Уравнения движения газа в канале сложной геометрии. Методы решения. Критерии подобия

1. 2. Математическая модель течения газа

в канале сложной геометрии.

 

Рассмотрим двумерное стационарное движение газа в канале заданной формы, которое описывается уравнениями неразрывности, импульсов и энергии [50], [85].

Уравнение неразрывности:

 

(1)

 

(для установившихся течений)

 

Уравнение импульсов в форме Лэмба-Громеки:

 

(2)

 

Уравнение энергии:

 

(3)

 

Спроектируем уравнение импульсов на линию тока, т.е. умножим скалярно на dx = dt, тогда вдоль линии тока будем иметь

 

(4)

 

Здесь используются общепринятые обозначения:

- плотность, давление, скорость и энтропия газового потока.

Пусть на линии тока Lплотность и давление связаны зависимостью , тогда в области непрерывности движения уравнение (4) можно проинтегрировать и получить

 

(5)

 

Если Р (L)=const, то интеграл Бернулли (5) дает связь между скоростью и давлением во всей области газа.

Уравнение энергии (3) для адиабатических движений также дает интеграл вдоль линии тока

 

S(p, )=S(L) (6)

 

Постоянные в (5) и (6) могут быть разными на разных линиях тока. Соотношение (6) позволяет вычислить интеграл (5), так как дает необходимую связь . Если использовать термодинамическое равенство dh=dp/ (h- энтальпия) для адиабатических течений, то (5) можно записать в виде

(7)

 

Таким образом, вдоль линий тока установившихся непрерывных адиабатических течений сохраняются энтропия и полное теплосодержание газа.

Если S(L) и одинаковы на всех линиях тока, то движение – безвихревое [85], так как .

Будем рассматривать плоские и осесимметричные незакрученные течения, все параметры которых зависят от х и у.

Уравнение неразрывности запишем в виде

 

div( )=0 (8)

 

В произвольной ортогональной системе координат для двумерного движения уравнение (8) выглядит так:

 

(9)

 

( =1 для плоских, =2 для осесимметричных движений.)

Это уравнение можно рассматривать как условие существования полного дифференциала функции

 

(10)

 

Функция (х,у) - функция тока, ее производные определяются выражениями

 

(11)

 

Соотношение (11) определяет функцию тока любого течения с точностью до аддитивной постоянной; сохраняет постоянное значение вдоль линий тока

 

 

Расход газа между двумя линиями тока равен разности значений функции тока на этих линиях.

Будем рассматривать потенциальные течения, т.е.

 

, ,

 

что означает одновременно отсутствие вихря в течении.

Из (11) найдем u и v

 

;

 

Тогда, используя условие потенциальности течения, получим

 

+ =0 (12)

 

уравнение типа уравнения Лапласа, с переменными коэффициентами.

Граничные условия сформулируем, пользуясь представлениями о расходе газа через канал, имеющий поворот и разветвление (рис.1). Обычно задается расход через входное сечение и расходы через две другие ветви - . Эти параметры определяют значения на верхней и нижней стенках и на перегородке.

Между расходами выполняется очевидное соотношение:

 

 

 

 

Рис. 1. Форма канала и схема задания граничных

условий для уравнений газовой динамики.

 

Значения на нижней стенке можно положить равным нулю, на верхней - единице, тогда на перегородке =1/(n+1). На стенках канала выставляется условие непротекания, т.е. сохранение значения . Задать распределение функции на входе в канал и в выходных сечениях можно произвольным образом, например, по линейному закону.

Решая задачу (12) с заданными значениями (х,у) известными численными методами, например [12,33] находим распределение u(х,у), v(х,у) и . Используя уравнение Бернулли и изэнтропичность течения, находим

 

(13)

 

где , -const, определяемые параметрами торможения газа на входе, - отношение теплоемкостей совершенного газа.

Далее организуется итерационная процедура: по новому (13) распределению (х,у) пересчитывается поле , а также u, v и снова определяется (х,у). Обычно достаточно 4-6 итераций для определения поля скоростей u(х,у), v(х,у), давления p(х,у) и плотности (х,у) с требуемой точностью.

Полученное потенциальное течение служит фоном, на котором рассматривается движение твердых частиц, а также оно может быть использовано

- для определения течения в пограничных слоях на стенках для расчета потерь полного давления;

- в качестве начального приближения для решения задачи о нестационарном течении.

Нестационарное течение также может представлять интерес в некоторых приложениях или использоваться для получения стационарного решения при при других граничных условиях.

Для получения решения методом установления уравнения газовой динамики записываются в форме законов сохранения

 

В декартовой системе координат уравнения газовой динамики имеют вид:

(14)

Здесь U(u,v) - вектор скорости движения газа с компонентами u, v,

, - внутренняя энергия газа,

- его плотность, p - давление; x, y- декартовы координаты, t – время,

- для осесимметричного случая,

для плоского случая - .

 

 

Здесь - полная энергия единицы объема, - внутренняя энергия единицы массы газа, определяемая уравнением состояния. Для совершенного газа

 

.

 

Система уравнений (14) решается методом установления по времени, подробно описанном в монографии [25].

Для удобства дальнейшего использования уравнений (12), (13) введем безразмерные переменные. Будем считать заданным характерный линейный размер канала L, расход газа , а также параметры торможения газа - плотность и энтальпию . Тогда, помечая безразмерные переменные звездочками, получим

 

, , ,

, , , (15)

 

В безразмерных переменных уравнения (13) примут вид

 

(16)

,

 

 

Уравнение (12) в безразмерных переменных сохраняет свой вид. Безразмерный параметр является критерием подобия течения. Он аналогичен приведенной скорости.

Если при обезразмеривании уравнений (14) ввести те же переменные (15), а безразмерное время принять равным , то уравнения (14) в новых переменных сохранят свой вид.