Экономико-математическое моделирование конъюнктуры рынка рекламной продукции

В последнее время к решению многих практических задач в области

экономики и управления применяются экономико-математические методы

моделирования. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е.

возможности изучения реального объекта не непосредственного, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта.

Процесс моделирования носит циклический характер, и в каждом цикле выделяется несколько этапов.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. На

этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение объекта.

2. Построение математической модели – это этап формализации экономической проблемы, т.е. выражение ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и другие). Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей.

3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д.

4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах это чаще всего наиболее трудоемкий этап моделирования. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятности, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов

численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучения поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ.

6. Анализ численных результатов и их применение. На данном этапе, прежде всего, решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования моделей. Применение численных результатов моделирования в экономике направлено на решение практических задач.

Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи.

Важным направлением в исследовании закономерностей социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития. Это можно осуществлять, применяя специальные методы прогнозирования.

Прогнозирование – это метод, в котором используются накопленный в прошлом опыт и текущие допущения на счет будущего в целях его определения. Если прогнозирование выполнено качественно, то результатом станет картина будущего, которую можно использовать как результат планирования.

Существует много методов прогнозирования, среди которых можно выделить метод анализа временных рядов. Он основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.

Изменение уровней рядов динамики обусловливаются влиянием на изучаемое явление ряда факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на изучаемые явления определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов

проявляется периодически.

Особенностью изучения развития социально-экономических процессов во времени является то, что в одних рядах динамики основная тенденция роста проявляется при визуальном обзоре исходной информации, в других рядах

ди­намики общая тенденция развития непосредственно не проявляется. Она может быть выражена расчетным путем в виде некоторого теоретического уровня.

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития (тренда) решаются две взаимосвязанные задачи:

1) выявление в изучаемом явлении наличия тренда с описанием его качественных особенностей;

2) измерение выявленного тренда, то есть получение обобщающей количественной оценки основной тенденции развития.

На практике наиболее распространенными методами статистического изучения тренда являются:

– укрупнение интервалов;

– сглаживание скользящей средней;

– аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов применяется для выявления тренда в рядах динамики колеблющихся уровней, затушевывающих основную тенденцию развития. Главное в этом методе заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряды более продолжительных периодов.

Для статистического изучения тренда применяется сглаживание методов скользящей средней. В основу этого метода положено определение по исходным данным теоретических уровней, в которых случайные колебания погашаются, а основная тенденция развития выражается в виде плановой линии.

Применение в анализе рядов динамики методов укрупнения интервалов и скользящей средней позволяет выявить тренд для его описания, но получать обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов невозможно. Решение задачи – измерения тренда – достигается методом аналитического выравнивания.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что основная тенденция развития Yt рассчитывается как функция времени:

 

Y = f(t) (6)

 

Определение теоретических уровней Y(t) производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики.

Важнейшей проблемой при применении метода аналитического выравнивания является подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда. От правильности решения этой проблемы зависят выводы о закономерностях тренда изучаемых явлений. На практике статистического изучения тренда различают следующие типы развития социально - экономических явлений во времени:

– равномерное развитие. Для этого типа динамики присущи постоянные

абсолютные приросты. Основная тенденция развития в рядах динамики со

стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции:

 

Y(t) = а + bt, (7)

где а и b - параметры уравнения; t – обозначение времени.

 

– равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Этому типу динамики свойственно постоянное во времени увеличение (замедление) развития. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными темпами прироста. Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка:

 

Y(t) = а + bt + сt²(8)

Значение параметров а и b идентичны параметрам, используемым в предыдущей функции. Параметр с характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени).

 

– развитие с переменным ускорением. Для этого типа динамики основная тенденция развития выражается функцией параболы третьего порядка:

 

Yt=a+bt+ct²+dt³(9)

В данном уравнении параметр d отображает изменение ускорения.

 

– развитие по экспоненте

 

Y(t) = ab^t, (10)

где а – темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, то есть интенсивность развития.

 

– развитие с замедлением роста в конце периода. Основная тенденция

развития в таких рядах динамики выражается логарифмической функцией:

 

Y(t) = а + b lg(t) (11)

При аналитическом выравнивании в рядах динамики можно применить и другие математические функции.

На практике целесообразно выбор функции осуществлять либо на основе анализа аналитических показателей ряда динамики, либо методом перебора ряда функций и выбора той, которой соответствует наименьшая ошибка аппроксимации.

Рассмотрим основные показатели деятельности ООО «ПолиАРТ» за 2010-2012 г. Проанализируем динамику и определим перспективные значения этих показателей.

Построим график динамики уровня ряда (для начала рассмотрим выручку предприятия). По виду графика принимается гипотеза, что модель описывается линейной зависимостью:

 

Y(t) = a+b (12)

 

Для расчёта параметров модели (a и b) используем метод наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу они находятся по следующим формулам:

 

(13)

где – средние значения,

– фактические уровни ряда,

n – число членов ряда,

t – показатель времени.

 

Таблица 8. Динамика и перспективные показатели выручки,

себестоимости и чистой прибыли в ООО «ПолиАРТ»

тыс. руб.

	Выручка,	Себестоимость,	Чистая прибыль,
2010 г.	8 083	6 680
2011 г.	33 148	28 779
2012 г.	73 260	63 359

 

Степень тесноты связи между переменными показывает коэффициент корреляции:

 

(14)

чем ближе к единице, тем теснее связь и если то гипотеза о линейности модели верна.

 

Далее проверим адекватность построенной модели т.е. оценим ее практическую значимость. Для этого воспользуемся F – критерием Фишера – Стендокера. Согласно этому критерию уравнение регрессии значимо на уровне значимости a, если фактически наблюдаемое значение статистики

 

, (15)

где – табличное значение F – критерия Фишера – Стендокера,

– сумма квадратов обусловленная регрессией,

 

– остаточная сумма квадратов.

( – выравненные (теоретические) значения то есть значения полученные из уравнения регрессии при тех же t).

– общая сумма квадратов

 

. (16)

 

Так же значимость уравнения парной линейной регрессии можно показать отразив значимость коэффициента регрессии b по t – критерию Стьюдента: коэффициент b значим на уровне значимости a, если фактически наблюдаемое значение статистики

 

, (17)

где – табличное значение t – критерия Стьюдента,

– остаточная выборочная дисперсия.

 

Прогнозное значение определяется на основе экстраполяции линейной зависимости путем подстановки нового показателя времени в уравнение регрессии .

Доверительный интервал прогноза находится по формуле:

 

(18)

где – средняя квадратичная ошибка прогноза.

Вычисления производятся при помощи табличного редактора Excel (таблица 9).

 

Таблица 9. Расчетные данные для прогнозирования выручки

тыс.руб

	Y	t	Y*t	t^2	Y^2	(t-tср)^2	Y	(Y-y)^2
2010 г.						0,04	5575,167	6289228,028
2011 г.						0,64	38163,67	25156912,11
2012 г.						3,24	70752,17	6289228,028
Сумма						3,92		37735368,17
Среднее	22898,2	1,2	58831,8	2,8		0,784	22898,2	7547073,633

 

Пользуясь данными расчетной таблицы и вышеизложенными формулами получаем a = -27013,3 и b = 32588,5

Отсюда искомое уравнение тренда:

Y(t) = – 27013,3+32588,5*t,

которое в частности показывает, что с каждым годом объем выручки в среднем растет на 32588,5 тыс.руб.

Подставляя в это уравнение значения t, находим выровненные (теоретические) значения Y. На рисунке 9 изображены графики фактических и выровненных значений.

Рассчитаем прогноз по полученному уравнению на 2013 год.

Коэффициент корреляции:

r = 0,99 > 0,3, т. е. связь между переменными сильная и гипотеза о линейности модели верна.

Значимость по F – критерию Фишера – Стендокера:

Q_e = 37735368,2 Q = 2161756033 Q_R = Q – Q_e = 2124020665

F = 2124020665*1/37735368,2 = 56,29 F_0.05;1;11 =10,13.

И так как F > F_0.05;1;11, то построенное нами уравнение надежно, т.е. пригодно для практического применения.

 

Рисунок 9. Динамика выручки от реализации ООО «ПолиАРТ»

 

Значимость коэффициента регрессии bпt-критерию Стьюдента:

t= 31,51 t_0.95;13 = 3,182.

И т. к. t > t_0.95;13, то коэффициент регрессии bзначим на уровне

a= 0,05, т.е. и само уравнение значимо.

Прогнозное значение: Упр = 4573,2 -27013,3 = 168517,67,

то есть в 2013 году выручка предприятия будет составлять в среднем 168517,67 тыс. рублей.

Доверительный интервал прогноза: 138490 <Y_пр <198544,96,

т.е. с вероятностью 95% выручка предприятия в 2013 году будет лежать в интервале от 138490 тыс. до 198544,96 тыс. рублей.

Далее в табл. 10 представлены расчетные данные для показателя себестоимости.

 

Таблица 10. Расчетные данные для прогнозирования себестоимости

продукции

тыс.руб

	Себест-ть	t	y*t	t^2	y^2	(t-ср)^2	Y	(Y-y)^2
2010 г.						0,04	4599,833
2011 г.						0,64	32939,33
2012 г.						3,24	61278,83
Сумма						3,92
Ср. знач-е	19763,6	1,2		2,8	977443224,4	0,784	19763,6

 

Проведя аналогичные вычисления для значений себестоимости, получаем следующее значимое (r = 0,99) уравнение тренда:

Y(t) = -23739,7 + 28339,5·t,

исходя из которого можно сказать, что на предприятии в 2013 году себестоимость продукции составит в среднем Y_пр=-23739,7+28339,5*4= 146297,3 тыс. руб. (рисунок 10).

Рисунок 10. Динамика себестоимости ООО «ПолиАРТ»

 

Доверительный интервал прогноза: 121390,7 < Y_пр < 171204, то есть можно сказать, что себестоимость продукции на предприятии в 2013 году будет лежать в интервале от 121390,7 тыс. руб. до 171204 тыс. руб.

В таблице 11 представлены расчетные данные для анализа показателя чистой прибыли.

 

Таблица 11. Расчетные данные для прогнозирования чистой прибыли

тыс.руб

	t	y	ln(y)	y*t	t^2	y^2	(t-tср)^2	Y	(Y-y)^2
2010 г.			4,62497281			21,390374	0,04	65,03691403	1366,27
2011 г.			4,40671925			19,419175	0,64	201,6946339	14326,81
2012 г.			6,88857246			47,452431	3,24	625,502085	126378,8
Сумма			15,9202645			88,261979	3,92	892,2336329	142071,8
Среднее значение	1,2		3,1840529	279,6	2,8	17,652396	0,784	178,4467266	28414,37

 

Аналогичными методами можно показать, что данное уравнение значимо, следовательно, составленный на его основе прогноз будет верен. В 2013 году

чистая прибыль в среднем будет находиться на уровне Y_пр= 3,043 + 1,132*4 = 18656,8 тыс. руб. (рисунок 11).

 

Рисунок 11. Динамика чистой прибыли ООО «ПолиАРТ»

 

Доверительный интервал прогноза: 16814,13 < Y_пр < 20499,03,

т.е. с вероятностью 95 % можно сказать, что чистая прибыль предприятия в 2013 году будет лежать в интервале от 16814,13 тыс. руб. до 20499,03 тыс. руб.

По результатам экономико-математического моделирования можно сделать вывод, что финансовое состояние предприятия находится в стабильном положении.

Вывод по итогам экономико-математического моделирования:

1. Выручка предприятия с вероятностью 95% в 2013 году в среднем составит 168517,48 тыс. рублей, что на 23% больше, чем в 2012 году.

2. Себестоимость продукции по результатам исследования в 2013 году будет лежать в интервале от 121390,7 тыс. руб. до 171204 тыс. руб., а в среднем себестоимость составит 146297,35 тыс. руб., что на 23,01% больше, чем в 2012 году.

3. С вероятностью 95% чистая прибыль предприятия в 2013 году будет лежать в интервале от 16814,13 тыс. руб. до 20499,03 тыс. руб. По результатам прогноза, чистая прибыль предприятия в 2013 году составит 18656,58 тыс. руб., что на 190,1% больше, чем в 2012 году.