Найдите углы треугольника, Если высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине треугольника на три равные части.

Дано: , медиана СМ, СН - высота,

Найти: ÐA, ÐC, ÐB

Решение.

: СН – биссектриса, тогда, по свойству биссектрисы угла треугольника,

Тогда

Ответ: ,

 

 

№ 15.

Две окружности пересекаются в точках A и B, прямая CD – общая касательная этих окружностей (C и D – точки касания). Прямые AB и CD пересекаются в точке N. Докажите, что N – середина CD.

Дано: w₁ и w₂ – окружности, w₁ Ç Ç w₂ = {A;B}, CD – общая касательная, CD Ç w₁ = C, CD Ç w₂ =D, AB Ç CD = N

Доказать: CN = ND

Доказательство.

По теореме о квадрате касательной для окружности w₁ имеем: . Аналогично, для окружности w₂ получаем: . Значит CN² = ND² Þ CN = ND Þ N – середина CD, ч.т.д.

 

Вариант 17.

№13.

В прямоугольной трапеции ABCD высота АВ равна сумме оснований AD и ВС. Биссектриса угла АВС пересекает сторону CD в точке К. В каком отношении эта точка делит CD?

Дано: ABCD – прямоугольная трапеция, , - биссектриса, .

Найти:

Решение.

I способ

Пусть EF – средняя линия ABCD. Проведем BF и AF, , также - равнобедренный, ;

- биссектриса, - средняя линия и

Ответ:

II способ

Пусть , тогда - равнобедренный

также равнобедренный

- прямоугольный

ВК – биссектриса равнобедренного треугольника с основанием МС ВК – серединный перпендикуляр к центр описанной вокруг окружности лежит на ВК, но он также лежит на CD, как на гипотенузе. В , точка, принадлежащая одновременно CD и ВК, является точкой К К – центр описанной вокруг окружности .

Ответ:

II способ

Пусть BK Ç AD = L. Так как BK – биссектриса ÐB, а ÐB = 90°, то ÐABL = = ÐCBL = 45°. Так как AL װ BC, то ÐBCD = ÐCDL, ÐABL = ÐCBL = ÐL = = 45° Þ DABL – равнобедренный Þ AB = AL. Так как AB = AD + BC, AL = = AD + DL, а AB = AL, то AD + BC = AD + DL Þ BC = DL. Так как ÐBCD = = ÐCDL, ÐCBL = ÐL, BC = DL, то DBCK = DDKL Þ CK = KD Þ .

Ответ:

 

№14.

В окружность диаметра см вписан шестиугольник, одна сторона которого 10 см, а все остальные равны между собой. Найдите его углы.

Дано: , , .

Найти:

Решение.

I способ

по теореме косинусов

Ответ: ,

II способ

Пусть . В - равнобедренный

Сумма всех углов шестиугольника

Итак ,

Ответ: ,

 

 

№15.

На окружности с центром О дана точка А. найдите геометрическое место середин всех хорд этой окружности, проведенных из точки А.

Дано: , ,

Найти: ГМТ точки М

Решение.

Пусть точка B₁ окружности такая, что точка O не лежит на отрезке AB₁. Пусть O₁ – середина AO. Тогда, поскольку M₁ – середина AB₁ и O₁ – середина AO, O₁M₁ – средняя линия в DAOB₁ Þ O₁M₁ = ½OB₁ = ½R. Таким образом, точка M₁ удалена от данной точки O₁ на данное расстояние, равное ½R. Тогда, в силу произвольности выбора точки B₁, все точки M лежат на данном расстоянии от точки O₁, то есть, на окружности с центром в точке O₁ и радиусом, равным ½R. Докажем, что все точки этой окружности принадлежат искомому ГМТ. Выберем произвольно точку M₂ этой окружности. Пусть прямая AM₂ пересекает данную окружность в точке B₂. Докажем, что M₂ – середина AB₂. Так как AO = OB₂, то DAOB₂ – равнобедренный Þ ÐOAB₂ = ÐOB₂A. Также AO₁ = O₁M₂, поэтому DAO₁M₂ – равнобедренный Þ ÐOAB₂ = ÐO₁M₂A Þ ÐOB₂A = ÐO₁M₂A Þ O₁M₂ װ OB₂, а так как O₁ – середина AO, то по теореме Фалеса M₂ – середина AB₂. Итак, искомое ГМТ – окружность с центром в середине отрезка AO и радиусом, равным половине этого отрезка.

Ответ:

Вариант 18.

№ 13.

Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

Дано: DABC, AB = AC = 13, BC = 10.

Найти: R

Решение.

S_D =

R = .

Ответ:

№ 14.

Точки M и N – середины сторон CD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что отрезки AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Дано: ABCD – параллелограмм, MС=MD, NB=NC, AMÇBD = K, ANÇBD = L

Доказать: DK = KL = LB

Доказательство.

Так как ABCD – параллелограмм, то AB = DC, AD = BC, AB║CD, AD║BC. Так как M – середина CD, то DM = ½CD = ½AB Þ Аналогично . Так как AB║CD, то DABK ~ DDKM Þ Þ Þ Þ DK = BD – DK Þ DK = BD Þ DK = BD. Аналогично из подобия треугольников ALD и BLN получаем: BL = BD. Так как DK + KL + LB = = BD, DK = BD, BL = BD, то и KL = BD Þ DK = KL = LB, ч.т.д.

№ 15.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка M, и из неё опущены перпендикуляры MK и MP на катеты этого треугольника. Определите, при каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей.

Дано: DABC, ÐC = 90°, M AB, MK ^ AC, MP ^ BC

Найти: при каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей.

Решение.

Заметим, что CKMP – прямоугольник Þ PK = CM при любом положении точки M на гипотенузе. Значит PK минимально только в том случае, если CM минимально, а минимальное расстояние от точки C до прямой AB есть отрезок перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Значит M – основание высоты, опущенной из вершины C на гипотенузу.

Ответ: M – основание высоты, опущенной из вершины C на гипотенузу.

 

Вариант 19.

№ 13.