В1 Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования

В1 Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования

Понятие «экономическая система» более или менее сложилось и в широком смысле трактуется как система общественного производства и потребления материальных благ. Социальные же аспекты жизни общества весьма многогранны и не всегда доступны для детального анализа, моделирования и прогнозирования. Под социально-экономической системой будем понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ.

Основным методом исследования систем является метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т.е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели.

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании, является понятие адекватности модели, т. е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Проверка адекватности экономико-математических моделей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет трудность измерения экономических величин.

Этапы экономико-математического моделирования

Процесс моделирования, в том числе и экономико-математического, включает в себя три структурных элемента: объект исследования; субъект (исследователь) и модель, опосредующую отношения между познающим субъектом и познаваемым объектом. Выделим следующие шесть этапов.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Этот этап формализации экономической проблемы, т.е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

3. Математический анализ модели. На этом этапе математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку ин-формационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей является единственно возможным.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных.

 

Графическое решение задачи

 

Определить интервал изменения параметра t и найти значения переменных x₁ и x₂, при которых максимум линейной функции , достигается в одной и той же вершине области допустимых решений системы ограничений

 

Находим область допустимых решений системы ограничений. Это многоугольник ABCD. Придадим параметру самое малое значение t=0, тогда получим функцию с постоянными коэффициентами

Максимальное значение этой функции достигается в вершине C.

 

Область допустимых решений задачи

 

Далее приравняем f_t к нулю и найдем уравнение разрешающей прямой при любом t:

Запишем угловой коэффициент k_f этой прямой и исследуем его поведение при изменении параметра t:

При t=0 его начальное значение  k_f = -2

Найдем производную углового коэффициента по параметру t:

Очевидно, что при любом t производная положительна, а угловой коэффициент при увеличении t возрастает. Найдем предел его возрастания:

Так как при t®+¥ угловой коэффициент k_f приближается к нулю со стороны отрицательных значений, то разрешающая прямая поворачивается против часовой стрелки до предельного горизонтального положения. (На- помним, что при вертикальном положении прямой угловой коэффициент как функция терпит разрыв. При вращении прямой против часовой стрелки от оси абсцисс до вертикального положения угловой коэффициент возрастает от 0 до +¥, при дальнейшем вращении прямой он возрастает от -¥ до 0.)

В рассматриваемом примере при изменении параметра t от нуля до некоторого значения максимум функции будет в вершине C. Далее в некоторый фиксированный момент времени оптимум будет достигаться на отрезке BC, а затем он перейдет в точку B и останется в ней для всех больших значений t.

Определим значение параметра t, при котором решение задачи окажется на отрезке BC. Поскольку в этот момент прямая BC и разрешающая прямая должны быть параллельны, приравняем их угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой BC kBC = -4/5, следовательно,

Итак, при 0 £ t < 3 оптимальное решение задачи будет в вершине C (8,3;1,3), при t = 3 оно достигается на всем отрезке BC, а при 3< t £ 8 – в точке B (2,2; 6,2).

Этап 1.

1. Полагаем t=a. Тогда функция будет иметь вид:

Все данные задачи заносим в жорданову таблицу. В строке f_a этой таблицы в каждый столбец записываем число, равное сумме чисел c_j и d_ja. Кроме того, добавим в таблицу две строки для записи функций f_t с произвольным параметром t. При этом в предпоследней строке записываем коэффициенты c j, а в последней – d j. Чтобы получить

f t, нужно умножить коэффициенты последней строки на t и сложить их с коэффициентами предпоследней.

таблица 1

 

2. Находим оптимальный план задачи обычным симплекс-методом, подвергая преобразованию и элементы последних двух строк.

Предположим, что план, представленный в таблице 1, является оптимальным. Тогда все коэффициенты f_a -строки неотрицательны:

таблица 2

 

Поскольку оптимальный план найден, переходим к выполнению действий этапа II.

 

Этап 2.

 

1. Находим значения параметра t, при которых план в таблице 2 будет оставаться оптимальным (максимум f t достигается в той же вершине). Для этого необходимо, чтобы все коэффициенты функции f t были неотрицательны:

 

Из этой системы видно, что во всех случаях, кроме q j =0 (при q j =0 неравенство p j + q_j t ³ 0 выполняется при любых значениях t; следовательно, на столбец, в котором находится q j =0, можно не обращать внимания), границей изменения параметра t служит отношение . Поэтому просматриваем элементы q_j последней строки таблицы: если все они больше нуля, переходим к п. 2; если все они меньше нуля, – к п. 3; если же среди элементов j q имеются и положительные, и отрицательные, – к п. 4.

2. Пусть все q j > 0. Среди отношений - выбираем наибольшее.

Таким образом,

В интервале [ a₁;a₂) функция достигает максимума в той же вершине, что и при t=a, следовательно, t Î[ a₁;a₂)

3. Пусть все q_j < 0. Среди отношений - выбираем наименьшее. Если взять , то все условия будут удовлетворены. Нижнейграницы для t в этом случае не существует, поэтому его можно уменьшатьбесконечно. Значит,

Как и прежде, t Î[ a₁;a₂).

 

4. Пусть среди элементов q_j имеются как положительные, так и отрицательные. Разделим систему неравенств на две подсистемы соответственно знакам коэффициентов q_j. Тогда из подсистемы неравенств с q_j > 0 получим , а из второй подсистемы q_j < 0 будем иметь Следовательно, вся система неравенств будет удовлетворяться, если t будет принимать значения:

В этом случае выделенный интервал, в котором функция достигает максимума в той же вершине, что и при t=a, является отрезком, tÎ[ a₁;a₂ ].

 

5. Сравниваем полученный интервал [ a₁;a₂ ] с заданным [ a;b ].Независимо от значения a1 левой границей первого интервала будет a, так как a ₁ больше a быть не может. Если a₂ ³ b, то весь интервал [ a;b ] попадает внутрь интервала [ a₁;a₂ ] и задача решена. Для любого значения параметра t Î[ a;b ] максимум функции f_t достигается в одной и той же вершине

6. Если a₂ < b, то в интервале [ a;a₁ ] максимум функции ft будет в найденной вершине (рисунок 8.2). Исключаем этот интервал из рассмотрения и решаем задачу для оставшегося интервала [ a2; b ]. Для этого придаем t значение a ₂ и заменяем строку fa строкой f a2. В результате замены получаем новую таблицу

За разрешающий столбец в новой таблице примем тот, по которому определено значение t=a₂ (в этом столбце на пересечении с f_a2 -строкой находится элемент, равный нулю). Если нули находятся в нескольких столбцах, то в качестве разрешающего можно брать любой из них.

Разрешающий элемент находим по наименьшему симплексному отношению и делаем один шаг модифицированных жордановых исключений. Получаем следующее по порядку оптимальное решение, так как все коэффициенты в строке f_a2 при преобразовании не изменятся.

Для найденного решения снова определяем интервал изменения параметра t, для чего переходим к п. 1.

Если в разрешающем столбце не окажется положительных коэффициентов, то функция f_t при t>a₂ не ограничена; задача на оставшемся интервале [ a2;b ] решения не имеет.

Замечание. При отыскании оптимального решения для t=a (при выполнении п. 2 этапа I алгоритма) может оказаться, что функция f_a сверху не ограничена. В этом случае в разрешающем столбце j₀ коэффициент f_a - строки отрицателен , а все остальные коэффициенты столбца j₀ неположительны.

При значениях t>a на пересечении строки f_t и столбца j₀ будет элемент . Нас интересуют значения этого элемента, так как они определяют поведение функции при . Выберем такое значение t=t₀, при котором коэффициент . Отсюда получаем .

Если значение элемента , то для всех коэф-т разрешающего столбца в строке f_t будет отрицательным . Следовательно, на всем заданном отрезке целевая функция f_t не ограничена (задача решения не имеет).

Если элемент , то при коэф-т, находящийся в разрешающем столбце и f_t -строке, будет отрицательным. Значит и в этом случае целевая функция не ограничена и задача решения не имеет.

При значении t=t₀ коэф-т , а при дальнейшем увеличении t, он будет положительным. К отрезку применяем последовательно алгоритм решения задачи.

В1 Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования

Понятие «экономическая система» более или менее сложилось и в широком смысле трактуется как система общественного производства и потребления материальных благ. Социальные же аспекты жизни общества весьма многогранны и не всегда доступны для детального анализа, моделирования и прогнозирования. Под социально-экономической системой будем понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ.

Основным методом исследования систем является метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т.е. описанный знаковыми средствами на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его модели.

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании, является понятие адекватности модели, т. е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Проверка адекватности экономико-математических моделей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет трудность измерения экономических величин.