Вопрос 4. Методика построения единовременных нетто-ставок по страхованию на дожитие и на случай смерти.

В основе страхования лежит равенство финансовых обязательств сторон. Финансовые обязательства страхователя состоят в уплате страховой премии. При этом страховой взнос может оплачиваться либо единовременно, либо в рассрочку.

Единовременная премия предполагает уплату взноса в начале срока страхования. А при месячной уплате взноса происходит постепенное погашение финансовых обязательств страхователя.

Рассмотрим страхование на дожитие на следующем примере:

Необходимо рассчитать нетто-премию для лица в возрасте 20 лет, заключившего договор страхования на дожитие сроком на 3 года, на страховую сумму 1000 руб..

1. Определение взаимных обязательств сторон.

Финансовые обязательства страхователя равны произведению страховой суммы (S) на нетто-премию на дожитие (nЕx). nЕx – единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лиц в возрасте х лет на срок страхования n лет.

1000 руб. х 3Е20.

Финансовые обязательства состоят в выплате застрахованному лицу через n лет страховой суммы (S) при условии, что тот дожил до конца строка страхования (до 23 лет). Следовательно, величина финансовых обязательств страховщика составляет S (1000 руб.).

2. Определение современной вероятной стоимости обязательств сторон.

Для того чтобы договор страхования состоялся необходимо, чтобы страхователь уплатил страховой взнос. Иными словами, величина взноса, уплачиваемого страхователем, не носит случайного характера. Следовательно, при единовременном порядке уплаты страховой премии (взноса) современная вероятная стоимость обязательств страхователя равна фактической величине единовременного взноса. В нашем примере эта сумма составляет (1000 руб. х 3Е20).

Страховщик выплатит страховую сумму только при условии, что застрахованный дожил до конца срока страхования. Поэтому вероятная стоимость обязательств страховщика (математическое ожидание этой величины) равна произведению фактической стоимости выплат (S руб.) на вероятность ее осуществления (nрx):

1000 руб. х 3р20;

где 3р20 – вероятность дожития лица в возрасте 20 лет до конца срока 3 года (т.е. до возраста 20 + 3 года).

Поскольку выплата (если она вообще произойдет) будет осуществляться через n лет, то ее современная стоимость будет равна произведению вероятной стоимости на дисконтирующий множитель за n лет (vⁿ):

(1000 руб. х 3р20) х v³;

где v³ - дисконтирующий коэффициент за 3 года.

3. Применение принципа равновесия.

Равенство современных вероятных стоимостей обязательств страхователя и страховщика в нашем примере запишется следующим образом:

S х nЕx = S х nрx х vⁿ

nЕx = nрx х vⁿ

3Е20 = 3р20 х v³;

Если вместо nрx подставить выражение для расчета вероятности дожить, то получим общую формулу для определения единовременной нетто-ставки по страхованию на дожитие лица в возрасте х лет на срок n лет:

ℓх+n

nЕx = ℓх х vⁿ;

ℓ23

3Е20 = ℓ20 х v³;

где, ℓ20 и ℓ23 – показатели таблицы смертности, характеризующие численность лиц, доживающих до возраста 20 и 23 лет соответственно.

Рассмотрим страхование на случай смерти на следующем примере:

Необходимо рассчитать нетто-премию для лица в возрасте 20 лет, заключившего договор страхования на случай смерти сроком на 3 года, на страховую сумму 1000 руб.

В том, что касается обязательств страхователя, рассуждения аналогичны тем, которые мы приводили в предыдущем примере. Финансовые обязательства страхователя равны произведению страховой суммы (S) на нетто-премию на случай смерти (nАx). nAx – единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лиц в возрасте х лет на срок страхования n лет.

1000 руб. х 3А20.

Финансовые обязательства состоят в выплате страховой суммы (S) при смерти застрахованного лица в течение строка страхования (в течение 3-х лет). Поскольку для каждого года страхования имеется определенная вероятность смерти, следовательно, и вероятность выплаты, то общая современная вероятная стоимость выплаты будет равна сумме ее современных вероятных стоимостей за каждый год.

Рассмотрим первый год после заключения договора страхования. Вероятность выплаты в течение первого года страхования равна вероятности смерти лица при переходе от возраста х лет к возрасту х + 1 год, т.е. qx. По таблице смертности вероятность умереть при переходе от возраста х к возрасту х + 1 год рассчитывается:

dx

qx = ℓх;

В нашем примере:

d20

q20 = ℓ20.

Вероятная стоимость выплаты (ее математическое ожидание) для первого года равна произведению страховой суммы S (1000 руб.) на вероятность выплаты qx, т.е.

dx

S х ℓх,

d20

1000 х ℓ20.

Чтобы получить современную вероятную стоимость выплаты на первом году страхования, необходимо вероятную стоимость умножить на дисконтирующий коэффициент. При этом для простоты будем полагать, что все выплаты происходят в конце года, поэтому используется дисконтирующий коэффициент за один год v¹.

dx

S х ℓх х v¹,

d20

1000 х ℓ20 х v¹.

Вероятность выплаты в течение второго года равна вероятности того, что застрахованный доживет до второго года страхования, т.е. до возраста (х + 1) год и умрет в течение этого года, т.е. при переходе от возраста (х + 1) к возрасту (х + 2) года. Таким образом, вероятность выплаты в течение второго года равна произведению вероятности 1рx дожития лица в возрасте х лет до возраста (х + 1) год на вероятность qx+1 смерти при переходе к возрасту (х + 2) года. Рассчитать эту вероятность по таблице смертности можно рассчитать как:

ℓх+1 ℓх+1 - ℓх+2 ℓх+1 - ℓх+2dх+1

1рx х qx+1 = ℓх х ℓх+1 = ℓх = ℓх;

d21

или ℓ20.

Таким образом, вероятная стоимость выплаты на втором году страхования определяется:

dx+1

S х ℓх,

d21

1000 х ℓ20,

а современная вероятная стоимость выплаты для второго года страхования равна:

dx+1

S х ℓх х v²,

d21

1000 х ℓ20 х v².

Аналогичным образом определяется современная вероятная стоимость выплаты для всех последующих лет страхования.

Для нашего примера, современная вероятная стоимость выплаты для третьего года страхования:

dx+2

S х ℓх х v³,

d22

1000 х ℓ20 х v³.

Равенство современных вероятных стоимостей обязательств страхователя и страховщика в нашем примере запишется следующим образом:

dх х v¹ + dх+1 х v² +... + dх+n-1 х vⁿ

S х nАx = S х ℓх;

 

dх х v¹ + dх+1 х v² +... + dх+n-1 х vⁿ

nАx = ℓх;

 

d20 х v¹ + d21 х v² + d22 х v³

3А20 = ℓ20

 

Вопрос 5. Понятие коммутационные числа. Использование коммутационных чисел для построения тарифных ставок.

Поскольку при подготовке нового договора страхования приходится определять тарифы для различных возрастных групп, раздельно для мужчин и женщин, то расчеты нетто-ставок по полученным в предыдущем параграфе общим (логическим) формулам становиться достаточно объемными и трудоемкими. Поэтому для упрощения формул для расчета тарифов по страхованию жизни была разработана методика, которая состоит в использовании так называемых коммутационных чисел.

Коммутационные числа – это специальные технические показатели, которые сведены в таблицы. Они не несут никакого конкретного «физического» смысла. Их применение вызвано только желанием, сократить объем ручных вычислений.

Можно привести следующие наиболее часто встречающиеся коммутационные числа и их формулы:

Dx = ℓх х v^х;

Nx = Dх + Dх+1 +... + Dω;

Сx = dх х v^х+1;

Мx = Сх + Сх+1 +... + Сω,

где ω – предельный возраст таблицы смертности.

Рассмотрим процедуру перевода общих (логических) формул в формулы, записанные с использованием коммутационных чисел.

Выведенную в предыдущем вопросе формулу нетто-ставки на дожитие умножим и разделим на v^х:

ℓх+nℓx+n x vⁿ x v^хℓx+n x v^х+n

nЕx = ℓх х vⁿ = ℓx x v^х = ℓx x v^х.

Подставляя значение коммутационных чисел, мы получим:

Dx+n

nЕx = Dx

Теперь, по той же схеме преобразуем нетто-ставку на случай смерти:

 

dх х v¹ + dх+1 х v² +... + dх+n-1 х vⁿ

nАx = ℓх =

 

 

dх х v¹ х v^х + dх+1 х v² х v^х +... + dх+n-1 х vⁿ х v^х

= ℓх х v^х =

 

 

dх х v ^х+1 + dх+1 х v^х+2 +... + dх+n-1 х v ^х+n Сх + Сх+1 +... + Сх+n-1

= ℓх х v^х= Dх

Числитель этого выражения можно еще упростить, записав его как разность коммутационных чисел Мх и Мх+n. Действительно:

Мх = Сх + Сх+1 +... + Сх+n-1 +... + Сх+n +... + Сх+n+1 +... + Сω;

Мх+n = Сх+n +... + Сх+n+1 +... + Сω;

Мх – Мx+n = Сх + Сх+1 +... + Сх+n-1.

Таким образом, единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лица в возрасте х лет на срок страхования n лет можно рассчитать по формуле:

Мх - Мх+n

nАx = Dх.

Если страхование жизни на случай смерти осуществляется пожизненно, то данная формула примет вид:

Мх

Аx = Dх.