Волновые процессы и их основные характеристики: длина волны, волновое число, фазовая скорость. Уравнения плоской и сферической волн.

Волной называется процесс распространения колебаний или других возмущений в пространстве.

Основными видами волн являются механические упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны.

Упругими волнами называются волны, которые могут распространяться в упругой среде (т. е. среде, которая сопротивляется сжатию: твердой, жидкой и газообразной). К ним относятся, в частности, ударные, звуковые и сейсмические волны. Упругие волны называют также механическими волнами.

Электромагнитные волны могут распространяться как в среде, так и в вакууме (например, радиоволны, световые волны).

Характерным свойством волн является перенос энергии без переноса вещества

В продольной волне частицы колеблются вдоль направления распространения волны, в поперечной волне колебания частиц совершаются перпендикулярно направлению распространения волны. В жидкой и газообразной среде возможно распространение только продольных волн, в твердой среде - как продольных, так и поперечных.

длина́ волны́-расстояние между двумя ближайшими точками гармонической волны, находящимися в одинаковой фазе. Длина волны λ = vT, где Т — период колебаний, v — фазовая скорость волны.

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ -скорость перемещения фазы волны в определ. направлении. В случае монохроматич. плоской волны вида

где А - амплитуда, j-фаза, w-круговая частота, k - волновое число, t- время, х - расстояние, отсчитываемое в направлении распространения волны)

Волновое число- величина, связанная с длиной волны λ соотношением: k = 2π/λ (число волн на длине 2π). В спектроскопии В. ч. часто называют величину, обратную длине волны (1/λ).

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t:

Пусть колебание точек, лежащих в плоскости х=0, имеет вид (при начальной фазе ф=0)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х=0, т.е.

– это уравнение плоской волны.

Уравнение сферической волны

 

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ф=0). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону 1/ r. Следовательно, уравнение сферической волны:

 

Волновое уравнение для электромагнитного поля. Электромагнитные волны в диэлектриках и их свойства.

Волновое уравнение

В 1863 г. Максвелл предсказал на основе полученных им уравнений электромагнетизма существование электромагнитных волн. Покажем, что в вакууме векторы поля удовлетворяют волновому уравнению. Напишем систему уравнений Максвелла:

(1)

(2)

(3)

(4)

Продифференцировав уравнение (1) по времени и заменив в полученном уравнении получим: (5)

Пользуясь формулой векторного анализа и принимая во внимание уравнение (3), получим:

(6)

Аналогичным образом, исключая из уравнений (1) и (2), находим, что вектор H удовлетворяет волновому уравнению: (7)

где – скорость волны. Уравнения (6) и (7) – это волновые уравнения для векторов E и H соответственно. Из того, что векторы E и H удовлетворяют волновому уравнению, вытекает, что электромагнитное поле, которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Но волны возникают лишь тогда, когда их возбуждают. Электромагнитные волны возбуждаются зарядами и токами. Но, возникнув, электромагнитная волна существует и тогда, когда породивших ее токов и зарядов уже нет. Этим переменное поле отличается от статического, которое не может существовать без порождающих его зарядов. Из уравнений (6) и (7) следует, что электромагнитные волны могут распространяться и в вакууме. Рассмотрим теперь решения волнового уравнения. Начнем с самого простого случая – пространственно одномерного волнового уравнения:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

где f1 и f2 – произвольные функции, а аргументы этих функций представляют собой специальные комбинации переменных x,t и постоянной V. Смысл этих решений прост. Если в момент t=0 графически изобразить функции f1(x) и f2(x), то в последующие моменты времени эти функции смещаются вдоль оси X со скоростью V как целое: f1 – вправо, а f2 - влево.

- Распространение электромагнитной волны в диэлектрике представляет собой непрерывное поглощение и переизлучение электромагнитной энергии электронами и ионами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электрическом поле волны. При этом в диэлектрике происходит уменьшение скорости волны.