Анализ вариации зависимой переменной в регрессии

Анализ вариации зависимой переменной в регрессии

Рассмотрим вариацию (разброс) значений вокруг среднего значения.

Разобьем эту вариацию на две части: объясненную регрессионным уравнением и не объясненную (т. е. связанную со случайной составляющей ε_t).

Запишем разброс в виде следующего равенства:

И вариация представляется в виде трех слагаемых

Рассмотрим последнее слагаемое. В него входит и тогда

Потому что - по определению, по необходимому условию экстремума

Поэтому верно равенство

,

Где – это TSS, или весь разброс

– это ESS, или необъясненная часть

– это RSS, или объясненная часть

Тест Дарбина – Уотсона некоррелированности случайных возмущений в схеме Гаусса – Маркова

Этот тест предназначен для проверки предпосылки о том, что теоремы Гаусса – Маркова, точнее, важнейшего частного случая этой предпосылки, а именно статистической гипотезы

при j=i-1

Неадекватность гипотезы влечет, очевидно, и неадекватность предпосылки. Часто истинной причиной отклонения гипотезы оказывается ошибка в выборе функции регрессии в спецификации модели, например пропуск значимой предопределенной переменной. Эмпирическая корреляция случайных остатков, порожденная этой причиной, называется ложной. Тест Дарбина – Уотсона позволяет идентифицировать, в частности, ложную корреляцию и поэтому рассматривается в эконометрике как один из наиболее важных тестов.

Шаги теста:

1. Модель оценивается по уравнениям методом наименьших квадратов, рассчитываются по формуле оценки остатков.

2. Для проверки случайной последовательности на корреляцию используется критерий Дарбина-Уотсона Раскроем скобки и проведем преобразование исходной формулы:

Т.к. r – выборочный коэффициент корреляции

Из полученной формулы следует, что если r =0 (корреляция отсутствует), то DW=2; если корреляция положительна, то DW < 2; если отрицательна - DW > 2. Так как коэффициент корреляции Поскольку критическое значение dкр невозможно табулировать по ряду причин, граница раздвигается и значения левой границы dL и правой границы dU выбираются из таблицы в зависимости от числа наблюдений n, числа независимых переменных k и уровня значимости α. Следовательно, по таблицам Дарбина-Уодсона выбирают 2 константы и , по аргументам 1) 2) 3)

3. Определяется интервал, в который попадает величина DW

 

Отметим, что тест Дарбина – Уотсона базируется на предположении, что:

1. Функция регрессии модели является неоднородной (параметр подлежит определению)

2. Случайные остатки в уравнениях наблюдений распределены по нормальному закону

3. Предпосылки теоремы Гаусса – Маркова справедливы.

Определение значений случайных остатков при нарушении равенства нулю их математического ожидания

Значения u_i(j) определяются по правилу u_i(j)= _i u_i*(j)+m_i, но константы m_i 0 при всех i=1,2...n

Полученные значения u_i (j) используются для получения оценочных значений, которые затем оценивают с помощью МНК. Сравниваем полученные оценочные значения a₀ со значением исходного a₀. В случае сильного отличия (больше ошибки) считается, что коэффициент a₀ не обладает свойством несмещенности.

Определение значений случайных остатков при нарушении предпосылки гомоскедантичности

Значения u_i(j) определяются по правилу u_i(j)= _i u_i*(j)+m_i, но величины _i при всех i=1,2...n

Определение значений случайных остатков и объясняющей переменной при нарушении условия их некоррелированности

Значения u_i(j) определяются по правилу u_i(j)= _i u_i*(j)+m_i, но теперь значения x_i объясняющей переменной модели не могут оставаться в каждом эксперименте j=1,2...N неизвестными. Они должны стать зависимыми от u_i(j). Значение x_i в эксперименте с номером j обозначим x_i (j). Оно будет вычисляться по правилу

x_i (j)= x_i + u_i(j), где x_i значение объясняющей переменной, заданное вне модели.

Модель Марковица

Модель основана на том, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязаны: с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост по другим бумагам, третьи остаются без изменения, а по четвертым доходность, наоборот, снижается. Такая зависимость не является детерминированной, т.е. однозначно определенной, а есть стохастической и называется корреляцией.

Модель Марковица имеет следующие основные допущения:

— в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

— в качестве риска ценной бумаги принимается среднее квадратическое отклонение доходности;

— принимается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, в полной мере отражают будущие значения доходности;

— степень и характер взаимосвязи между ценными бумагами выражается коэффициентом линейной корреляции.

По модели Марковица доходность портфеля ценных бумаг — это средневзвешенная доходность бумаг, его составляющих, и она определяется формулой:

где N — количество ценных бумаг в портфеле; — процентная доля данной бумаги в портфеле; — доходность данной бумаги.

Риск портфеля ценных бумаг определяется средним квадратическим отклонением доходности портфеля:

, где , — процентные доли данных бумаг в портфеле; , — риск данных бумаг (среднеквадратическое отклонение); —коэффициент линейной корреляции.

С использованием модели Марковица для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:

Обратная задача представляется аналогичным образом:

При практическом применении модели Марковица для оптимизации фондового портфеля используются следующие формулы:

• доходность ценной бумаги:

, где Т – количество прошлых наблюдений доходности данной ценной бумаги.

• риск ценной бумаги (в виде оценки среднего квадратического отклонения):

3) статистическая оценка коэффициента корреляции между показателями доходности двух ценными бумагами:

,

где — доходность ценных бумаг a и b в период t.

Ясно, что для N рассматриваемых ценных бумаг необходимо рассчитать

коэффициентов корреляции.

Вторая часть вопроса.

Определение. Переменные модели, отнесенные к предыдущим моментам времени, называются «лаговыми».

Определение. Все лаговые переменные (эндогенные и экзогенные) и текущие экзогенные переменные составляют группу «предопределенных» переменных.

Уточнение. В приведенной форме модели каждая текущая эндогенная переменная должна быть выражена через предопределенные переменные.

В модели (2.2) второе уравнение получило приведенную форму на этапе спецификации. Для полного преобразование модели (2.2) к приведенной форме достаточно найти выражения для p_t и Y^d_t:

 

 

 

Зная значения параметров модели и значение цены на товар в предшествующем периоде, можно дать прогноз равновесной цены и уровней спроса и предложения в текущем периоде времени

Пример. Записать модель конкурентного рынка в приведенной форме

 

 

 

1. Выписываем необходимые вектора и матрицы для данной модели

 

 

2. Вычисляем матрицу М

Для этого находится обратная матрица А^-1

 

 

Тогда матрица М есть:

 

3. Приведенная форма модели принимает вид:

 

 

Зная значения параметров модели и значение цены на товар в предшествующем периоде, можно дать прогноз равновесной цены и уровней спроса и предложения в текущем периоде времени

Анализ вариации зависимой переменной в регрессии

Рассмотрим вариацию (разброс) значений вокруг среднего значения.

Разобьем эту вариацию на две части: объясненную регрессионным уравнением и не объясненную (т. е. связанную со случайной составляющей ε_t).

Запишем разброс в виде следующего равенства:

И вариация представляется в виде трех слагаемых

Рассмотрим последнее слагаемое. В него входит и тогда

Потому что - по определению, по необходимому условию экстремума

Поэтому верно равенство

,

Где – это TSS, или весь разброс

– это ESS, или необъясненная часть

– это RSS, или объясненная часть