Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника.

Дано: - прямоугольный, окр.(О;R) касается гипотенузы и продолжений катетов в точках K, N, M,

Найти:

Решение.

KOMC – квадрат, т.к.

-прямоугольник, но OK=OM=R.

KA=AN, NB=BM как отрезки касательных, проведенных из одной точки, тогда

Ответ:

 

 

Вариант 2.

№13.

Три окружности с радиусами 1 см, 2 см и 3 см попарно касаются друг друга. Найдите длину окружности, проходящей через центры данных окружностей.

Дано: Окр(A;2), Окр(B;1), Окр(C;3), E, F, D – точки касания, Окр (О;ОА),

Найти:

Решение.

Известно, что точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры, тогда

В , , .

, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, -

прямоугольный центр искомой окружности лежит на середине гипотенузы AC и

. Тогда

Ответ:

 

 

№14.

Найдите площадь трапеции, основания которой 16 см и 28 см, а диагонали 17 см и 39 см.

Дано: ABCD – трапеция, см, см, см, см

Найти:

Решение.

Дополнительное построение: .

Пусть , тогда .

Рассмотрим прямоугольный

- по теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный

по теореме Пифагора

см²

Ответ: см²

 

№15.

Даны две точки А и В на плоскости. Укажите геометрическое место точек М этой плоскости, для которых А, В и М – вершины равнобедренного треугольника.

Дано:

Найти: ГМТ точки М, где А, В и М – вершины равнобедренного треугольника.

М

Решение.

1) Если в искомом треугольнике , то , где - серединный перпендикуляр, т.к. все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединных перпендикулярах.

 

2) Если в искомом треугольнике , то

 

 

 

3) Если в искомом треугольнике , то

 

 

Вариант 3.

№13.

Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая BD. Через точку К – середину высоты ВН проведен луч АК, пересекающий прямую BD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.

Дано: - равнобедренный, , , , .

Найти:

Решение.

(, , )

Пусть ,

(, )

 

Ответ:

№14.

Найдите площадь трапеции, основания которой 6 см и 26 см, а боковые стороны 12 см и 16 см.

 

Дано: ABCD – трапеция, см, см, см, см.

Найти:

Решение.

Дополнительное построение: достроим трапецию до параллелограмма .

:

По формуле Герона

Ответ: см²

II способ

Дополнительное построение , тогда . По формуле Герона , с другой стороны .

Ответ: см²

 

№15.

Дана трапеция, в которую можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на ее боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга.

Дано: ABCD – трапеция, Окр. (О; R`) – вписанная, Окр(О₁;r), Окр(О₂;R),

Доказать: Окр(О₁;r) и Окр(О₂;R) касаются

Доказательство.

Пусть N, K, M, L – точки касания вписанной в трапецию окружности со сторонами трапеции, тогда (по свойству отрезков касательных)

- средняя линяя трапеции и . Очевидно, что общая точка единственна.

Итак, Q – тоска касания, ч.т.д.

 

Вариант 4.

№13.

Две касающиеся окружности с центрами О₁ и О₂ лежат внутри окружности с центром О и радиусом R касаются ее в двух различных точках. Найдите периметр треугольника ОО₁О₂.

Дано: Окр. (О; R), Окр(О₁;r), Окр(О₂;R`) –касаются друг друга.

Найти:

Решение.

Известно, что точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры, тогда и , и - лежат на одних и тех же прямых.

Пусть А, В, С – точки касания окружностей, тогда (т.к. )

(т.к. )

Но

Ответ:

 

 

№14.

Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М с вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника ВМС.

Дано: , - медианы, см, см, см

Найти:

Решение.

, , т.к. , высота общая , аналогично

По формуле Герона

Ответ: см²

 

№15.

Каждая высота параллелограмма не меньше той стороны, которой она перпендикулярна. Докажите, что параллелограмм является квадратом.

Дано: ABCD – параллелограмм, , , , .

Доказать: ABCD - квадрат

Доказательство.

Рассмотрим 2 случая:

1) ,

(т.к. AD – гипотенуза прямоугольного треугольника AKD)

С другой стороны - получено противоречие, значит, утверждение не верно и ,

2) Итак, , , т.е. , - квадрат, ч.т.д.

 

 

Вариант 5.

№13.

В равнобокой трапеции, площадь которой равна см², одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите основания трапеции.

Дано: ABCD – трапеция, , , АС – биссектриса .

Найти:

Решение.

Дополнительное построение: .

- равносторонний и

Дополнительное построение: , т.к. равносторонний, то СН – высота, медиана и биссектриса.

- прямоугольный,

Ответ:

 

 

№14.