Потенциальное силовое поле и силовая функция.

Работа на перемещение силы F приложенной в точке вычисляется по формуле

(33)

Вычислить данный интеграл, не зная происходящего движения (то есть зависимостей x, y,z от времени t) можно лишь в случае, когда сила зависит только от положения точки, то есть её координат x, y,z. Про такие силы говорят, что они образуют силовое поле. Силовым полем называется часть пространства, в каждой точке которого на помещённую материальную частицу действует определённая по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы. Примером силового поля служит поле тяготения планеты или Солнца.

Так как, сила определяющая её проекции на оси координат то силовое поле задаётся уравнениями:

(34)

Однако, если окажется что выражение стоящее в формуле (1) под знаком интеграла и представляющее собой элементарную работу силы, будет полным дифференциалом некоторой функции т.е. будет

или (35)

Функция, дифференциал которой равен элементарной работе, называется силовой функцией. Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем, а силы, действующие в этом поле – потенциальными силами. Если в формулу (33) подставить из равенства выражения из равенства (35) то будем иметь:

(36)

, – значение силовой функции в точках и . Следовательно, работа поступательной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальных точках пути, и от вида траектории движущейся точки не зависит.

Силы, работа которых зависит от вида траектории или от закона движения точки приложенной силы – не потенциальным (сила трения и сопротивления среды).

Примером потенциальных сил являются сила тяжести, упругая сила и сила тяготения.

– для силы тяжести, если ось z верх

, считая при находим

– для упругой силы, действующей вдоль оси Ox , считая при находим:

– для силы тяготения

откуда считая при

Потенциальная энергия

 

Для потенциальных сил можно вывести понятие о потенциальной энергии, как о величине, «характеризующей запас работы», которым обладает материальная точка в данном пункте силового поля.

Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той же работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое:

Будем считать нулевое значение точки для функции и – совпадающими. Тогда и по формуле (36)

U – значение силовой функции в точке М поля

Отсюда

,

то есть потенциальная энергия в любой точке равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

Отсюда видно, что вместо силовой функции можно пользоваться понятием о потенциальной энергии. В частности работу потенциальной силы (34) можно вычислять по формуле

(37)

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном её положениях.

Закон сохранения механической энергии

Допустим, что все действующие на систему внешние и внутренние силы потенциальны.

Тогда для каждой из точек системы работа приложенных сил равна:

Следовательно, для всех внешних и внутренних сил:

Подставим это выражение работы, в уравнение

( - терема об изменении кинетической энергии)

или

(38)

Следовательно, при движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий системы в каждом её положении остаётся величиной постоянной.

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

	Стр.
Предисловие ….…………………………………………………………………………
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Введение..……………………………………………………………………………..
1.1. Основные понятия статики..……………………………………………………….
1.2 Аксиомы статики ……………………………………………………………………
2. Плоская система сил.………………………………………………………….……
2.1. Система сходящихся сил……………………………………………………………
2.1.1 Равновесие твёрдого тела, к которому приложена система сходящихся сил.…
2.1.2. Теорема о трех не параллельных силах………………………………………….
2.1.3. Момент силы относительно точки………………………………………………
2.1.4. Теорема Вариньона………………………………………………………………..
2.2. Произвольная плоская система сил..………………………………………………
2.2.1 Равновесие твёрдого тела при наличии плоской системы сил. Случай параллельных сил………………………………………………………………………...
2.2.2. Теорема о параллельном переносе силы ……………………………………….
2.2.3. Приведение плоской системы сил к данному центру…………………………..
2.2.4.Условия равновесия произвольной плоской системы сил ……………………..
3. Пространственная система сил.................................................................................
3.1. Системы сходящихся сил..........................................................................................
3.2. Произвольная пространственная система сил……………………………………
3.2.1. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве………………………………………………………………………
3.2.2. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси…
3.3.3. Главные векторы сил и моментов…………………………………………………...
3.2.4. Приведение пространственной системы сил к заданному центру..………………
3.2.5. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил ……………………………………………………………………………………………
3.2.6. Условия и уравнения равновесия пространственной системы сил.………………
4. Центр тяжести …………………………………………………………………………
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
КИНЕМАТИКА
1.Введение.…………………………………………………………………………………
2. Движение точки…………………………………………………………………………
2.1. Способ задания движения..……………………………………………………………
2.2. Скорость точки..…………. ……………………………………………………………
2.3. Ускорение точки.…………………….…………………………………………………
3. Простейшие движения твердого тела..………………………………………………
3.1. Поступательное движение тела.………………………………………………………
3.2. Вращательное движение твердого тела ………………………………………………
3.2.1.Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси … …………………………………………………………………
4.Сложное движение точки……………………………………………………………….
4.1.Основные понятия..……………………………………………………………………
4.2.Сложение скоростей ……………………………………………………………………
4.3. Сложение ускорений. Теорема Кориолиса……………………………………………
5. Плоское движение твердого тела.……………………………………………………
5.1. Введение…………………………………………………………………………………
5.2. Скорости точек тела при плоском движении...………………………………………
	Стр.
5.3. Мгновенный центр скоростей (МЦС)...………………………………………………
5.4. Ускорения точек при плоском движении……………………………………………..
5.5. Мгновенный центр ускорений (МЦУ)..………………………………………………
6. Сложное движение твердого тела.……………………………………………………
6.1. Сложение поступательных движений…………………………………………………
6.2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей…………………………….....
6.3. Пара вращений…………………………………………………………………………
6.4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей…………………………………
6.5. Сложение поступательного и вращательного движений……………………………
6.5.1. Скорость поступательного движения перпендикулярно к оси вращения ( ┴ )
6.5.2. Винтовое движение () …………………………………………………………
6.5.3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения ……..………………………………………………………………………
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ДИНАМИКА ТОЧКИ.
1. Введение в динамику. Законы динамики……………………………………………
1.1. Основные понятия и определения……………………………………………………
1.2. Законы динамики………………………………………………………………………
1.3. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.……………
2. Дифференциальные уравнения движения точки и их интегрирование…………
2.1. Прямолинейное движение точки………………………………………………………
2.2. Криволинейное движение точки………………………………………………………
3. Общие теоремы динамики точки..……………………………………………………
3.1. Количество движения и кинетическая энергия точки.………………………………
3.2. Импульс силы..…………………………………………………………………………
3.3. Теорема об изменении количества движения точки…………………………………
3.4. Работа силы. Мощность.………………………………………………………………
3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки..………………………………
3.6. Теорема об изменении момента количества движения (теорема моментов)………
4. Прямолинейные колебания точки……………………………………………………
4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления…………………………………
4.2. Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания) ……………………………………………………………………
4.3. Вынужденные колебания. Резонанс.…………………………………………………
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА.
1. Введение в динамику системы..………………………………………………………
1.1. Механическая система …………………………………………………………………
1.2. Масса системы. Центр масс……………………………………………………………
2. Теорема о движении центра масс системы…………………………………………
2.1. Дифференциальные уравнения движения системы.…………………………………
2.2. Теорема о движении центра масс.……………………………………………………
2.3. Закон сохранения движения центра масс.……………………………………………
3. Теорема об изменении количества движения системы……………………………
3.1. Количество движения системы..………………………………………………………
3.2. Теорема об изменении количества движения..………………………………………
3.3. Закон сохранения количества движения………………………………………………
4. Теорема об изменении момента количества движения системы.............................
4.1. Момент инерции тела относительно оси …..…………………………………………
4.2. Главный момент количества движения системы.……………………………………
	Стр.
4.4. Закон сохранения главного момента количества движения.…………………………
5. Теорема об изменении кинетической энергии системы..............................................
5.1. Кинетическая энергия системы.………………………………………………………..
5.2. Некоторые случаи вычисления работы..………………………………………………
5.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы………………………………
5.4. Потенциальное силовое поле и силовая функция……………………………………..
5.5. Потенциальная энергия………………………………………………………………….
5.6. Закон сохранения механической энергии..……………………………………………