Высота, биссектриса и медиана треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части. Найдите углы треугольника.

Дано: , , MB- медиана, BD- биссектриса,

Найти:

Решение.

Впишем в окружность . Пусть , тогда , как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, тогда - равнобедренный и KD- высота, медиана и биссектриса.

, т.е. KF – диаметр.

, как накрест лежащие при BH║KM, тогда .

(по двум углам), тогда -равнобедренный и ВК=ВС - серединный перпендикуляр к KF - центр окружности - диаметр, тогда , , ,

Ответ: , , .

Вариант 10.

№13.

В выпуклом четырехугольнике ABCD точки Е, F и G – середины сторон АВ, ВС и AD соответственно, причем . Найдите угол ACD.

Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник, .

Найти:

Решение.

GF – серединный перпендикуляр к , GЕ – серединный перпендикуляр к , значит, точка G равноудалена от всех вершин ABCD G – центр описанной около ABCD окружности.

опирается на диаметр

Ответ:

 

№14.

В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 1:3. Диагонали ромба равны 18 см и 24 см. Найдите стороны треугольника, содержащие стороны ромба.

Дано: DBFE – ромб, , , .

Найти: АВ, ВС

Решение.

Т.к. DBFE – ромб, то, из прямоугольного .

и аналогично , тогда и , как соответственные углы при параллельных прямых, значит,

Ответ: ,

 

 

№15.

Две противоположные стороны выпуклого четырехугольника лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что расстояние между серединами двух других сторон четырехугольника равно расстоянию между серединами его диагоналей.

Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник, .

Доказать: BF=KL

Доказательство.

Зададим прямоугольную систему координат так, что сторона СВ лежит на оси Ox, AD - на Oy, тогда пусть A(0;a), B(b;0), C(c;0), D(0;d).

Тогда , , ,

Т.е. BF=KL, ч.т.д.

 

 

Вариант 11.

№13.

В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Найдите АС, если AD=6 см и BD=5 см.

Дано: ABCD – параллелограмм, , .

Найти: АС

Решение.

Дополнительное построение: , так что и поэтому , Т.е. получим прямоугольник , где , . Из прямоугольного :

Ответ:

№14.

В шестиугольнике ABCDEF AB=AF, BC=CD, DE=EF. Докажите, что биссектрисы углов А, С и Е пересекаются в одной точке.

Дано: ABCDEF, AB=AF, BC=CD, DE=EF, АА₁, СС₁, ЕЕ₁ - биссектрисы.

Доказать:

Доказательство.

- равнобедренные, тогда АА₁, СС₁, ЕЕ₁ – биссектрисы и медианы - серединные перпендикуляры к сторонам , а серединные перпендикуляры пересекаются в треугольнике в одной точке, т.е. , ч.т.д.

 

 

№15.

Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 12 см, а угол между ними равен . Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Дано: , , .

Найти: длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Решение.

По теореме косинусов

, т.е. искомая биссектриса , т.к. против большего угла лежит большая сторона

Ответ:

Вариант 12.

№13.

В треугольнике со сторонами 30 см, 25 см и 11 см найдите длину высоты, проведенной из вершины меньшего угла.

Дано: , .

Найти: длину высоты, проведенной из вершины меньшего угла.

Решение.

Дополнительное построение:

Меньший угол лежит против меньшей стороны - меньший.

Пусть , тогда из :

Из ,

Ответ:

 

 

№14.

Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 29 см, а средняя линия – 21 см.

Дано: ABCD – равнобокая трапеция, , - средняя линия, .

Найти:

Решение.

Дополнительное построение: .

Т.к. , то

- прямоугольный,

Ответ:

 

№15.

Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину.

Дано: , - хорды, - середины хорд

Найти: ГМТ

Решение.

, т.к. , (по теореме о диаметре, делящем хорду пополам),

Тогда , т.е. середины хорд равноудалены от центра окружности, т.е. лежат на окружности с центром в точке О и .

Теперь докажем, что все точки окружности являются серединами хорд данной окружности длины l.

Пусть . Построим , т.е. АВ – касательная к окружности .

( - общая, AO=OB=R). По теореме Пифагора , ч.т.д.

Ответ: середины хорд лежат на окружности с центром в точке О и .

Вариант 13.

№13.

В треугольнике АВС проведены медианы АМ и CN. найдите расстояние между их серединами, если АС=16 см.

Дано: , медианы АМ и СN, AD=DM, NF=FC, .

Найти:

Решение.

Введем прямоугольную систему координат так, что A(0;0), B(a;b), C(16;0), тогда , ,

Ответ:

 

 

№14.