Уравнение Шредингера. Физический смысл волновой функции.

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера.

Оно сформулировалось в результате анализа большого числа экспериментальных фактов.

Справедливость уравнения доказывается тем, что все вытекающие последствия точно согласованы с опытными фактами.

Уравнение Шредингера:

- особое уравнение, которое сочетает в себе как волновые, так и корпускулярные свойства частиц

- записано в 1928 году Э. Шредингером.

Взаимодействие частиц с силовым полем задает потенциальная энергия U(x,y,z,t), которая в общем случае зависит от координат частицы и от времени.

Волновые свойства микрочастиц определяет так называемая «пси»-функция , которая является также функцией координат и времени.

Корпускулярные свойства микрочастиц определяет ее масса – m.

Состояние микрочастиц:

Стационарное – ее потенциальная энергия не зависит от времени и является функцией только координат.

Из уравнения Шредингера => что вид -функции определяется потенциальной энергией, то есть действием сил на частицу (характером).

Нестационарное – потенциальная энергия зависит от времени и от координат.

- временное уравнение Шредингера.

- оператор Лапласа

Таким образом, распадается на 2 уравнения:

1)

После интегрирования:

После потенцирования:

2) Для нахождения координат частицы

или

– Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Решение этого уравнения позволяет найти ответ на следующие вопросы:

Каков энергетический спектр микрочастицы дискретный E1,E2….En или непрерывный?

Каков вид волновой функции

В какой точке силового поля локализована микрочастица

Волновая функция и ее свойства.

Особенностью квантово-механического описания поведения микрочастиц является вероятностный подход.

Причинно-следственная связь между событиями становится вероятностной.

Вероятностной характеристикой поведения микрочастицы является величина, называемая амплитудой вероятности или «пси»-функцией.

Эта волновая функция описывает волновые свойства частиц.

Правильную интерпретацию физического смысла волновой функции дал Борн.

 

Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля.

Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности нахождения частицы в соответствующем объеме пространства.

Так как вероятность нахождения частиц в заданном объеме V равна 1, то

Тогда - условие нормировки.

Волновая функция должна быть:

- непрерывной, так как описывает последовательное изменение поведения микрочастицы в некотором заданном пространстве;

- однозначной и конечной, то есть давать один ответ на поставленный вопрос о месте нахождения микрочастицы;

- интегрируемой и дифференцируемой по координатам и времени.

Решение уравнения Шредингера существует не при любых, а только при некоторых значениях полной энергии, получивших название собственных значений, это следует из особого решения уравнения Шредингера, которое, с математической точки зрения, является однородным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производствами.

При этом возможные значения энергии образуют так называемый энергетический спектр микрочастиц.

– набор возможных значений энергии микрочастиц.

Как следует из особого решения подобных ДУ этим собственным значением энергии соответствуют волновые функции, которые называются собственными функциями .

Движение свободной частицы.

Свободной является частица, движущаяся вдоль оси Х в свободном пространстве при отсутствии внешних силовых полей.

В этих условиях потенциальная энергия частицы U=0.

Уравнение Шредингера в одномерном случае движения:

Обозначим . Решение уравнения Шредингера: – Эта функция представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля.

Так как < , то

Получим, что все положительные частицы в пространстве (вдоль оси Х) равновероятны, с плотностью

Определение значения полной энергии частицы:

Частица (свобод.) может иметь любую энергию (не квантуется).