В.2 Формы средних и их применение.

Введем обозначения:

Х_i – варианта;

f_i – частота (повторяемость) варианты;

W_i – объем явления (Х_i * f_i = W_i).

 

1. Средняя арифметическая:

- простая

 

 

(3.1)

 

- взвешенная

 

 

(3.2)

 

Средняя арифметическая простая применяется, когда варианта Хi – встречается один раз или одинаковое число раз.

Средняя арифметическая взвешенная используется в тех случаях, когда варианты встречаются не одинаковое число раз или когда определяют среднюю из средних.

Обе формы средних были использованы нами при расчете средней оценки в группе по истории Беларуси.

2. Средняя гармоническая:

- простая

 

(3.3)

-

-

-

- взвешенная

 

(3.4)

 

Понятие частоты и веса не равнозначны: в качестве веса может служить показатель доли или структуры явления, варианта может представлять собой частное. Например, трудоемкость продукции равна дроби:

 

В этих случаях формулы средней арифметической не годятся, и поэтому используется средняя гармоническая. Рассмотрим следующие примеры на применение формулы средней гармонической.

 

Задача 1. Найти среднюю цену реализации продукции, используя данные, приведенные в таблице 3.1.

 

Таблица 3.1. Расчет средней цены реализации 1ц продукции

 

Сортность продукции	Цена 1 ц, ден. ед.	Удельный вес в выручке, %	Отношение удельного веса выручки к цене
Хi	Wi	Wi/Xi
1) Первый сорт		79,0	0,302
2) Второй сорт		16,0	0,065
3)Нестандартное		5,0	0,022
ИТОГО	х		0,389

 

Тогда средняя цена реализации 1 центнера определяется по формуле:

 

Задача 2. По трем бригадам хозяйства получены следующие показатели.

 

Таблица 3.2. Урожайность и валовой сбор зерновых по бригадам

Бригада	Урожайность, ц/га	Валовой сбор, ц
Обозначения	Xi	Wi
Первая
Вторая
Третья
Итого и в среднем	?

 

Найти среднюю урожайность зерновых в хозяйстве.

Среднюю урожайность найдем по формуле:

 

 

В этом примере каждая дробь в знаменателе дает значение посевной площади под зерновыми культурами в каждой бригаде.

 

3. Средняя хронологическая:

 

(3.5)

 

Эта формула используется в моментных рядах динамики (см. дальше тему "Ряды динамики") для расчета среднего уровня ряда.

Например, дана стоимость основных производственных фондов на первое число каждого месяца.

 

Таблица 3.3. Стоимость основных производственных фондов на первое число каждого месяца

 

Дата	Стоимость основных производственных фондов, млн. руб.
01.01
01.02
01.03
01.04

 

Найти среднемесячную стоимость основных производственных фондов за первый квартал можно по формуле (3.5).

 

Графически это представлено на рисунке 3.1.

Следовательно, средняя месячная стоимость ОПФ будет составлять 11658 млн. руб.

4. Средняя геометрическая:

 

(3.6)

Где

 

– цепной темп роста, или цепной

коэффициент роста,

, – уровни ряда динамики.

 

Эта формула используется в рядах динамики для определения средней скорости изменения явления во времени.

 

По этой формуле можно вычислить средний темп уровня инфляции.

 

5. Средняя квадратическая:

 

- простая

 

(3.7)

 

 

- взвешенная

 

(3.8)

 

Эта форма средней применяется при расчете среднего квадратического отклонения, где вариантой служит величина отклонения показателя от своей средней.

Примечание: выбор формулы для расчета средней величины зависит от цели исследования, вида анализируемой совокупности и наличия частоты (повторяемости) у анализируемого признака (показателя).

 

6. К описательным средним относятся мода и медиана, иногда их называют структурными средними.

Модой (Мо) называется величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности.

Медианой (Ме) называется варианта, расположенная в середине ранжированного ряда. Если ряд содержит четное число элементов, то медиана равна полусумме серединных вариант.

Примечание: Подробнее формулы моды и медианы рассматривают в курсе теории вероятностей и математической статистики.

Свойство мажорантности средних. Между средними существует следующее соотношение:

 

x _гарм <`x <sub>геометр</sub> <`x_арифм < `x<sub>квадр</sub> < `x_кубич < … (3.9)