Таким образом, можно принять

 

(21)

 

- сила аэродинамического сопротивления.

Приведем полученную систему уравнений (21) к безразмерному виду. Для этого выберем систему характерных параметров, дополняющих систему (15).

Примем , , , не конкретизируя их значения, за параметры, к которым будем относить плотность частиц, их размер и вязкость газа.

Перепишем уравнения (19) с учетом (18) в безразмерных переменных, которые пометим звездочкой

 

где ; ; ; ;

- безразмерный критерий подобия.

 

Для построения траектории движения частицы запишем уравнения для определения координат движущейся по каналу частицы

 

, ,

 

Относя компоненты скорости частицы к , координаты к характерному размеру L, а время к /L, получим уравнения для определения координат частицы в безразмерных переменных, которые по виду совпадают с уравнениями в размерных переменных, отличаясь от них только индексом “звездочка”.

Для интегрирования системы уравнений, определяющих движение частицы, необходимо задать начальные условия. Зададим при =0 во входном сечении канала начальные координаты частицы и ее скорость.

Таким образом, задача о движении твердой частицы в канале сводится к задаче Коши с начальными условиями для системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений

 

(22)

;

t =0: = , , ,

, , .

 

Законы рикошета частиц при столкновении

Со стенкой канала.

 

При достижении твердой частицей поверхности, ограничивающей канал, возникает явление рикошета вследствие удара частицы о стенку. Вопросу взаимодействия различных частиц с твердой поверхностью посвящено большое число работ (см. например, [74,99,109,113,115,118]). В данном исследовании нас будут интересовать изменения скорости твердой частицы после отскока от стенки. Имеется ряд экспериментальных работ, где показано, что закон изменения скорости частицы после столкновения со стенкой существенно зависит от материалов стенки и частицы [99,115]. Необходимо отметить, что теоретические и экспериментальные исследования в этой области дают значительно различающиеся результаты.

 

 

Рис.2. Схема рикошета частиц от стенки.

 

Рассмотрим это явление в прямоугольной системе координат х, у. Будем пренебрегать возможным разрушением частицы при ударе. Пусть D плоскость, проходящая через вектор скорости частицы в момент ее соприкосновения со стенкой и нормаль к стенке канала в этой точке. Спроектируем скорость частицы на нормаль и на касательную к стенке в плоскости D. Обозначим скорость частицы до и после удара о стенку через и соответственно, а проекции на нормаль и касательную пометим индексами n и t. Считая поверхность частицы и стенки гладкими можно принять, что после удара касательная составляющая скорости сохраняет свое первоначальное направление, а нормальная составляющая меняет направление на противоположное (см. рис.2).

Тогда закон отражения частицы от стенки можно записать в виде

 

, , (21)

 

Коэффициенты представляют собой коэффициенты восстановления импульса после удара и зависят от угла между вектором скорости частицы и касательной к поверхности, а также от материалов частицы и стенки и других факторов. Коэффициенты , используемые в данной работе, получены путем обработки экспериментальных данных, приведенных в [74,99,109,113,115,118], и представляют собой выражения

 

(22)

Здесь - средние значения функций, полученных при обработке одного из экспериментов, - соответствующие среднеквадратичные отклонения, - случайная величина, распределенная по нормальному или по равномерному закону на отрезке .

Величины охватывают все детали случайного процесса, связанные с шероховатостью соприкасающихся поверхностей и отличием формы частицы от сферической. Учитывая случайные величины при отражении, логично предположить возникновение третьей составляющей скорости частицы после отскока ее от стенки, перпендикулярной к , которую представим в виде .

На рис.3,4 представлены коэффициенты полученные в разных работах, в том числе и теоретические из [74] (под номером 5). Номером 6 помечен обобщенный закон для коэффициентов , выведенный в данной работе, как среднее значение всех других, что позволяет применять его для различных материалов стенок (алюминий, титан и др.) и частиц (кварц, графит и т.д.).

По оси абсцисс отложен угол .

Необходимо отметить, что частицы различного происхождения имеют форму, отличную от сферической. Форма частицы сказывается на характере движения, если размер ее не слишком мал. Установлено, что в достаточно большом диапазоне размеров частиц (от 2 до 1000 мк) введением коэффициента формы , на который умножается масса частицы в уравнениях движения, можно достичь хорошего согласования результатов расчета с экспериментальными данными [99].

 

Рис. 3.

Зависимость коэффициента от угла .

Рис. 4.

Зависимость коэффициента от угла .