Хвильова функція та її статистичний зміст

Корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії встановлює межі застосування класичної фізики. В мікросвіті класичний спосіб опису стану частинок за допомогою координат та імпульсів перестає бути однозначним і повинен бути замінений іншим – статистичним способом, на якому грунтується механіка мікросвіту – квантова механіка.

Стан мікрочастинок в квантовій механіці задається хвильовою функцією . Зокрема, для вільної одновимірної частинки хвильовою функцією є плоска хвиля де Бройля (7.19), яку представимо тут у комплексній формі:

, (7.21)

де . Помноживши на комплексно спряжену функцію , отримаємо

. (7.22)

З точки зору хвильових уявлень квадрат амплітуди хвилі визначає її інтенсивність, зокрема, інтенсивність дифракційних максимумів на рис. 7.5. З точки зору корпускулярних уявлень – це імовірність попасти мікрочастинці в ту чи іншу точку екрану спостереження після проходження щілини. Отже, фізичний зміст має не сама хвильова функція, а вираз , який називається густиною імовірності. Для частинок, які не є вільними, а перебувають в силових полях, хвильова функція не може розглядатися як просторова хвиля, але її ймовірнісна інтерпретація залишається в силі. Зокрема, імовірність знайти мікрочастинку в деякій області простору, наприклад, в елементарному об’ємі , становить

. (7.23)

Оскільки імовірність повинна бути однозначною, неперервною і скінченою, то на хвильову функцію накладаються наступні стандартні вимоги:

1) вона повинна бути однозначною, неперервною і скінченою;

2) перші похідні по координатах і часу від хвильової функції також повинні бути неперервними, що забезпечить “гладкість” імовірності;

3) вона повинна бути інтегрованою; зокрема, , як імовірність знайти частинку в будь-якій точці простору V (імовірність вірогідної події).

Знання хвильової функції дозволяє встановити середнє значення довільної фізичної величини f:

. (7.24)

Для знаходження хвильової функції конкретного квантовомеханічного об’єкту необхідно розв’язати рівняння Шрьодінгера (1926 р.)

, (7.25)

яке є аналогом ІІ закону Ньютона класичної механіки. В цьому рівнянні

– (7.26)

оператор Гамільтона або оператор повної енергії частинки, де m – маса частинки, – оператор Лапласа

, (7.27)

U – оператор потенціальної енергії, дія якого зводиться до простого множення на хвильову функцію.

Якщо потенціальна енергія частинки явно не залежить від часу, тобто , то квантовомеханічна задача називається стаціонарною, і у хвильовій функції можливе розділення змінних, тобто

 

. (7.28)

Підставляючи (7.28) у (7.25), після нескладних перетворень отримаємо

, (7.29)

, (7.30)

де с і Е – константи інтегрування, при цьому Е має зміст енергії частинки.

Рівняння (7.30) називається рівнянням Шрьодінгера для стаціонарних станів. Розв’язок цього диференціального рівняння задовольняє стандартні вимоги до хвильової функції, як правило, не при усяких, а дискретних (дозволених) значеннях параметра Е. Ці значення називаються власними значеннями оператора , а відповідні хвильові функції – власними функціями цього оператора.

Отже, розв’язок рівняння Шрьодінгера (7.30) зводиться до знаходження власних значень і власних функцій оператора повної енергії частинки . При цьому дискретність (квантування) енергії не вимагає додаткових штучних припущень типу постулатів Бора (§7.1), а витікає з математичних властивостей самого рівняння Шредінгера. Фізична ж суть цього рівняння полягає у виборі аналітичної форми потенціальної енергії U, тобто у виборі моделі квантомеханічного об’єкту.

7.3.3. Для вільної (U=0) частинки, що рухається вздовж осі х, стаціонарне рівняння Шрьодінгера має вигляд

.

Розв’язок цього рівняння шукається у вигляді

,

що легко перевірити підстановкою в рівняння Шрьодінгера.

Повна хвильова функція, з врахуванням (7.28) і (7.29),

співпадає з виразом для плоскої хвилі де Бройля (7.19), якщо покласти, що . Остання рівність є очевидною, оскільки повна енергія частинки співпадає з її кінетичною енергією

. (7.31)

Рівняння Шреденгера

Рівняння руху мікрочастинок мусить враховувати їхні хвильові властивості, тому воно повинне бути хвильовим, подібно рівнянню, яке описує електромагнітні хвилі. Основне хвильове рівняння квантової механіки запропоноване Е.Шредін-гером у 1926 році, і з нього можна одержати аналітичний вираз для y-функцій у кожному конкретному випадку. Його справедливість підтверджується згодою оде-ржаних з його допомогою результатів із дослідними даними. Воно має вид звич-

ного хвильового рівняння: де V – швидкість поширення хвилі де Бройля. При вільному русі частинки, хвильова функція є плоскою хвилею де Брой-

ля. Відношення w₀/V=k – хвильовому числу, яке зв'язане із довжиною хвилі спів-відношенням: k=2p/l. Підставивши сюди вираз довжини хвилі де Бройля частинки l=h/m×V, одержимо рівняння Шредінгера для стаціонарних (незалежних від ча-

су) силових полів: де враховано, що h=h/2p, а кінетична енергія частинки надана, як різниця між її повною енергією Е і потенціа-

льною U(x,y,z). У це рівняння, як параметр, входить повна енергія частинки Е. Із теорії диференціальних рівнянь випливає, що рівняння Шредінгера має рішення не при будь-яких значеннях енергії Е, а лише при певному наборі значень, які називають власними значеннями. Вони можуть утворювати як неперервний, так і дискретний ряд енергій. y-Функції, які відповідають власним значенням енергії, називають власними хвильовими функціями.

Найпростішим прикладом вирішення рівняння Шредінгера є рішення задачі про рух частинки у одновимірній потенціальній ямі розміром l із нескінченно високими стінками. Якщо усередині ями на частинку не діють силові поля, то її потенціальна енергія у ямі (для 0£x£l) U(x)=0, а поза ямою (для х<0 і х>l) прямує до нескінченності U(x)=¥. Оскільки частинка не може проникнути за нескінченно високі стінки ями, то y-функція за межами ями дорівнює нулю. Тому, за умови неперервності хвильової функції, вона дорівнює нулю і на межах ями, тобто y(0)=y(l)=0. Усередині ж ями y-функція відмінна від нуля. Хвильове рівняння

для y-функции усередині одновимірної ями набуває вигляду: Використовуючи позначення 2mE/h^2=k^2, перепишемо рівняння у вигляді: Рішенням його є гармонічна функція:y(x)=A×sin(w0×x+j). Із граничної умови y(0)=0, маємо: y(0)=А×sin(j)=0. Звідки випливає, що початкова фаза j=0. З іншої граничної умови y(l)

=0 маємо y(l)=А×sin(w₀×l)=0. Це співвідношення справедливе при умові: w₀×l=±p×n,