Определение границ доверительного интервала

1) Находим оценки параметров спецификации (коэффициенты регрессии а^0, а^1, а^2, оценки среднеквадратичного отклонения коэффициентов регрессии S_a0, S_a1, S_a2 и т.д.):

2) Далее, выбираем строку и обозначаем ее прогнозом. Настоящее значение функции обозначим Yp.

3) Следующим шагом необходимо рассчитать прогнозное значение Y^p, используя полученные оценки коэффициентов регрессии (см. рисунок).

В большинстве случаев налицо явное несовпадение результата и прогноза. Но ожидать точное совпадение прогноза и результата по меньшей мере наивно. Во-первых, Y^p - величина случайная, т.к. все три оценки коэффициентов a^0, a^1, a^2 вычислялись через значения случайной величины Y. Во-вторых, значение Yp содержит в себе неизвестное значение случайной составляющей ε_р. Все, что мы можем предпринять в этой ситуации, это проверить, попадают ли оба значения в доверительный интервал и делать заключение по этому факту.

Величина доверительного интервала зависит от дисперсии прогноза, которая складывается из дисперсии εt - случайной составляющей эконометрической модели и дисперсии случайной величины оценки регрессии (уравнение регрессии), значения коэффициентов которой вычислены с помощью функции ЛИНЕЙН (см. рисунок).

Однако оценки коэффициентов a^0, a^1, a^2 зависимы и для оценки их влияния на точность прогноза мало знать только их дисперсии, но нужно учесть и их взаимную зависимость, т.е. ковариацию, которая задается матрицей ковариаций.

Матрица ковариации регрессии оценивается по следующей формуле: Cov(A^) = S²_ε*(X^T*X)^-1, где A^ = (a^0, a^1, a^2)^T, оценки коэффициентов регрессии; S²_ε - дисперсия случайной составляющей ε.

4) Далее производим следующие вычисления:

1. (X^T*X)^-1.

2., где .

5) Определим доверительный интервал для прогноза как (Y^p-tα*Sпрог, Y^p+tα*Sпрог), где tα-статистика Стьюдента, вычисляемая по формуле EXCEL СТЬЮДРАСПОБР.

Если оба значения (т.е. Yp и Y^p) попадают в указанный интервал, то модель признается адекватной и пригодной для целей прогнозирования.

Оценивание параметров модели взвешенным методом наименьших квадратов

Для практики полезно из теоремы Гаусса-Маркова выделить частный случай обобщенного метода наименьших квадратов, разработанный Гауссом в первой половине 19в. В этом частном случае, именуемом в эконометрике взвешенным методом наименьших квадратов (ВМНК), матрица является диагональной, но не скалярной, т.е.

Это означает, что предпосылка справедлива, а предпосылка нет, следовательно

(1)

Введем здесь обозначение: (2)

Определение Согласно предположенной Гауссом терминологии , определенная по правилу (2), называется весом случайной переменной . Понятие веса случайной переменной позволяет придать внятный смысл константе : это дисперсия такой случайной переменной, вес которой равен единице; иногда такую случайную переменную именуют (термин Гаусса) единицей веса.

С учетом (1) матрица в процедуре

оказывается диагональной:

из формулы упрощается:

В свою очередь свойство обобщенных наименьших квадратов, справедливое для оценки Эйткена , трансформируется в свойство взвешенных наименьших квадратов: = Отметим, что матрицу (3) называют матрицей весов, а обратную к ней матрицу Ω – матрицей обратных весов или весовых коэффициентов.

Модель Марковица

Модель основана на том, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязаны: с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост по другим бумагам, третьи остаются без изменения, а по четвертым доходность, наоборот, снижается. Такая зависимость не является детерминированной, т.е. однозначно определенной, а есть стохастической и называется корреляцией.

Модель Марковица имеет следующие основные допущения:

— в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

— в качестве риска ценной бумаги принимается среднее квадратическое отклонение доходности;

— принимается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, в полной мере отражают будущие значения доходности;

— степень и характер взаимосвязи между ценными бумагами выражается коэффициентом линейной корреляции.

По модели Марковица доходность портфеля ценных бумаг — это средневзвешенная доходность бумаг, его составляющих, и она определяется формулой:

где N — количество ценных бумаг в портфеле; — процентная доля данной бумаги в портфеле; — доходность данной бумаги.

Риск портфеля ценных бумаг определяется средним квадратическим отклонением доходности портфеля:

, где , — процентные доли данных бумаг в портфеле; , — риск данных бумаг (среднеквадратическое отклонение); —коэффициент линейной корреляции.

С использованием модели Марковица для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:

Обратная задача представляется аналогичным образом:

При практическом применении модели Марковица для оптимизации фондового портфеля используются следующие формулы:

• доходность ценной бумаги:

, где Т – количество прошлых наблюдений доходности данной ценной бумаги.

• риск ценной бумаги (в виде оценки среднего квадратического отклонения):

3) статистическая оценка коэффициента корреляции между показателями доходности двух ценными бумагами:

,

где — доходность ценных бумаг a и b в период t.

Ясно, что для N рассматриваемых ценных бумаг необходимо рассчитать

коэффициентов корреляции.