Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

У класичній механіці всяка частинка рухається вздовж певної траєкторії так, що фіксовані її координати та імпульс. Мікрочастинки внаслідок наявності в них хвильових властивостей відрізняються від класичних частинок. Одна з основних відмінностей полягає в тому, що мікрочастин­ка не має чіткої траєкторії, і неправомірно говорити одночасно про точні значення її координат та імпульсу.

Як відомо, будь–яка хвиля, незалежно від її природи, є процесом, що заповнює більшу чи меншу область простору, а через це не може локалізуватися в одній точці. Наприклад, уздовж осі ОХ рухається фотон, для якого точно відомий імпульс , тобто . Такому фотону відповідає хвиля, довжина якої однозначно визначається величиною імпульсу .

Така монохроматична хвиля в просторі нічим не обмежена, область її існування – вся вісь ОХ. Це означає, що в цьому випадку просторовий інтервал , в якому замкнено об’єкт з хвильовими властивостями – фотон, дорівнює нескінченності. Іншими словами, при маємо . Отже, якщо точно відомий імпульс, локалізація фотона стає цілком невизначеною.

Якщо ж область локалізації фотона є обмеженою, то це означає, що амплітуда відповідного хвильового процесу відрізняється від нуля тільки всередині скінченого інтервалу і дорівнює нулю поза ним. Такий хвильовий процес уже не можна зобразити монохроматичною хвилею. Його можна уявити як суперпозицію ряду монохроматичних хвиль різної довжини. На рис. 4.3 наведено простий приклад суперпозиції трьох синусоїдальних хвиль, внаслідок чого виникає хвильовий процес – так званий хвильовий пакет, амплітуда якого відрізняється від нуля в скінченому інтервалі .

Оскільки в хвильовому пакеті є набір значень , які містяться в деякому інтервалі , то набір значень імпульсів Pзнаходиться в інтервалі

. (1.8)

Чим ширший інтервал можливих значень інтерферуючих хвиль, а разом з тим інтервал можливих значень імпульсів, тим вужча область локалізації результуючого пакета. Інакше кажучи, чим більша невизначеність імпульсу фотона, тим точніше можна визначити його координати. При маємо ,тобто точне значення координат фотона можливе тільки при повній невизначеності його імпульсу.

Такі висновки справедливі не тільки для фотонів, а й для електронів, протонів та інших мікрочастинок.

У 1927 р. В. Гейзенберг, враховуючи хвильові властивості мікрочастинок, дійшов до висновку, що об’єкт мікросвіту не­можливо одночасно з однаковим ступенем точності характеризувати і координатами, й імпульсом.

Згідно з співвідношенням невизначеностей Гейзенберга мікрочастинка не може одночасно мати і певні координати і певні відповідні проекції імпульсу , причому невизначеності в значеннях цих всіх величин задовольняють умови

, , , (1.9)

тобто добуток невизначеностей координати і відповідної їй проекції імпульсу не може бути меншим від величини .

Співвідношення невизначеностей випливає з хвильових властивостей мікрочастинок. Нехай потік фотонів проходить через вузьку щілину завширшки , яка розміщена перпендикулярно напрямку їх руху (рис. 1.4) і при їх проходженні через щілину відбувається дифракція, яка спостерігається на екрані E.

 

До проходження через щілину фотони рухалися вздовж осі OY, тому складова їх імпульсу є точно визначена, відповідно складова та імпульсу фотонів. В той самий час координата x фотонів є цілком невизначеною. В момент проходження фотонів через щілину їх положення в напрямку осі ОX визначається з точністю до ширини щілини, тобто з точністю . Внаслідок дифракції фотони відхиляються від початкового напрямку і починають рухатися в границях кута . Отже, появиться невизначеність в значенні складової імпульсу вздовж осі ОХ, яка дорівнює

. (1.10)

Звідки

(1.11)

З теорії дифракції відомо, що першому дифракційному мінімуму при дифракції світла на нескінченно довгій щілині відповідає куту дифракції, що задовольняє умову:

.

Або

. (1.12)

З (1.10) і (1.11) маємо

 

З останнього співвідношення отримуємо

. (1.13)

Якщо врахувати дифракційні максимуми вищих порядків, то

або . (1.14)