Основні види умовиводів із складних суджень.

 

У попередньому пункті ми розглядали опосередковані дедуктивні умовиводи, які складаються лише із простих суджень. Але існують й інші дедуктивні умовиводи, до складу яких входять такі види складних суджень як розділові (диз’юнктивні) й умовні (імплікативні). Таких умовиводів існує необмежена кількість видів. Ми розглянемо лише деякі основні.

Розділовими називають умовиводи, до складу яких входить як мінімум одне розділове (диз’юнктивне) судження. Перший засновок розділового умовиводу завжди є розділовим. Виділяють наступні види розділових умовиводів: суторозділові, розділово-категоричні, розділово-умовні.

Суторозділовий умовивід складається лише з розділових суджень. Дані умовиводи майже не використовуються у науці і повсякденній практиці, оскільки у їх висновках не міститься нового знання по відношенню до засновків. Їх використовують лише для початкової (попередньої) класифікації предметів. Розглянемо, для прикладу, наступне міркування:

 

1. Всі паралелограми належать або до прямокутних, або до не прямокутних.

2. Прямокутні паралелограми є або квадратами, або не квадратами.

3. Паралелограми бувають або прямокутними (квадратами, або не квадратами) або не прямокутними.

 

Із даного прикладу ми бачимо, що всі положення висновку містяться у явному вигляді вже у засновках.

У розділово-категоричних умовиводах перший засновок є розділовим судженням, другий засновок є категоричним судженням або кон’юнктивним (може мати місце у тих випадках, коли кількість диз’юнктів у розділовому засновку є більшою ніж два), а висновок є категоричним або кон’юнктивним судженням.

Розглянемо деякі схеми даних модусів і приклади міркувань, які відповідають цим схемам. Дані умовиводи мають два правильні модуси (різновиди):

1) стверджувально-заперечний (modus ponendo tollens);

2) заперечно-стверджувальний (modus tollendo ponens).

У першому модусі другий засновок є стверджувальним судженням, а висновок - заперечним, а у другому – навпаки, другий засновок є заперечним судженням, а висновок – стверджувальним.

 

№ 1 (modus ponendo tollens).

1. АÚВÚС

2. А

3. ~ВÙ~С

 

1. Кути на площині бувають або гострими, або прямими, або тупими.

2. Даний кут на площині є гострим.

3. Даний кут на площині не є прямим і не є тупим.

 

№ 2 (modus tollendo ponens).

1. АÚВÚС

2. ~ВÙ~С

3. А

 

1. Відомо точно, що злочин могли скоїти лише або Андрій, або Віктор, або Сергій.

2. Слідством встановлено, що Віктор і Сергій злочин не скоїли.

3. Таким чином встановлено, що злочин міг скоїти лише Андрій.

 

Такі умовиводи досить широко застосовуються як у науці, так і у повсякденному житті (у т. ч., як видно із прикладу, у юридичній практиці).

У розділово-умовних умовиводах перший засновок завжди є розділовим судженням, інші засновки (їх кількість дорівнює кількості диз’юнктів) є умовними судженнями. Висновок у розділово-умовних умовиводах може бути як категоричним, так і розділовим судженням.

В залежності від кількості альтернатив у розділовому засновку дані умовиводи поділяють на дилеми (дві альтернативи), трилеми (три альтернативи) і полілеми (понад три альтернативи). У межах даного курсу ми розглянемо лише дилеми.

Дилеми бувають конструктивними і деструктивними, простими і складними.

Конструктивною називають дилему, до висновку якої входять наслідки умовних засновків.

Деструктивною називають дилему, у якій висновок складається із заперечення підстав умовних суджень-засновків.

Простою називають дилему, у якій висновок є простим категоричним судженням.

У складній дилемі висновок представлений складним розділовим судженням.

Розглянемо схеми дилем і наведемо приклади міркувань, що відповідають цим схемам:

 

№ 1. Проста конструктивна дилема:

1. АÚВ

2. А®С

3. В®С

4. С

 

Наприклад:

1. Сьогодні Петро або піде на заняття, або піде у бібліотеку.

2. Якщо він піде на заняття, то отримає нові знання.

3. Якщо він піде у бібліотеку, то отримає нові знання.

4. Сьогодні Петро отримає нові знання.

 

 

№ 2. Складна конструктивна дилема:

1. АÚВ

2. А®С

3. В®D

4. СÚD

 

Наприклад:

1. Сьогодні Петро або зробить домашню вправу з англійської мови, або подивиться футбол.

2. Якщо сьогодні Петро зробить домашню вправу з англійської мови, то завтра отримає хорошу оцінку.

3. Якщо сьогодні Петро подивиться футбол, то завтра отримає незадовільну оцінку.

4. Завтра Петро отримає хорошу оцінку, або завтра Петро отримає незадовільну оцінку.

№ 3. Проста деструктивна дилема:

1. ~АÚ~В

2. С®А

3. С®В

4. ~С

 

Наприклад:

1. Невірно, що сьогодні по телевізору показують футбол, або баскетбол.

2. Якщо сьогодні середа, то по телевізору повинні показувати футбол.

3. Якщо сьогодні середа, то по телевізору повинні показувати баскетбол.

4. Невірно, що сьогодні середа.

 

№ 4. Складна деструктивна дилема:

1. ~АÚ~В

2. С®А

3. D®В

4. ~СÚ~D

 

Наприклад:

1. Невірно, що сьогодні відбудеться лекція з логіки, або невірно, що сьогодні відбудеться семінар з логіки.

2. Якби сьогодні була б середа, то була б лекція з логіки.

3. Якби сьогодні був би четвер, то був би семінар з логіки.

4. Невірно, що сьогодні середа, або невірно, що сьогодні четвер.

 

В науці й у практичній життєдіяльності досить широко застосовуються умовно-категоричні умовиводи. Перший засновок таких умовиводів представлений умовним (імплікативним) судженням, а другий засновок і висновок представлені простими категоричними судженнями. Існують два основні різновиди таких умовиводів: modus ponens (стверджувальний) і modus tollens (заперечний).

В логіці виділяють правильні і неправильні види як modus ponens, так і modus tollens. Правильні види гарантують отримання достовірного (завжди істинного) висновку, за умови наявності істинних засновків. Висновок логічно неправильних модусів є лише імовірнісним судженням (може бути як істинним, так і хибним, навіть за умови наявності лише істинних засновків). Представимо їхні схеми у вигляді таблиці:

	modus ponens	modus tollens
Правильні	1.А®В 2. А 3. В	1. А®В 2. ~В 3. ~А
Неправильні	1. А®В 2. В 3. А	1. А®В 2. ~А 3. ~В

 

 

Неправильний modus ponens критикував відомий філософ і логік Дж.Ст.Мілль. Він стверджував, що люди часто помиляються, коли міркують за схемою: «після того, отже по причині того», оскільки часто зв’язки між явищами носять нерегулярний, випадковий характер. Очевидно, що помилковим у такому разі є наступне міркування:

1) Якщо сьогодні неділя, то Сергій піде в магазин.

2) Сергій пішов в магазин.

3) Сьогодні неділя.

Але неправильні модуси умовно-категоричного умовиводу виявляються корисними. Початкові наукові гіпотези про наявність причинного зв’язку між явищами дійсності досить часто формулюються саме у такий спосіб.

Правильні modus ponens і modus tollens мають кожний по чотири фігури. Представимо їхні схеми у таблиці:

modus ponens	modus tollens
№ 1 1. А®В 2. А 3. В	№ 2 1. А®~В 2. А 3. ~В	№ 1 1. А®В 2. ~В 3. ~А	№ 2 1. А®~В 2. В 3. ~А
№ 3 1. ~А®В 2. ~А 3. В	№ 4 1. ~А®~В 2. ~А 3. ~В	№ 3 1. ~А®В 2. ~В 3. А	№ 4 1. ~А®~В 2. В 3. А

 

 

Наведемо приклади міркувань, що відповідають вказаним схемам:

№ 1 (m. p.)

1) Якщо сьогодні вівторок, то вчора був понеділок.

2) Сьогодні вівторок.

3) Вчора був понеділок.

 

№ 2 (m. p.)

1) Якщо сьогодні вівторок, то невірно, що вчора була неділя.

2) Сьогодні вівторок.

3) Невірно, що вчора була неділя.

 

№ 3 (m. p.)

1) Якщо сьогодні не вихідний день, то необхідно їхати на роботу.

2) Сьогодні не вихідний день.

3) Необхідно їхати на роботу.

 

 

№ 4 (m. p.)

1) Якщо невірно, що сьогодні вівторок, то невірно, що вчора був понеділок.

2) Невірно, що сьогодні вівторок.

3) Невірно, що вчора був понеділок.

 

№ 1 (m. t.)

1) Якщо сьогодні вівторок, то вчора був понеділок.

2) Не вірно, що вчора був понеділок.

3) Сьогодні не вівторок.

 

№ 2 (m. t.)

1) Якщо сьогодні вівторок, то невірно, що вчора була неділя.

2) Вчора була неділя.

3) Невірно, що сьогодні вівторок.

 

№ 3 (m. t.)

1) Якщо сьогодні не вихідний день, то необхідно їхати на роботу.

2) Невірно, що сьогодні необхідно їхати на роботу.

3) Сьогодні вихідний день

 

№ 4 (m. t.)

1) Якщо невірно, що сьогодні вівторок, то невірно, що вчора був понеділок.

2) Вчора був понеділок

3) Сьогодні вівторок.

 

Як вказувалось вище, правильні схеми умовно-категоричних умовиводів надзвичайно корисні для науки. Наприклад, в більшості математичних теорій процедура доведення базується саме на них.

Недедуктивні умовиводи

а) повна і неповна індукція

Поняття «індукція» має два основних значення: по-перше, індукція — це метод пізнання, який полягає у переході знання від констатації тих або інших одиничних подій (фактів дійсності) до формулювання загальних припущень, що за подібних умов ці явища знову матимуть місце; по-друге, індукцією називають умовивід, в якому з одиничних суджень-засновків виводять часткове або загальне судження-висновок (тобто рух знань відбувається від менш загального знання до більш загального).

Вирізняють два основні види індукції: повну і неповну.

Повна індукція — це індуктивний умовивід, у якому на підставі знання, що певна ознака наявна у кожного окремого предмета даної множини, робиться висновок про наявність цієї ознаки у всіх предметів цієї множини.

Розглянемо формулу повної індукції:

1) S₁ є P

2) S₂ є P

...........................

n) S_n є P

S₁, S₂ … S_n (1£n<∞)

Всі S є Р.

N у цій формулі позначає кількість предметів множини. У формулі є вказівка на ту обставину, що множина має складатись із обмеженої кількості елементів (1£n<∞). в іншому разі ми не зможемо зробити висновок, що певну властивість має кожний об’єкт цієї множини. Наведемо приклад міркування, яке б відповідало вказаній формулі:

Перше вікно в аудиторії 276 ЦМЗ НУДПСУ має білу раму

Друге вікно в аудиторії 276 ЦМЗ НУДПСУ має білу раму

………………………………………………………….

П’яте вікно в аудиторії 276 ЦМЗ НУДПСУ має білу раму

Кількість вікон в аудиторії 276 ЦМЗ НУДПСУ обмежена і дорівнює 5

Усі вікна в аудиторії 276 ЦМЗ НУДПСУ мають білі рами.

Повна індукція є правильним із логічного погляду міркуванням, відповідно, за умови наявності лише істинних засновків, ми завжди отримаємо істинний висновок.

Неповна індукція — це індуктивний умовивід, в якому висновок про наявність певної властивості у всього класу (множини) предметів робиться на підставі знання про наявність цієї властивості лише у деяких предметів цього класу. Кількість предметів множини, як правило, полишається невідомою. На відміну від повної індукції, неповна не гарантує отримання істинного висновку за умови наявності істинних засновків, отже, вона не є логічно правильним умовиводом. Відповідно, висновок неповної індукції є ймовірнісним, тобто він може бути як істинним, так і хибним. Розглянемо формулу таких міркувань:

1) S₁ є P

2) S₂ є P

.........................

m) S_m є Р

S₁, S₂… S_m... S_n (1£m<n)

Всі S є Р

Наведемо приклад міркування, яке б відповідало наведеній схемі. Перед тим, як розглянути приклад, уявимо собі наступну ситуацію. На митницю поступила інформація, що певна вантажівка, яка перевозить розчинну каву (10 000 банок), окрім цього задекларованого вантажу, перевозить заборонені речовини (наприклад, наркотики). Митники можуть зробити повну або часткову перевірку цього вантажу. Якщо вони зроблять повну перевірку і не знайдуть забороненого вантажу, то їхній висновок, що вантаж є чистим буде зроблено за формулою повної індукції. Якщо вони перевірять не 10 000 банок, а менше (хоча б, навіть на одну банку) і зроблять цей же висновок, то їх міркування відповідатиме схемі неповної індукції.

1) Перша банка містить лише розчинну каву

2) Друга банка містить лише розчинну каву

…………………………………………………

100) Сота банка містить лише розчинну каву

Перша, друга... сота банка містять розчинну каву, але є й інші (9 900), які ми не перевіряли

Усі банки містять лише розчинну каву (ймовірно, що висновок істинний).

Ми припустили, що висновок неповної індукції є істинним, але існує ймовірність, що деякі банки можуть містити заборонені речовини. У такому разі виявиться, що висновок умовиводу був хибним. Для того, щоб остаточно визначитися у цьому питанні, необхідно було б перевірити усі банки. Але така перевірка забрала б багато часу, що може виявитися недоцільним. Неповна індукція не претендує на встановлення остаточної істини. її цінність полягає зовсім в іншому: вона є невичерпним джерелом гіпотез про навколишню дійсність. Існують певні математичні закономірності для неповної індукції. Якщо відома кількість предметів у множині, то можна вирахувати ступінь ймовірності істинності висновку. Наприклад, перевірка 100 банок з 10 000 дає ступінь ймовірності 1/100, перевірка 1000 банок з 10 000 дає ступінь ймовірності 1/10 і т. ін.

 

б) аналогія властивостей і відношень.

Аналогія (традукція) — це умовивід, в якому засновки і висновок є судженнями однакового ступеня загальності (як правило, відбувається перехід знання від одиничного до іншого (подібного до першого) одиничного). Висновок аналогії, так само як і висновок неповної індукції, має лише ймовірнісний характер, тобто він може бути як істинним, так і хибним навіть за умови наявності істинних засновків. Інакше кажучи, аналогія не є логічно правильним умовиводом. На відміну від істиннісного значення висновку неповної індукції, істиннісне значення висновку аналогії встановити набагато легше, оскільки у ньому (у висновку) йдеться не про множину предметів, кількість яких часто полишається невідомою, а, як правило, про один-єдиний предмет. Аналогія відіграє надзвичайно велику роль у науці й практичній життєдіяльності людей. За аналогією було зроблено видатні відкриття в астрономії, фізиці та інших науках.

Традиційно виділяють два види аналогій: аналогію властивостей і аналогію відношень. Аналогією властивостей є такий умовивід, в якому на підставі подібності двох предметів або двох множин предметів в одних ознаках робиться висновок про подібність цих предметів або двох множин предметів в інших ознаках.

Загальна формула аналогії властивостей така:

1. S₁ має: Р₁ÙР₂ÙР₃ÙР_4…

2. Предмет S₂ має: Р₁ÙР₂ÙР_3…

3. Імовірно, що предмет S₂ має Р₄

Наведемо приклад:

1. Земля є планетою Сонячної системи, вона обертається навколо своєї осі, має гравітацію, магнітні полюси, атмосферу, воду, полярні шапки, біосферу.

2. Марс є планетою Сонячної системи, він обертається навколо своєї осі, має гравітацію, магнітні полюси, атмосферу (правда, більш розріджену й з іншим хімічним складом, ніж на Землі), воду але переважно у вигляді окисів, червоний колір планети є результатом окислення водою інших речовин), полярні шапки але це не лід, а замерзлий вуглекислий газ).

3. Марс має (або мав) біосферу.

Висновок цього умовиводу є ймовірнісним.

Аналогія відношень має місце тоді, коли ми уподібнюємо відношення, що існують між двома предметами (або двома множинами предметів) на основі відношень, що існують між ними (або між членами цих множин).

Загальна формула аналогії відношень така:

1. Х₁ R (У₁ÙУ₂ÙУ₃…)

2. Х₂ R (У₁ÙУ_2…)

3. Імовірно, що Х₂ R У₃

Наведемо приклад міркування, яке відповідає цій формулі:

Андрій старший за Василя, Петра і Геннадія

Дмитро старший за Василя і Петра

Ймовірно, що Дмитро старший за Геннадія