Понятие случайной переменной. Ее математическое ожидание (М. О. ).

Случайная переменная - это любая переменная значение которой, не может быть точно предсказано.

М.О-ие случайной величины- это взвешенное среднее всех ее возможных значений. При этом в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода.

Пусть случайная величина может принимать некоторые значения (E1,E2, …,En) и вероятность их получения равна (р1,р2,…,рn).Тогда М.О. случайной переменной определяется след.образом:

(3.1)

Правила расчета М.О.

Существуют следующие правила расчета М.О.:

Правило1: М.О. суммы нескольких переменных равно сумме их

М.О-ий: (3.2)

 

Правило 2: если случайную величину умножить на константу, то ее М.О-ие увеличится во столько же раз.

Е(а´ε)= а´Е(ε) (3.3)

Правило 3: М.О. константы - есть она сама: F(a)=a (3.4)

Ре условия Гаус Маркова.

Для того чтобы анализ, основанный на методе наименьших квадратов давал лучшие результаты, необходимо выполнение условия Гас- Маркова для случайных составляющих:

1. М.О. случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю: Е(ε_i)= 0

В некоторых ситуациях случайный член будет положительным иногда отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения не в 1-ом из направлений.

Если уравнение регрессии включает постоянный член, то это условие выполняется автоматически. Т.к. роль константы состоит в том, чтобы

определить любую тенденцию, в которой не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии.

2. Дисперсия случ. члена должна быть постоянна для всех наблюдений.

pop.var (Ei)- теоретическая вариация. (3.6)

pop.var(Ei) = ^2Ei -одинакова для всех i. (3.6) Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициенты регрессии будут не эффективны.

3. Это условие предполагает отсутствие системной связи между значениями случайного члена в любых 2-ух наблюдениях.

 

(3.7) Т.е. если случ. член велик и положителен в олном наблюдении, это не обуславливает тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в другом наблюдении. Случ. члены должны быть независемы друг от друга.

4. С.ч-н должен быть независимо распределен от объясняющей переменной. Значение независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться полностью определенным внешними причинами, которые не учитываются в уравнении регрессии. Если условие выполняется, то теоретическая вариация между независимой переменной и случ. членом равна 0. Pop var (x_i, ε_i)=0 (3.8)

18.Условия гомо и гетероскедастич-сти. Последствия гетероске-сти.

Первые два условия Гаус Маркова указывают, что случайные члены появ-ся на основе вероят-тных распреде-й, имеющих нолевое мат-кое ожидание и одну и ту же дисперсию. Их факти-кие знач-я иногда будут полож-ми, иногда отриц-ми, но но они не будут иметь сильных отклонений в любом наблю-ии, т.е вероят-ть того, что величина e примет какое-то значение, будет одинаковой для всех наблюде-й. Здесь имеет место условие гомоскедастич-ти:Ф(3.6)

одинакова для всех i. Вместе с тем возможно, что теори-ское распред-е случайного члена яв-ся разным для различ-х наблюд-й выборки. Это не означает, что слячайный член будет иметь особенно большие отклонения в конце выборки, но вероят-сть их получения будет высокая, т.е имеет место условие гетероскедаст-ти: Ф(3.6) не одинакова для всех.

Рис. 1- Различия м/д гомо и гетероскедас-тью.

На рис.2 показано, как будет выглядеть характерная диаграмма распределения ф-ции y(x), если имеет место гетероскедаст-сть. Рис.2-Влияние гетероскед-сти на распредел-е ф-ции y(x).

При отсутствии гетероскед-сти коэф-ты регрессии имеют наиболее низкую дисперсию среди несмещенных оценок. Если имеет место гетероскед- сть, то оценки метода наименьших квадратов будут не эфф-ны. Гетероскед-сть становится проблемой, когда значение переменных, входящих в уровни регрессии значительно различается в разных наблюдениях. Если истинная зависимость описывается уравнением прямой, то при нем экон-ие переменные меняют свой масштаб одновременно,то изменение значений, не включаемых переменных и ошибки измерения, влияя совместно на случайный член делает его сравнительно малым при больших X и Y. Гетероске- сть может также появляться при анализе временных рядов.

19.Обнаружение гетероскедастичности.Тест ранговой корреляции Спирмена, тест Глейзера.

Проявление проблем гетероскед-сти можно предвидеть основываясь на знаниях характера данных. В этих случаях можно предпринимать действия на этапе спецификации модели регрессии. Это позволит уменьшить или устранить необходимость формальной проверки. В настоящее время используются следующие виды тестов гетероскед-сти, в которых делается предположение о наличие зависимости между дисперсией случайного члена и величиной объясняющей переменной: 1)Тест ранговой корреляции Спирмена.

При его выполнении предполагается, что дисперсия случайного члена будет либо увеличиваться, либо уменьшаться по мере увеличения X и поэтому в регрессии, оцениваемой с помощью метода наименьших квадратов абсолютные величины остатков и значение X будут коррелированны. Данные по X и остатки упорядочиваются, а затем определяется коэффициент ранговой корреляции: Ф(3.9),

Где Дi- разность между рангом X и рангом е, е- остатки(отклонение) фактических значений Y от теоретических значений.

Тест Глейзера.

Чтобы использовать данный метод следует оценить регрессионную зависимость y(x) с помощью обычного метода наименьших квадратов, а затем вычислить абсолютные величины остатков еi по модулю, оценив их регрессию.

20.Обнаружение гетероскед-сти. Тест Голдфельда Квандта. Появление проблем гетероскед-сти можно предвидеть основываясь на знаниях характера данных. В этих случаях можно предпринимать действия на этапе спецификации модели регрессии. Это позволит уменьшить или устранить необходимость формальной проверки. В настоящее время используются следующие виды тестов гетероскед-сти, в которых делается предположение о наличие зависимости между дисперсией случайного члена и величиной объясняющей переменной:

1)Тест Голдфельда Квандта.

При проведении проверки по этому критерию предполагается, что дисперсия случайного члена пропорциональна значению X в этом наблюдении. Предполагается, что случайный член распределен нормально и не подвержен автокорреляции. Все наблюдения в выборке упорядочиваются по величине X, после чего оцениваются отдельные регрессии для первых n со штрихом наблюдений и для последних n со штрихом наблюдений. Если предположение о наличие гетероскед-сти верна, то дисперсия в последних n наблюдениях будет больше, чем в первых n со штрихом наблюдениях. Суммы квадратов остатков обозначают для первых n со штрихом наблюдений обозначают RSS1, для последних n со штрихом наблюдений RSS2, затем определяют их отношения. Это отношение имеет F-распределения при заданных (n со штрихом-k-1)/(n со штрихом-k-1) степенях свободы. Если n=30, то n со штрихом= min11.

21. Автокорреляция и ее факторы.

Автокорреляция в регрессионном анализе обычно встречается при исследовании временных рядов. Постоянная направленность воздействия не включенных в уравнении переменных является наиболее частой причиной появления положительной автокорреляции.

Пример1: При оценке спроса на мороженное по ежемесячным данным предполагается, что состояние погоды является единственным важным фактором. При этом проводятся ряд наблюдений, когда теплая погода способствует увеличению спроса, а холодная погода наоборот. Если доход возрастает со временем, то схема наблюдений будет выглядеть след. Образом: Рисунок3 – Положения автокорреляции.

Изменения эконом-кой конъюнктуры приводит к положительным результатам и в анализе. Автокорреляция является существенной проблемой, когда интервал между наблюдениями имеет небольшую величину. Чем больше этот интервал, тем меньше вероятность того, что при переходе от одного наблюдения к другому характер влияния неучтенных факторов будет сохраняться.

Автокорреляция может быть отрицательной. Это означает, что корреляция между последовательными значениями случайного члена отрицательна, т.е за положит-ным значением в одном наблюдении следует отриц-ное значение в другом. Тогда диаграмма распределения выглядит след.образом: Рисунок4- Отрицательная автокорреляция.

В экономике отрицательная автокорреляция встречается редко, но иногда она появляется при преобразовании первоначальных моделей в форму, подходящую для регрессионного анализа.