Точки с и d лежат на окружности с диаметром АВ. Прямые ac и BD пересекаются в точке Р, а прямые AD и bс – в точке Q. Докажите, что прямые AB и pq перпендикулярны.

Дано: , , , AC BD=Р, AD BС=Q

Доказать:

Доказательство.

и - прямоугольные, т.к. опираются на диаметр.

Рассмотрим : - точка пересечения высот , а т.к. она единственна, то , ч.т.д.

 

№15.

Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.

Дано: ABCD – квадрат, , .

Найти:

Решение.

, -прямоугольные, , - общий, тогда , значит, = (по углу и гипотенузе), тогда . Аналогично , значит,

Ответ:

 

Вариант 6.

№13.

В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота CD к гипотенузе АВ. Найдите АВ, если .

Дано: - прямоугольный, CD – высота,

Найти: АВ

Решение.

Пусть , тогда , т.е.

Ответ:

 

 

№14.

На стороне АВ параллелограмма ABCD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны AD. Найдите углы параллелограмма.

Дано: ABCD – параллелограмм, , , , AC BD=О,

Найти:

Решение.

 

 

, т.к. О – середина BD, К – середина АВ КО – средняя линяя , аналогично

, как углы, опирающиеся на диаметр

, т.к. они опираются на одну дугу

, т.к.

, как накрест лежащие при и секущей АО

Тогда (из )

Ответ:

 

 

№15.

Каждая диагональ четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что данный четырехугольник – параллелограмм.

Дано: ABCD – четырехугольник, AC BD=О,

Доказать: ABCD – параллелограмм

Доказательство.

Дополнительное построение: .

Т.к. BD – общая, то , , как вертикальные углы,

Аналогично , аналогично - параллелограмм, ч.т.д.

 

 

Вариант 7.

№13.

Два круга с радиусами по 5 см имеют общую хорду длиной см. Найдите площадь общей части этих кругов.

Дано: Окр(О;R), Окр(O₁;R), B, D – точки пересечения, R=5см, см.

Найти:

Решение.

По теореме, обратной теореме Пифагора - прямоугольный (),

Ответ: см

 

 

№14.

Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что отрезок соединяющий середины оснований трапеции, равен половине разности длин оснований.

Дано: ABCD – трапеция, , .

Доказать:

Доказательство.

Заметим, что, по теореме о четырех замечательных точках трапеции, K, L,M лежат на одной прямой.

, тогда - прямоугольный,

, ч.т.д.

 

№15.

В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Центр окружности, вписанной в треугольнике АВК и центр окружности, описанной около треугольника АВС, совпадают. Найдите углы треугольника АВС.

Дано: , АК –биссектриса, - описана около , - вписана в ,

Найти:

Решение.

Т.к. О – центр вписанной и описанной окружностей и , то О – центр пересечения серединных перпендикуляров и биссектрис .

Пусть , тогда

Тогда получим для :

,

Ответ: ,

 

 

Вариант 8.

№13.

Две стороны треугольника имеют длины 10 см и 6 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 7 см. Найдите угол между данными сторонами треугольника.

Дано: , ВМ – медиана,

Найти:

Решение.

По теореме косинусов:

Ответ:

 

№14.

В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне АВ и по одной вершине на сторонах АС и ВС. Найдите площадь квадрата, если АВ=40 см, а высота, проведенная из вершины С, имеет длину 24 см.

Дано: , MKLN – квадрат, СН – высота,

Найти:

Решение.

(по двум углам)

Тогда

см²

Ответ: см²

 

№15.

Вне квадрата на его стороне, построен прямоугольный треугольник, у которого сторона квадрата является гипотенузой. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника проходит через центр квадрата.

Дано: ABCD – квадрат, - прямоугольный, NM-биссектриса.

Доказать: NM проходит через центр ABCD

Доказательство.

Достроим BCDАN до квадрата со стороной BN+AN, (по трем сторонам).

Пусть О – центр квадрата NLMK, тогда , значит, - прямоугольные и равнобедренные , т.е. NM и LK – биссектрисы , значит, биссектрисы пересекаются в центре NLMK , т.е. О – центр ABCD, ч.т.д.

 

Вариант 9.

№13.

Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то сумма квадратов их длин равна квадрату суммы длин оснований.

Дано: ABCD – трапеция, .

Доказать:

Доказательство.

Дополнительное построение: ,

По теореме Пифагора: , т.е. , ч.т.д.

 

№14.

В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки 6 см и 8 см. Найдите длины сторон треугольника.

Дано: , - вписана в , N, K, M, L – точки касания, ,

Найти:

Решение.

, с другой стороны

Пусть , тогда получим:

Тогда

Ответ:

№15.