Исследование электромагнитного поля в прямоугольном волноводе

Цель работы:

— изучение структуры поля волны основного типа в прямоугольном волноводе;

— изучение дисперсии волны основного типа в прямоугольном волноводе;

— изучение затухания поля в волноводе.

Сведения из теории

Прямоугольный волновод, представляющий металлическую пустотелую трубу прямоугольного сечения, предназначенный для передачи электромагнитной энергии в диапазоне сантиметровых и миллиметровых длин волн, показан на рис.1 вместе с используемой системой координат.

При решении задач распространения электромагнитных волн в волноводе сначала находят собственные волны, распространяющиеся по однородному прямолинейному волноводу бесконечной длинны, которые являются решениями однородного уравнения Гельмгольца для комплексных амплитуд векторов поля в волноводе.

Электромагнитные волны могут переносить энергию лишь вдоль волновода, поэтому усредненный за период колебаний вектор Пойнтинга может иметь только одну составляющую

(1)

и его величина полностью определяется поперечными составляющими напряженностей электрического и магнитного полей, существующих в волноводе. Поэтому, для решения задач передачи энергии достаточно найти лишь поперечные составляющие поля. Поперечные составляющие напряженностей полей в волноводе для собственных волн могут быть легко определены, если найдено решение однородного уравнения Гельмгольца для векторных потенциалов поля, ориентированных по оси Z. Но для пустотелых волноводов решение часто ищут иначе. Как показано в (1) собственные волны таких волноводов можно разделить на два типа: волны типа «Е», которые имеют продольную составляющую напряженности электрического поля в волноводе Е_z (причем H_z=0), и волны типа «Н», имеющие продольную составляющую напряженности магнитного поля в волноводе H_z (причем E_z=0). В этом случае поперечные составляющие напряженностей поля в волноводе могут быть выражены непосредственно через продольные составляющие полей.

Рис. 1. Прямоугольный металлический трубчатый волновод

 

Рис.2 Диаграмма существования волн различных типов в

прямоугольном волноводе.

 

Методика определения полей в прямоугольном волноводе обычно сводится к следующему:

а) предполагается, что стенки волновода идеально проводящие и форма поверхностей стенок идеальна;

б) записывается однородное уравнение Гельмгольца для составляющей Н_z и ищется его решение в виде распространяющейся вдоль оси Z волны методом разделения переменных;

в) пользуясь уравнениями Максвелла, определяют поперечные составляющие напряженностей электрического и магнитного полей в волноводе, выражая их через Н_z;

г) пользуясь принципом перестановочной двойственности уравнений электродинамики, находят общее решение для волн типа «Е»;

д) на найденные в пп. б), в), г) решения накладывают граничное условие Е_t=0 на стенках волновода, определяют постоянные интегрирования и получают решения в окончательном виде.

При заданных поперечных размерах волновода и длине волн генератора (длине волны колебания, создаваемого генератором, измеряемой в свободном пространстве) l₀, волны типов «Е» и «Н» характеризуются двумя числовыми индексами m, n. Колебания с заданными индексами могут существовать лишь в определенных диапазонах длин волн, как это показано на диаграмме существования волн в прямоугольном волноводе, приведенной на рис.2.

Как видно из рис.2, в некотором диапазоне длин волн в волноводе может распространяться лишь одна волна, она называется волной основного типа. В прямоугольном волноводе волной основного типа является Н₁₀, которая имеет три составляющие поля (2):

(2)

где

На рис.3 показана картина силовых линий напряженностей поля в волноводе, построенная по (2), а на рис.4 приведены графики, показывающие изменения амплитуд составляющих волны в поперечном направлении и изменение мгновенных значений составляющих поле в продольном направлении.

При произвольной системе сторонних источников, возбуждающих волновод, или в неоднородном волноводе поле может быть представлено в виде разложения по собственным волнам волновода (в виде суперпозиции собственных волн, имеющих разные амплитуды).

Но в большинстве технических устройств размеры волновода выбираются таким образом, что в нем может распространяться только волна основного типа.

 

Рис.3. Картина силовых линий для волны Н₁₀

 

Рис.4. Распределение амплитуд составляющих поля в поперечном сечении волновода и зависимость мгновенных значений от координаты Z для момента времени t=0.

 

Диапазон длин волн, в котором существует только волна основного типа, с нижней стороны ограничен значениями длин волн, при которых по волноводу могут распространятся высшие типы волн, а с верхней стороны ограничен значением l_кр=2а. Колебания, у которых l₀ >=l_кр, не могут распространяться по волноводу в виде бегущей волны, так как для них постоянная b становится мнимой, как видно из (2). Амплитуда таких колебаний экспоненциально уменьшается при увеличении Z.

Длина волны l₀=l_кр называется длинной критической волны основного типа в волноводе или длинной критической волны для волновода - это наибольшая длинна волны, до которой поле основного типа в волноводе может существовать в виде бегущей (распространяющейся) волны. Колебания в волноводе, для которых l₀>l_кр, называются закритическими. Понятие критической длинны волны таким же образом вводится для волн высших типов.

Постоянную b, называемую постоянной распространения или продольным волновым числом для волновода, можно представить в виде

(3)

где V_ф - фазовая скорость распространения волны данного типа в волноводе; С₀ - скорость света в свободном пространстве; f - частота электромагнитного колебания; f_кр=C₀/l_кр - критическая частота волны данного типа.

Из этого выражения можно определить фазовую скорость. Для волны типа Н₁₀

(4)

Отсюда следует, что фазовая скорость в волноводе является функцией частоты электромагнитного колебания. Такое явление получило название дисперсии. На рис.5 показаны дисперсионные характеристики прямоугольного волновода для основного в первых высших типов колебаний.

Наличие дисперсии приводит к нелинейным искажениям сигналов, передаваемых по волноводу, при достаточно большой ширине спектра радиосигналов. Но в некоторых СВЧ устройствах, например, в антенных решетках с частотным сканированием, явление дисперсии является полезным и используется в работе устройств.

Дисперсию можно исследовать, получая в волноводе режим стоячих волн. Тогда поле в волноводе можно представить в виде наложения падающей и отраженной волн

(5)

в соответствии с (5) амплитуда поля в волноводе будет функцией Z и изменяется, как показано на рис.6, причем расстояние между соседними нулевыми значениями амплитуды равно lb/2. Измеряя при помощи измерительной линии расстояние между соседними минимумами поля в волноводе, можно построить эмпирическую дисперсионную характеристику волновода.

 

Рис.5. Дисперсионные характеристики прямоугольного волновода.

 

Рис.6. График изменения амплитуды стоячей волны.

 

Реальные волноводы изготавливаются из материалов, имеющих конечную величину проводимости. Поэтому токи проводимости, протекающие по стенкам волновода, частично преобразуют энергию электромагнитного поля в тепловую энергию, и по мере движения по волноводу энергия поля уменьшается (затухает).

При этом одновременно уменьшаются амплитуды всех составляющих поля. С учетом затухания выражения (2) для волны основного типа преобразуются к виду

(6)

Мощность, переносимая по волноводу, будет описываться формулой

(7)

Здесь a - постоянная затухания, измеряемая в (дб/м) или в (неп/м), показывающая насколько децибел или непер уменьшится амплитуда волны при прохождении волновода длиной 1м. Приближенное теоретическое выражение для расчета постоянной затухания волны основного типа имеет вид

[неп/м], (8)

где R_n- поверхностное сопротивление стенки волновода. На рис.7 построены графики, показывающие изменения постоянных затухания волн низших типов в прямоугольном волноводе в зависимости от частоты. Постоянные затухания имеют минимум на некоторых частотах.

При увеличении частоты постоянные затухания возрастают за счет R_n, так как начинает сильнее сказываться поверхностный эффект. При уменьшении частоты постоянные затухания увеличиваются из-за приближения к закритической области.

Рис. 7. Частотные зависимости постоянных затухания для

прямоугольного волновода.

 

В действительности, затухание поля в волноводе вызывается и другими причинами, к которым относятся поглощение энергии поля в среде, заполняющей волновод, передача части энергии колебания других типов в волноводе и т.д. поэтому реальная величина постоянной затухания превосходит рассчитанную по (3). Для точного определения постоянной затухания прибегают к измерениям.

Для измерений можно использовать замкнутый на конце волновод, присоединенный к измерительной линии. В измерительной линии будут действовать две волны: падающая, идущая в волноводе, и отраженная от короткозамкнутого конца волновода. Обозначим через Е₀ амплитуду падающей волны в измерительной линии. За счет затухания в волноводе поля у короткозамыкателя будет иметь амплитуду Е₀exp(-al), где l- длина волновода между короткозамыкателем и зондом измерительной линии. Волна, отраженная от короткозамыкателя, еще раз проходит через волновод и в измерительной линии ее амплитуда равна E₀exp(-2al).

Определяя при помощи измерительной линии коэффициент стоячей волны в тракте (КСВ), равный отношению максимальной амплитуды волны в волноводе измерительной линии к минимальной амплитуде, получим:

(9)

Отсюда

В реальных волноводах постоянная затухания достаточно мала, поэтому можно записать приближенное выражение

(10)