Уравнения движения твердых частиц в газодинамическом потоке. Рикошет частиц от стенок канала. Методы решения. Критерии подобия. Критерии оптимальности ИГ. Теория и эксперимент.

Математическая модель движения твердых частиц

В потоке газа.

По предположению объемная концентрация пыли в потоке мала, и поэтому можно считать, что частицы не взаимодействуют между собой и рассчитывать траектории их движения, пользуясь уравнением для одной частицы.

Запишем дифференциальное уравнение движения центра массы частицы

 

, (17)

 

Здесь - коэффициент присоединенной массы, m - масса твердой частицы, - вектор абсолютной скорости частицы, - сумма векторов сил, действующих на частицу, - линейный размер частицы, - ее плотность.

Частица считается сферической. Коэффициент присоединенной массы учитывает результирующую аэродинамических сил, зависящих от ускорения частицы. При потенциальном безотрывном обтекании частицы величина равна половине массы вытесненного газа: m = 0.5 (m / ); = /2 ; - плотность газа; - плотность частицы.

Реально / =4.5 , например для частиц кварца, поэтому величиной можно пренебречь по сравнению с единицей.

Величина представляет собой сумму сил:

 

= + + +

 

где - сила аэродинамического сопротивления;

- сила тяжести;

- архимедова сила;

- сила, связанная с неравномерностью сил давления.

Сила аэродинамического сопротивления для сферических частиц направлена против скорости - ее движения относительно газа, и может быть записана в виде

 

(18)

 

где - коэффициент сопротивления, , , , .

n- кинематическая вязкость, а – скорость звука в газе,

- абсолютные скорости частицы и газа.

Одним из важнейших элементов исследования движения газа с твердыми частицами является определение взаимодействия газ – частица, где проявляются свойства вязкости и теплопроводности несущей среды, даже в том случае, когда среда считается идеальной. Вопросу сопротивления при движении твердых частиц в вязкой среде уделяется внимание во всех работах, связанных с движением гетерогенных сред в разнообразных условиях.

Правильное описание движения смеси существенно зависит от достоверных данных по коэффициенту сопротивления . В общем случае коэффициент сопротивления зависит от чисел Re и М в относительном движении газ – частица.

В основном, большинство теоретических и экспериментальных исследований относится к определению коэффициента сопротивления твердой сферы в потоке вязкой несжимаемой жидкости [см.например,72,75,76,86,87]. Поле течения при обтекании сферы равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости было впервые изучено Стоксом путем интегрирования уравнений Навье – Стокса при пренебрежении инерционными членами и с использованием условий прилипания жидкости на всей поверхности сферы. Выражение для коэффициента сопротивления, которое обычно называют законом Стокса, имеет вид

 

= (1*)

 

В дальнейшем это выражение было уточнено Озееном, который частично учел инерционные члены и получил

=

Уточнение Гольдштейна, полученное путем разложения в ряд, дает значение коэффициента сопротивления с более высокими степенями чисел Рейнольдса

 

= (2*)

 

Праудмен и Пирсон дали другое обобщение формулы для в виде

 

= (3*)

 

Необходимо отметить, что наряду с теоретическими проводились и экспериментальные исследования с шариками из различных материалов, движущихся в несжимаемых средах. Обобщение экспериментов и осредненная кривая для были представлены в работе Кастльмана (1925). Сравнение с теоретическими формулами (1*), (2*), (3*) показывает их близкое совпадение до значений Re@1.

При возрастании чисел Рейнольдса (Re>1) обтекание сферы вязким потоком качественно меняется. Пограничный слой в кормовой части сферы отрывается с образованием вихревой зоны и следа.

В широком диапазоне чисел Re влияние сил вязкости и инерции значительно во всем поле течения, поэтому возможности аналитического исследования уменьшаются и данные по коэффициенту сопротивления и характеру обтекания можно получить либо экспериментально, либо путем численного решения уравнений Навье – Стокса.

При различных условиях эксперимента получаются различные значения чисел Re, при которых начинается отрыв потока. Считается, что отрыв возникает при Re~10.

По мере увеличения числа Re величина отрывной зоны растет. При Re@100 система вихрей и отрывная зона распространяются на расстояние около одного диаметра от задней части сферы. При Re~130-150 отрывная зона начинает колебаться, а при Re~700 вихревые кольца поочередно срываются с противоположных сторон сферы и уносятся в след. Число Re, при котором начинается срыв вихрей в след, называется нижним критическим числом Рейнольдса (Re ).

Разные авторы дают различные значения Re от 51 до 1000. При отсутствии турбулентности в потоке считается, что Re »500.

При Re>Re периодические срывы вихревых колец приводят к асимметрическому обтеканию сферы и возникновению периодических колебаний сферы, которые с дальнейшим ростом Re стабилизируются.

При числах Re от 2 до 4 характер обтекания сферы изменяется, при этом величина коэффициента сопротивления падает. Число Re, соответствующее началу резкого уменьшения , называют верхним критическим числом Re (Re ~1…5 ).

Это явление объясняется переходом ламинарного пограничного слоя на поверхности сферы в турбулентный, при этом точка отрыва на сфере смещается вниз по течению, возникает более узкий вихревой след и сопротивление сферы уменьшается.

В работах [87, 114] дается обзор и анализ экспериментальных исследований по сопротивлению сфер, проведенных разными авторами. Несмотря на значительный разброс экспериментальных данных удалось обобщить их в так называемой стандартной кривой, описывающей зависимость =f(Re). Эта кривая представлена на рис.1. При Re<1 справедлива формула Стокса – Озеена. Далее кривая отклоняется от этих зависимостей и при 700< Re<2 приближается к значению =0.44, предсказанному Ньютоном в 1725 году [144].

Сложный характер не позволяет описать (Re) единым уравнением. В связи с этим предложены зависимости для вида

 

= A Re , (19)

 

где A и n=const, которые достаточно точно аппроксимируют эту величину. При этом пренебрегается отличием формы частицы от сферической, шероховатостью поверхности, дроблением и коагуляцией частиц, их вращением, турбулентностью потока и изменением при неустановившемся движении среды.

Эксперименты показали, что влияние всех этих факторов незначительно и не превышает 6 - 10% [74,75]. Аппроксимация экспериментальных зависимостей от числа Re для сферических частиц приведена в следующей таблице [74,75].

 

=24Re	=26,5Re	=11,5Re	=0.44
Rе 0.6	0.6<Re 17	17<Re 700	700<Re<10

 

Существенное влияние на величину может оказывать сжимаемость набегающего потока.

Как и в случае несжимаемой жидкости получена стандартная кривая зависимости (М), которая представляет собой обобщение многочисленных экспериментов [см.например,75].

При малых дозвуковых скоростях значение коэффициента сопротивления соответствует несжимаемой жидкости. С ростом числа Маха постепенно увеличивается вследствие изменения давления в носовой и кормовой частях тела. По мере дальнейшего увеличения скорости потока и достижения критических чисел Маха наблюдается резкое увеличение , вызванное местными скачками уплотнения, замыкающимися на сфере, и отрывом потока.

При 1.5£М£2.0 коэффициент сопротивления достигает максимального значения »1, а затем уменьшается до значения =0.92, соответствующего гиперзвуковым скоростям. Постоянство при больших числах Маха определяется в основном силами давления в передней части сферы.

Авторы [1], обобщая экспериментальные данные, приведенные в [97] при Re=200 - и М=0.2 – 0.98, предложили аппроксимацию для коэффициента сопротивления в виде

 

= (20)

где - одна из аппроксимаций стандартной кривой для несжимаемой жидкости.

В дальнейшем, при расчетах конкретных течений полидисперсной среды, будет использоваться формула (19) при малых числах М в относительном движении газ – частица или формула (20) при М³0.2.

Приведем в заключение этого пункта некоторые соображения, связанные с учетом вращения частиц. При малых числах Re захват среды при вращении частицы увеличивает скорость потока на одной стороне тела и уменьшает на другой. Возникает эффект Магнуса, т.е. сила, направленная в сторону большей скорости обтекания. Однако, при отрыве потока точки отрыва будут перемещаться по поверхности сферы, вызывая силу противоположную силе Магнуса. Результаты ряда экспериментальных и теоретических работ [83] показывают, что вращение частицы не изменяет существенно коэффициента сопротивления.

Можно показать, что во многих случаях остальные силы, действующие на частицу, малы по сравнению с для твердых частиц.

Архимедова сила мала, т.к. мало , сила тяжести мала, т.к. малы массы частиц.

Пример: =2600кг/м , =10мкм=10 м, W=1м/c, =1.225кг/м , n=15.1 м /c, то

 

, при gradP = 50Па/мм.

Силы взаимодействия между частицами также малы, если частиц в потоке мало; можно пренебречь также силой термофореза, которая возникает в потоке с неравномерной температурой газовой среды. Эта сила мала по сравнению с даже при большом градиенте температур у интенсивно охлаждаемой стенки [74].