Свободные колебания без учёта сил сопротивления.

Рассмотрим точку М, движущуюся под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к неподвижному центру и пропорциональной расстоянию от этого центру.

Проекции силы на ось Ox будет равна

Сила , как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где

Рис. 3.7

Найдём закон движения точки С, составим дифференциальные уравнения движения

(30)

Деля обе части на m и вводя обозначение

 

 

приведём уравнение к виду

(31)

Уравнение (31) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого однородного дифференциального уравнения ищут в виде . Полагая в уравнении (31) , получим для определения n так называемое характеристическое уравнение, имеющее в данном случае вид: .

Общее решение уравнения (31) имеет вид:

(32)

Если вместо постоянных и ввести постоянные и , такие, что , , то получим:

или

(33)

Скорость точки в рассматриваемом движении

(34)

Колебания, совершаемые точкой по закону (32), называется гармоническими колебаниями. График их при

Рис. 3.8

 

Рассмотрим точку B, равномерно на окружности из скольжения , определяется углом . Пусть постоянная угловая скорость вращение радиусов равна . Тогда в произвольный момент t угол и легко увидеть, что проекция М точки В на диаметр движется по закону . Величина а – называется амплитудой колебаний - фазой колебаний. Величина определяет фазу начала колебаний (начальная

Рис. 3.9 фаза). Величина называется круговой частотой

колебаний.

Промежуток времени Т в течении которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на . Следовательно откуда

(35)

Величина - частота колебаний.

Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами:

1. амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий

2. частота k, а следовательно и период Т от начальных условий не зависят.

Рассмотрим влияние постояннойсилы на свободные колебания точки.

Пусть на точку М кроме восстанавливающей силы F действует постоянная по модулю и направлению сила Р. Величина силы F по прежнему пропорциональна расстоянию от центра О, т.е. .

Очевидно, что в этом случае положением точки М будет центр , отстраненной от оси О на расстояние , которое определяется равенством

или (36)

 

- статическое отклонение точки.

Рис. 3.10

Примем за начало отсчёта, тогда будет , и учитывая будем иметь или , что полностью совпадает с уравнением (31).

Постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемой точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения .

Из (36) и (30) имеем

Тогда равенство (35) даст (37)

В частности, если Р – сила тяжести , то формула (34) имеет вид:

(37^/)

 

Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания)

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивления среды, считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости: .

(«–» указывает, что R против v). Пусть на точку при её движении действует восстанавливающая сила и сила сопротивления .

Тогда .

Дифференциальное уравнение будет

 

Рис. 3.11

 

Деля обе части на m, получим:

(38)

где обозначено

, (39)

Уравнение (38) представляет собой дифференциальное уравнение . Общее решение уравнения (38) имеет вид

(40)

или по аналогии с равенством (30)

(41)

Входящая сюда постоянная и являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.

Колебания, проходящие по закону (38) называют затухающими, т.к. благодаря множителю величина с течением времени убывает, стремясь к нулю.

Промежуток времени , равный периоду т.е. величину

(42)

принято называть периодом затухающих колебаний.

 

Рис. 3.12

Формулу (42), если учесть равенство (35), можно представить в виде:

(42^/)

Из формул видно, что наличие сопротивления увеличивает период колебаний. Однако, когда сопротивление мало , то величиной по сравнению с единицей можно пренебречь и считать .