояния, отложенные в одну сторону от точки О, будем считать положительными, в другую – отрицательными, то есть установим

Рис. 2.3 направление отсчета дуговой координаты. При движении

точки М расстояние S от этой точки до неподвижной

точки О изменяется с течением времени:

– уравнение движения т. М (3)

 

2.2. Скорость точки.

1. Векторный способ задания движения.

Пусть в момент времени положение точки М определяется , а в момент .

Рис. 2.4

 

Вектор будем называть вектором перемещения точки за время . Отношение к ,называется средней скоростью за промежуток времени

(4)

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое произошло это перемещение, при стремлении этого промежутка времени к нулю

(5)

Скорость точки – это вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения.

2. Координатный способ задания движения.

Пусть движение точки задано

Тогда для радиуса – вектора точки М можно записать

, (*)

где – единицы орты осей х, y, z.

Согласно (5) .

Дифференцируем (*)

. (**)

С другой стороны для вектора справедливо соотношение

, (***)

где – проекции на оси х, y, z.

Сравнивая (**) и (***), получим

(6)

Модуль скорости точки

(7)

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

 

3. Естественный способ задания движения.

Пусть в момент времени t положение точки М определяется координатой S, в момент –

Согласно (5)

 

(*)

Вычислим модуль и определим направление :

Вектор направлен так же, как .

 

Рис. 2.5

При направлении этого вектора стремится к направлению касательной к траектории в точке М.

Обозначим единичный орт касательной через

,

Таким образом , следовательно , так как .

Равенство (*) примет вид:

(8)

Модуль , направление совпадает с .

 

2.3. Ускорение точки.

1. При векторном способе задания движения.

Предположим, что в момент времени скорость точки , а в момент .

Предел приращения скорости к приращению времени за которое произошло это приращение, при условии, что , называется ускорением точки в данный момент времени.

(9)

2. При координатном способе задания движения.

Вектор скорости точки

.

С учетом (9)

(*)

Но для вектора ускорения точки имеем

(**)

Сравнивая (*) и (**), получим

(10)

Модуль ускорения точки

. (11)

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами:

3. При естественном способе задания движения.

Пусть известна траектория точки.

Возьмем две близкие на траектории точки М и М₁ – .

Вектор перенесем в точку М и проведем плоскость через . Эта плоскость, называется соприкасающейся плоскостью.

Плоскость перпендикулярная соприкасающейся, называется нормальной плоскостью. Плоскость перпендикулярная нормальной и соприкасающейся плоскостям называется спрямляющей плоскостью.

Рис.2.6

Три взаимно перпендикулярные плоскости:

нормальная, соприкасающая и спрямляющая образуют естественный трехгранник.

Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью. Орт главной нормали – . Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей называется бинормалью траектории. Ось бинормали .

Три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты; главная нормаль, направленная в сторону вогнутости траектории; бинормаль, направленная по отношению к также, как ось z по отношению к осям х, y, называются естественными осями.

Угол между касательными в двух ближайших точках траектории называется углом смежности .

Кривизной кривой в точке М называется предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги ММ, между ближайшими точками траектории

(12)

Радиусом кривизны в точке М называется величина, обратная кривизне:

. (13)

Получим формулу для вычисления ускорения точки М. Согласно выражению (8) имеем:

.

Продифференцируем по времени обе части этого равенства

(*)

Вычислим .

Так как направление по главной нормали, то .

Подставим в (*)

,

Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки:

. (14)

Проекция ускорения на касательную определяется формулой:

. (15)

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Оно равно нулю, когда величина скорости остается неизменной. Кроме того, оно обращается в нуль в те моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений.

Величина нормального ускорения определяется формулой:

, (16)

где – радиус кривизны.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Оно равно нулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории, так как в обоих случаях радиус кривизны обращается в бесконечность. Кроме того, в точках где V=0.

Модуль ускорения вычисляется по формуле:

. (16)

 

 

Рис. 2.7

 

Направление ускорения:

Некоторые частные случаи движения точки.

1. Прямолинейное движение

.

Так как при прямолинейном движении скорость изменяется только численно, то делаем вывод, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по численной величине.

2. Равномерное криволинейное движение

Равномерным называется такое движение, в котором численная величина скорости остается все время постоянной ():

Так как ускорение при равномерном движении появляется в результате изменения направления скорости, то нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Получим закон движения.

Отсюда: .

Проинтегрируем:

Подставим пределы интегрирования:

В результате получим закон равномерного криволинейного движения:

3. Равномерное прямолинейное движение

следовательно,

4. Равнопеременное криволинейное движение

Равнопеременным называется такое криволинейное движение, при котором касательное ускорение остается величиной постоянной:

, проинтегрируем

но проинтегрируем

– закон равнопеременного криволинейного движения.