В 3. Виды парной корреляционно-регрессионной связи.

К самым простым корреляционно-регрессионным связям относят парные или однофакторные связи. Среди парных выделяют: линейные и криволинейные связи. Результативный показатель обозначается У, факторный признак обозначается Х. Исходную базу данных (цифровую информацию) можно представить в виде горизонтальной или вертикальной таблицы. Например,

 

Таблица 6.1. База данных для исследования связи показателей

 

№ по порядку								N
Результативный показатель	У1	У2	У3					Уn
Факторный признак	Х1	Х2	Х3					Хn

В исходной информации вместо «№ по порядку» могут быть указаны наименования хозяйств (точек совокупности). Если задана информация в таком виде, то каждой паре чисел на декартовой системе координат в соответствие может быть поставлена точка. На рисунках 6.1 и 6.2 изображены некоторые виды таких графиков, которые называются точечными диаграммами.

Виды парной корреляционно-регрессионной связи:

 

1. Линейное уравнение регрессии:

 

2. Степенная связь факторов:

или

Это уравнение может быть приведено к линейному уравнению путем логарифмирования:

log Y = log a + b log х

 

3. Показательная связь факторов:

Уравнение приводится к линейному виду через логарифмирование:

log у = log a +(log b) х

 

4. Гиперболическая зависимость результата от фактора:

Ỹ_х= а +

Это уравнение преобразуется в линейное уравнение подстановкой величины, обратной Х, т.е. Z=

тогда Ỹ_z = a + bz.

Рисунок 6.1. – Прямая (положительная) регрессия

 

Рисунок 6.2. – Обратная (отрицательная) регрессия

 

5. Параболическая связь:

 

В 4. Парная линейная корреляционно-регрессионная модель.

Процесс построения корреляционно-регрессионной модели сводится к осреднению значения результата и фактора.

Пусть исходные данные Х и У сведены в таблицу и дополнительно рассчитаны Х², ХУ, У_х.

 

Таблица 6.2. Информация для построения уравнения регрессии

№ п/п	Хi	Уi	Х^2	XУ	Ỹх
	X1	У1	X²1	X1У1	Ỹх1
	X2	У2	X²2	X2У2	Ỹ
...	...	...	...	...	...
N	Xn	Уn	X²n	XnУn	Ỹхn
∑	∑Хi	∑Уi	∑Х^2	∑ХУ

 

В дальнейшем, после расчета уравнения регрессии и нахождения по нему теоретических значений результативного показателя, необходимо будет проверить выполнение равенства:

Для парной связи следует построить график (точечную диаграмму), и выявить наличие ошибок информации и (или) аномальные точки:

Уравнение регрессии должно быть таким, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов отклонений эмпирических значений результативного показателя от теоретических значений, полученных по модели: ỹ_х

 

(6.2)

 

Y

* ..

... (*) – «аномальные»

точки

... или ошибки

... * информации

..

x

 

 

Рисунок 6.3. Точечная диаграмма связи показателей

 

Это достигается при использовании метода наименьших квадратов (МНК), разработанного К.Ф.Гауссом (1777–1855).

Для прямой линии составим линейную систему нормальных уравнений (два уравнения с двумя неизвестными).

Получим:

 

(6.3)

 

В учебниках по общей теории статистики, как правило, даются формулы для расчета параметров уравнения регрессии и :

 

(6.4)

 

 

(6.5)

 

Эти формулы получены при использовании правила определителей второго порядка для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, где в знаменателе стоит значение главного определителя:

 

(6.6)

 

где Δ – главный определитель системы.

В числителях формул 6.4 и 6.5 стоят определители, где в главном определителе заменен один из столбцов на столбец свободных членов.

В полученном уравнении регрессии параметры носят следующие названия:

а0 – свободный член;

а1 – коэффициент регрессии.

В уравнении свободный член может иметь экономико-технологический смысл, а может не иметь. Например, если уравнение отражает уровень продуктивности животных в зависимости от уровня кормления, то свободный член должен показывать уровень продуктивности животных при «нулевом» кормлении, что является абсурдным. С точки зрения математики свободный член отражает значение точки пересечения прямой линии с осью ординат. Корреляционно-регрессионная связи существует только в определенной области (в области размаха вариации для Х и У)

Парный коэффициент регрессии всегда интерпретируем.

Парный коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц своего измерения в среднем изменится результат (У), если факторный показатель (Х) изменится в среднем на единицу своего измерения.

Например, получено уравнение зависимости уровня рентабельности от уровня механизации производственного процесса:

Ỹ_х = 10 + 0,301Х, где значения обоих параметров уравнения имеют смысл:

а0=10% будет отражать уровень рентабельности при полном отсутствии механизации труда;

а1=0,301% показывает, что уровень рентабельности увеличится на 0,3%, если уровень механизации вырастет на 1%.

Имея значения параметров уравнения регрессии, вычисляют теоретические значения результативного показателя, подставляя в уравнение фактические значения Хi (см. таблицу 6.2), для дальнейшей работы с моделью.